(1)

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TIB

Temat lekcji: Definicja ciągu arytmetycznego Data lekcji: 2.04.2020 – lekcja 1 i 2

Wprowadzenie do tematu: Wprowadzenie do ciągu arytmetycznego Instrukcje do pracy własnej:

Potrzebne informacje znajdziesz również na stronie:

https://www.matemaks.pl/ciag-arytmetyczny.html W tym temacie zajmiemy się wprowadzeniem definicji ciągu arytmetycznego.

DEFINICJA:

Ciąg liczbowy (𝑎𝑛) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi elementami ciągu jest stała.

𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛= 𝑟 ; r – różnica ciągu arytmetycznego; 𝑛 ∈ 𝑁₊

Kolejne wyrazy ciągu powstają przez dodanie tej samej liczby do wyrazu poprzedniego.

𝑎𝑛+1= 𝑎_𝑛+ 𝑟 ;

np. 6; 10; 14; 18; 22; ….. 𝑎1 = 6 ; r =4;

3; -2; -7; -12; -17;; ….. 𝑎₁= 3 ; r =-5;

4; 4; 4; 4; 4; ….. 𝑎₁= 4 ; r =0;

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: 𝑎𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

Jeśli

r>0

to ciąg jest rosnący ;

r<0

ciąg jest malejący ;

r=0

to ciąg jest stały.

Dowolny wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:

𝑎

_𝑛

=

^𝑎^𝑛−1^+𝑎^𝑛+1

2

dla 𝑛 ≥ 2.

Ćw. 2 str. 208

c) 7; 3; -1 ………. r=-4 ; kolejne wyrazy to -5; -9 … Ćw. 3 str. 209

c) 3; 2; 1; 0;-1; -2 ………. r=-1 ; 𝑎_𝑛= 𝑎₁+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 𝑎𝑛 = 3 − (𝑛 − 1) = 4 − 𝑛 ; 𝑎20 = 3 − (20 − 1) = −16 Ćw. 4 str. 209

c) 2 ; 2 ;2; 2; 2; ………. r=0 ; 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 𝑎𝑛 = 2 ciąg stały

(2)

Ćw. 5 str. 209

c) 𝑎1= 1; 𝑎₂= 𝑘²; 𝑎₃= 𝑘²+ 2𝑘 + 2 𝑎2− 𝑎₁= 𝑎₃− 𝑎₂ ;

𝑘²− 1 = 𝑘²+ 2𝑘 + 2 − 𝑘² 𝑘²− 2𝑘 − 3 = 0

∆= 4 + 12 = 16 ; √∆= 4

𝑘 =²⁻⁴₂ = −1 lub 𝑘 =²⁺⁴₂ = 3 Odp.: Dla k=-1 lub k=3.

Ćw. 6 str. 209

c) 𝑎1= 𝑚²; 𝑎₂= 𝑚; 𝑎₃= 2𝑚 − 𝑚² 𝑎2− 𝑎₁= 𝑎₃− 𝑎₂ ; 𝑟 = 𝑎₂− 𝑎₁

𝑚 − 𝑚²= 2𝑚 − 𝑚²− 𝑚 𝑟 = 𝑚 − 𝑚²= 𝑚(1 − 𝑚)

0 = 0 r>0 ciąg rosnący dla 𝑟 ∈ (0 ; 1)

r<0 ciąg malejący dla 𝑟 ∈ (−∞ ; 0) ∪ (1; ∞) r= 0 ciąg stały dla r= 0 lub r=1

Ćw. 8 str. 209

c) 1

2

; 𝑥;

¹

3

𝑥 =

1 2+¹

3

2

=

5 6

2

=

⁵

12

Praca własna:

Podręcznik zadania od 1 do 9 str. 211. (po jednym podpunkcie) Kartkówka online z ostatnich lekcji ciąg i jego własności.

Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 2.04.2020 o godz. 10.00-11.30

Przesyłanie zadań, pytań od uczniów na adres email marzenamrzyglod@op.pl, do dnia 3.04.2020 r.

Opracowała: Marzena Mrzygłód