Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 9, nr 1-4, (2007), s. 79-86
© Instytut Mechaniki Górotworu PAN
Metoda pomiaru składowych i zwrotu wektora prędkości w przepływach płaskich
KATARZYNA SOCHA, PAWEŁ LIGĘZA
Instytut Mechaniki Górotworu PAN, ul Reymonta 27; 30-059 Kraków
Streszczenie
W pracy przedstawiono metodę pomiaru dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu. Pomiar wektora wykonywany jest za pomocą sondy dwuwłóknowej z odczepami. Umożliwia ona pomiar wartości składowych wektora prędkości, jego kierunek oraz zwrot. W celu sprawdzenia skuteczności prezentowanej metody pomiarowej sondę przebadano dla prędkości z zakresu od 0.4 do 5m/s i różnego ustawienia sondy względem przepływu.
Słowa kluczowe: termoanemometria, pomiar wektora prędkości, detekcja zwrotu
Wprowadzenie
Jedną ze stosowanych metod pomiaru prędkości przepływu gazu jest termoanemometria, która w klasycznej postaci umożliwia wyznaczenie wyłącznie wartości wektora prędkości. Pomiary termoane- mometryczne posiadają bardzo cenne właściwości metrologiczne, takie jak pomiar punktowy, nieznaczne oddziaływanie na mierzony przepływ (małe wymiary czujnika), czy też możliwość pomiarów przepływów szybkozmiennych. Wadą tej metody jest brak możliwości określenia zwrotu wektora prędkości przepły- wu, co jest istotne np. przy wykrywaniu przepływów rewersyjnych. Pomiar dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu może być użyteczny, gdy możliwe jest pominięcie jednej ze składowych przepływu trójwymiarowego.
W pracy zostanie przedstawiona termoanemometryczna metoda pomiaru dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu za pomocą sondy dwuwłóknowej z odczepami. Sonda ta umożliwia określenie nie tylko wartości składowych wektora prędkości, ale również jego kierunek i zwrot.
Pomiar wektora prędkości
Do pomiaru wektora prędkości przepływu służy sonda przedstawiona na rys. 1a. Zbudowana jest ona z czterech włókien połączonych w pary. Włókna w parach są umieszczone równolegle względem siebie, a elektrycznie połączone są szeregowo. Przyjmuje się, że tworzą jedno włókno pomiarowe (między wspor- nikami A i B na rys. 1.) z odczepem na środku (wsporniki C, rys. 1.). Tak utworzone włókna pomiarowe są umieszczone prostopadle względem siebie w taki sposób, że jedno z włókien leży pomiędzy wspornikami drugiego włókna pomiarowego. Wszystkie włókna są zorientowane prostopadle do osi czujnika. Z włókna- mi związany jest kartezjański układ współrzędnych, w taki sposób, że włókno pierwsze wyznacza oś 0X, a włókno drugie oś 0Y. Na każdym włóknie pomiarowym mierzone są dwa napięcia: na całości Uc oraz na połowie włókna Us. Na rys. 1b przedstawiono schematyczny rozkład napięć na włóknie pomiarowym.
Na podstawie napięć na całych włóknach obliczane są wartości składowych wektora prędkości prze- pływu z następujących zależności [4]:
( ) ( )
(
1 1)
1 2(
2 2)
21
2 2 2 2 1 1 1 1
2 2
2 2
y y
x x
n y c y n y c o y
y
n x c x n x c o x
x
a U b a
U b v
a U b a
U b v
(1)
gdzie:
Uc – napięcia mierzone na całym włóknie, a, b, n – parametry charakteryzujące włókna,
vxo, vyo – wartości składowych wektora prędkości w układzie współrzędnych związanym z włóknami pomiarowymi sondy.
Natomiast zwrot i kierunek wektora prędkości przepływu wyznaczany jest na podstawie znaku różnicy napięć na końcach każdego z włókien pomiarowych z zależności (2). Do różnicy napięć wprowadza się współczynnik k, korygujący niedokładne podzielenie włókna pomiarowego na dwie równe części [2, 5].
i
i i s
c
i U k U
U
2 (2)
gdzie:
i – identyfi kator włókna, Us – napięcie z połowy włókna,
k – współczynnik korekcji, symetryzujący napięcia na końcach włókna.
Zależność (3) umożliwia wyznaczenie wartości składowych dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu. Zależność ta łączy: napięcia na całych włóknach Uc, z których wyznaczana jest wartość składowej oraz różnice napięć ΔU, na podstawie których wyznaczany jest znak składowej. Dla równoległego napływu na włókno pomiarowe różnica napięć na końcach tego włókna wynosi 0, natomiast wartość składowej zwią- zanej z tym włóknem osiąga maksymalną wartość. W przypadku prostopadłego napływu na włókno różnica napięć ma maksymalną wartość, a wartość składowej jest równa 0. Z tego powodu na znak składowej vx będzie mieć wpływ znak różnicy ΔU2, natomiast na znak składowej vy znak różnicy ΔU1.
( ) ( )
(
1 1)
1 2(
2 2)
21
2 2 2 2 1 1 1 1
2 1 2
2 2
2
) sgn(
) sgn(
y y
x x
n y c y n y c o y
y
n x c x n x c o x
x
a U b a
U b U v
a U b a
U b U v
(3)
Rys. 1. a) Model sondy do pomiaru wektora prędkości; b) rozkład napięć na włóknie pomiarowym Us
C
A B
Uc
a) b)
Wzorcowanie sondy pomiarowej
Przed przystąpieniem do pomiarów sondę należy wywzorcować, tzn. określić wartości parametrów w zależności (3). Współczynniki a, b i n znajdowane są podczas dopasowania danych pomiarowych do przebiegów wzorcowych. Dla przypadku, gdy sonda obracana jest wokół osi, krzywe wzorcowe wyznacza się z zależności (4).
sin cos
z z y
z z x
v v
v
v (4)
gdzie:
vxz, vyz – wartości składowych wzorcowego (teoretycznego) wektora prędkości, vz – prędkość zadawana w tunelu,
α – kąt obrotu sondy wokół jej osi, prostopadłej do pola przepływu.
Ponieważ włókno jest czułe tylko na wartość i kierunek przepływu, a nie na zwrot, podczas wzorco- wania do równań (4) wprowadza się wartość bezwzględną.
Współczynnik symetryzacji k wyznaczany jest przy napływie równoległym na włókno z zależności (5). Przy takim napływie rozkład temperatur na obu częściach włókna pomiarowego jest taki sam, a zatem różnica ∆U = 0.
i i
s
i cU
k U
2 (5)
Wyniki pomiarów
Czujnik testowano na stanowisku pomiarowym wyposażonym w tunel aerodynamiczny, rotor oraz układ termoanemometru stałotemperaturowego CCC2002 [3]. Sondę umieszczano w rotorze prostopadle do osi tunelu, w taki sposób, że pierwsze włókno było ustawione równolegle do kierunku przepływu.
Badania przeprowadzono dla prędkości przepływu w zakresie od 0.4 do 5 m/s zmienianej co 0.2 m/s. Dla każdej prędkości sondę obracano wokół osi od 0° do 360° co 5°. Pomiary wykonywano dla współczynnika nagrzania 1.5.
Dla każdego ustawienia sondy i zadanej prędkości uśredniano po 1000 pomiarów zebranych z czę- stotliwością próbkowania 10 kHz. Przyjęto założenie, że przepływ był laminarny, a zadana prędkość nie zmieniała się, co potwierdzono eksperymentalnie [1].
W celu wyznaczenia parametrów czujnika w zależności (1) przeprowadzono wzorcowanie dla pręd- kości z zakresu od 0.4 do 5 m/s i dla sondy obracanej co 30° wokół własnej osi. Następnie otrzymane dane pomiarowe dopasowano do przebiegów wzorcowych otrzymanych na podstawie zależności (4). W tabeli 1 umieszczono parametry otrzymane po wywzorcowaniu czujnika.
Tab. 1. Wyznaczone parametry
j aj1 aj2 bj1 bj2 nj1 nj2
x 0.047 0.069 –0.818 2.787 4.796 5.522
y 0.158 0.375 1.545 –1.719 5.660 3.049
Rys. 2 przedstawia rozkład wektora prędkości przepływu na składowe, otrzymany dla prędkości przepływu 2 m/s w funkcji obrotu. Linią przerywaną wrysowano składowe teoretycznego wektora prędkości przepływu (4), wykorzystane podczas wzorcowania. Można zauważyć, że składowa vy lepiej dopasowała się do przebiegów wzorcowych niż składowa vx. Jest to związane z tym, że większy wpływ na składową vx ma napięcie Uc2 pochodzące z włókna pomiarowego znajdującego się między wspornikami.
Na Rys. 3 przedstawiono różnice napięć wyznaczone z zależności (2) dla różnych prędkości przepływu w funkcji kąta obrotu sondy. Współczynnik symetryzacji wyznaczony był dla włókna pierwszego ustawionego
Rys. 2. Składowe wektora prędkości wyznaczone dla przebiegów wzorcowych oraz z danych pomiarowych
Rys. 3. Różnica napięć dla obu włókien sondy
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 0
0.5 1 1.5
2 vox
vzx
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 0
0.5 1 1.5
2 voy
vzy
a [°]
v[m/s]x v[m/s]y
a [°]
a) b)
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -0.04
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -0.04
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
DU[V]1
a [°] a [°]
DU[V]2
a) b)
względem przepływu pod kątem 0°, a dla włókna drugiego pod kątem 90°. Dla takich kątów odpowiednie włókna były zorientowane równolegle do przepływu. Średnia wartość współczynnika korekcji wyznaczona dla prędkości z zakresu 0.4 do 5 m/s wynosi dla włókna pierwszego k1 = 1.005, a dla drugiego k2 = 0.978.
Otrzymane z zależności (3) wartości składowych dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu dla wszystkich badanych prędkości przedstawiono na rys. 4. Ponieważ w równaniach na składowe wektora prędkości przepływu (1) występuje pierwiastek, dla małych wartości napięć pomiarowych otrzymuje się wartości urojone, które są zerowane. Efekt ten można zaobserwować na rys. 4a (składowa vx) dla zakresu kątów od 70° do 110° i od 250° do 290° oraz na rys. 4b (składowa vy) dla kątów z zakresu od 170° do 190°, 350° do 10°.
Na rys. 5 przedstawiono błąd względny dla obu składowych wektora prędkości w funkcji kąta zada- wanego podczas pomiarów. Błąd ten wyznaczony był z następującej zależności:
%
100
z z o
w w
w w (6)
gdzie:
wz – wartość zadawana (np. wartość składowej prędkości), wo – wartość wyznaczona z pomiarów.
Maksymalny błąd względny dla składowej vx wynosi około 40%, natomiast dla składowej vy około 17%. Jest on szczególnie duży dla zakresów kątów, dla których wyzerowano wartość składowej.
Ponieważ parametrami eksperymentu były prędkość zadawana w tunelu oraz kąt obrotu sondy wokół własnej osi, przy ocenie działania prezentowanej metody zamieniono układ kartezjański na układ biegu-
nowy. W układzie tym wektor przedstawiany jest za pomocą modułu oraz kąta. Na rys. 6 przedstawiono błąd względny, dla wyznaczonego modułu wektora prędkości przepływu oraz dla kąta obrotu, w funkcji kąta zadawanego podczas pomiarów. Można przyjąć, że błąd modułu zawiera się w zakresie od –15% do 10%, natomiast względny błąd kąta od –5% do 4%. Na rys. 6b widoczny jest wpływ zerowania składowych podczas wyznaczania ich wartości wokół kątów 0°, 90°, 180°, 270°.
Rys. 4. Składowe wektora prędkości przepływu zmierzone sondą dwuwłóknową z odczepami
Rys. 5. Błąd względny dla składowych wektora prędkości przepływu w funkcji zadawanego kąta
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
a [°]
v[m/s]x v[m/s]y
a [°]
a) b)
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -40-35
-30-25 -20-15 -101015202530354045-505
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -40-35
-30-25 -20-15 -101015202530354045-505
a [°]
Dv[%]x
a [°]
Dv[%]y
a) b)
Rys. 6. Błąd względny dla modułu wektora (a) oraz kąta obrotu (b) w funkcji zadawanego kąta
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -40-35
-30-25 -20-15 -101015202530354045-505
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -20
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
a [°]
Dv[%]||
a [°]
Da[%]
a) b)
Do sprawdzenia jaki wpływ na wyznaczony moduł i kąt ma zadawana prędkość przepływu, obliczono błąd średniokwadratowy (zależność (7)). Błąd ten został przedstawiony na rys. 7.
N
i z
i io iz
w w
w w N 1
1 2
(7)
gdzie:
N – liczba pomiarów wykonanych dla każdej prędkości.
Rys. 7. Błąd średniokwadratowy dla modułu prędkości (a) i kąta (b) w funkcji zadawanej prędkości
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
v [m/s]z v [m/s]z
e|v| ea
x10–3 x10–4
a) b)
Dla małych prędkości znaczny wpływ na błąd średniokwadratowy modułu ma zerowanie małych wartości składowych wektora prędkości, wynikające z przyjętego modelu obliczeniowego. Dla prędkości większych od 4.2 m/s błąd średniokwadratowy zaczyna rosnąć. Wzrost zadawanej prędkości powoduje zwiększenie wpływu zakłóceń pochodzących od wsporników na wyznaczany moduł prędkości. W przypadku błędu średniokwadratowego obliczonego dla kąta można zauważyć, że dla prędkości większych od 0.6 m/s jego wartość zdecydowanie maleje. Obliczony błąd średniokwadratowy dla małych prędkości (mniejszych od 1 m/s) jest bardzo zmienny, szczególnie dla modułu mierzonej prędkości. Może to wynikać z niestabil- ności tunelu aerodynamicznego oraz warunków pomiaru.
W celu porównania zmierzonego wektora prędkości z wektorem zadawanym w tunelu zdefi niowano wskaźnik Λ oparty na iloczynie skalarnym unormowanym do kwadratu modułu zadawanej prędkości:
2
cos
z o z
v v
v
(8)
gdzie:
β – kąt zawarty pomiędzy zadawanym wektorem prędkości w tunelu, a wektorem wyznaczonym z pomiarów,
|vz| – moduł zadawanego wektora prędkości,
|vo| – moduł wektora prędkości wyznaczonego z pomiarów.
Dla wektorów równych (vpz = vpo) wskaźnik Λ powinien wynosić 1. Na rys. 8 przedstawiono wskaźnik Λ dla prędkości 0.4 (rys. 8a) oraz 4 m/s (rys. 8b). Dodatkowo linią przerywaną wrysowano średnią wartość wskaźnika.
Można zauważyć, że maksymalna różnica między wektorem zadawanym i zmierzonym wynosi około 10%. Dla prędkości 0.4 m/s wskaźnik Λ zachowuje się dość przypadkowo. Średnia wartość zastosowanego wskaźnika dla wszystkich ustawień sondy dla tej prędkości wynosi 0.984. W przypadku prędkości 4 m/s
można zauważyć pewne zależności wynikające ze zniekształcenia sygnału od włókna znajdującego się między wspornikami (zawyżanie wartości składowej). Średnia wartość wskaźnika Λ dla 4 m/s wynosi 0.986.
Rys. 8. Iloczyn skalarny wyznaczonego wektora prędkości przepływu z teoretycznym wektorem prędkości dla zadawanej prędkości a) 0.4 m/s i b) 4m/s
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 0.80
0.85 0.90 0.95 1 1.05 1.10
1.15 v =0.4m/sz
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 0.80
0.85 0.90 0.95 1 1.05 1.10 1.15
a [°] a [°]
L L
v =0.4m/sz
a) b)
Podsumowanie
W pracy przedstawiono wyniki pomiarów dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu za pomocą sondy dwuwłóknowej z odczepami. W przeciwieństwie do klasycznych czujników termoanemometrycznych można za jej pomocą określić nie tylko wartość wektora, ale również jego kierunek i zwrot.
Otrzymane dla przeprowadzonych eksperymentów wyniki potwierdziły możliwość pomiaru zarówno wartości składowych, jak i kierunku oraz zwrotu dwuwymiarowego wektora prędkości przepływu. Jednak zaproponowana metoda pomiaru charakteryzuje się dużymi błędami uzyskanymi dla poszczególnych skła- dowych. Błędy wyznaczenia modułu oraz kąta na poziomie 10% uzyskane dla pomiarów laboratoryjnych w zakresie prędkości od 0.4 do 5 m/s są zbyt duże, aby można było w praktyce zastosować metodę w obec- ne formie. Dalsze prace będą dotyczyły opracowania takiej metody przetwarzania danych, która umożliwi korekcję zakłóceń pochodzących od wsporników, a tym samym poprawi dokładność pomiaru.
Pracę wykonano w ramach pracy statutowej realizowanej w IMG PAN Kraków w roku 2007, fi nanso- wanej przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
Literatura
[1] Jamróz P., Ligęza P.: Laboratoryjny system do badania charakterystyk kątowych czujników anemometrycznych.
Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, t. 8, nr 1-4, Kraków 2006, s. 19-24.
[2] Kiełbasa J.: Korekcja asymetrii czujnika do wykrywania zwrotu wektora prędkości przepływu. Materiały konfe- rencyjne COE’2006, Zakopane 2006, s. 151-154.
[3] Ligęza P.: Sterowany komputerowo termoanemometryczny system pomiarowy pracujący w oparciu o koncepcję sterowanego układu stałotemperaturowego. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, Vol. 5 No. 2, s. 237-244, Kraków 2003.
[4] Ligęza P., Socha K.: Optimization of an algorithm for measurements of velocity vector components using a three- wire sensor. Review of Scientifi c Instruments 78, 105104, 2007.
[5] Socha K., Ligęza P.: Dwuwłóknowa sonda termoanemometryczna do pomiaru wektora prędkości z uwzględnieniem zwrotu przepływu. Materiały konferencyjne IX Ogólnopolskiego Sympozjum Zastosowanie Mechaniki Płynów w Inżynierii i Ochronie Środowiska 2007.
Method of measurement of components and sense of a two-dimensional velocity vector Abstract
Method of measurement of two-dimensional velocity vector are presented in this paper. Two-wire sensor with additional supports is used in this method. To determined effectivity of the presented method, probe was testing for fl ow velocities ranging from 0.4 to 5 m/s and for different positions of sensor.
Keywords: hot-wire anemometry, velocity vector, two-dimensional fl ows
Recenzował: Prof. dr hab. inż. Stanisław Wasilewski, AGH, Kraków
