MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU DYNAMICZNEGO PROCESU WIERCENIA WIBRACYJNEGO

(1)

35, s. 169-176, Gliwice 2008

MODEL MATEMATYCZNY UKŁADU DYNAMICZNEGO PROCESU WIERCENIA WIBRACYJNEGO

J

AROSŁAW

Z

UBRZYCKI¹

, O

LEG

D

RACZOW²

, W

IKTOR

T

ARANENKO¹

, G

EORGIJ

T

ARANENKO³

1 Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych, Politechnika Lubelska e-mail: j.zubrzycki@pollub.pl , w.taranenko@pollub.pl

2 Państwowy Uniwersytet w Togliatti (Rosja) e-mail: doi05@mail.ru

3 Sewastopolski Narodowy Uniwersytet Techniczny (Ukraina) e-mail: ernoteh@mail.ru

Streszczenie. W artykule przedstawiono podstawy identyfikacji układu dynamicznego procesu wiercenia wibracyjnego, w którego skład wchodzi przetwornik falowy. Pokazano konstrukcje przetworników falowych. Powstanie drgań moŜliwe jest dzięki zastosowaniu przetwornika falowego z odpowiednio niską sztywnością w kierunkach stycznym i wzdłuŜnym. Konstrukcja przetwornika posiada przelotowy rowek wpustowy, który moŜe mieć róŜną postać. Schemat obliczeniowy układu dynamicznego przedstawiono w postaci modelu dwumasowego. Podano układ równań oraz schemat strukturalny układu dynamicznego, wyniki badań doświadczalnych charakterystyk częstotliwościowych amplitudowo-fazowych.

1. WSTĘP

W celu zwiększenia efektywności obróbki mechanicznej (podwyŜszenia wydajności, dokładności, jakości obrobionej powierzchni) opracowano i zaaprobowano wiele sposobów i środków technologicznego oddziaływania na półfabrykat.

Jedną z moŜliwości obróbki wibracyjnej jest wykorzystanie drgań narzędzia. Drgania te nakładane są na narzędzie ze źródeł zewnętrznych. Inny sposób obróbki wibracyjnej polega na wykorzystaniu energii procesu skrawania na powstanie drgań wzdłuŜno-skrętnych narzędzia za pośrednictwem specjalnego przetwornika falowego.

Układ dynamiczny (UD) procesu skrawania jest układem technologicznym (UT) – OUPN, tzn. obrabiarką wraz z realizowanym w nim procesem technologicznym (PT) obróbki skrawaniem (toczenie, szlifowanie, wiercenie) [1, 2].

Schemat obliczeniowy UD procesu wiercenia wibracyjnego przedstawiono w postaci modelu dwumasowego, poniewaŜ największy wpływ na proces kształtowania otworu przy wierceniu wibracyjnym okazują dwa podstawowe podukłady - podukład półfabrykatu (PUP) i podukład narzędzia (PUN).

(2)

2. IDENTYFIKACJA UKŁADU DYNAMICZNEGO WIERCENIA WIBRACYJNEGO W niniejszej pracy za podstawę wzięto sposób wzbudzania drgań skrętno-wzdłuŜnych narzędzia, przedstawionych w pracach [3-5]. Istota tej metody jest następująca. Drgania generowane są dzięki elementowi spręŜystemu (falowód przetwornika z odpowiednio niską sztywnością w kierunkach stycznym i osiowym, wykonanego w formie specyficznej tulei przelotowej do mocowania wiertła). Konstrukcja przetwornika posiada przelotowy rowek śrubowy, który moŜe mieć róŜną postać (rys. 1).

Podczas tworzenia modeli matematycznych procesu wiercenia wibracyjnego z wykorzystaniem przetwornika falowego naleŜy uwzględniać więzy przemieszczeń stycznych i osiowych, poniewaŜ dzięki obecności w jego konstrukcji przelotowego rowka śrubowego, podobnie jak i wiertło spiralne, posiada własności układu nieliniowego.

Oddziaływanie sumaryczne siły osiowej i momentu skrawania na przetwornik falowy (PF) powoduje jego wzajemne powiązane osiowe i kątowe przemieszczenia.

Schemat obliczeniowy UD procesu wiercenia wibracyjnego przedstawiono w postaci modelu dwumasowego, poniewaŜ największy wpływ na proces kształtowania otworu przy wierceniu wibracyjnym wykazują dwa podstawowe podukłady - podukład półfabrykatu (PUP) i podukład narzędzia (PUN). W przypadku półfabrykatu o małej sztywności jego odkształcenia statyczne i dynamiczne koniecznie naleŜy obliczać z wykorzystaniem modelu matematycznego (MM), poniewaŜ ich wartości porównywalne są z wartościami odpowiednich parametrów narzędzia.

Rys. 1. Części wspomagające dla wierteł (przetworniki falowe PF): 1,2 – ze stałym skokiem rowka, 3 – ze zmiennym skokiem

Schemat obliczeniowy UD procesu wiercenia wibracyjnego z zastosowaniem PF przedstawiono na rys. 2.

Rys. 2. Schemat obliczeniowy UD wiercenia wibracyjnego

(3)

UD przedstawiono w postaci dwóch mas skupionych - PUP i PUN, połączonych z nieruchomym zamocowaniem więzami spręŜystymi i dyssypacyjnymi w kierunkach osiowym i stycznym (układ spręŜysty obrabiarki). Proces skrawania równieŜ przedstawiono w postaci sztywnych i dyssypacyjnych więzów w kierunkach osiowym i stycznym pomiędzy dwoma podukładami. Na schemacie przyjęto następujące oznaczenia: M,m – odpowiednio, wprowadzone wyŜej masy wirującego podukładu półfabrykatu i narzędzia [kg]; Jp, Jn – momenty bezwładności półfabrykatu i narzędzia [kgm²]; ϕp, xp, ϕn, xn – kątowe [rad] i osiowe [m] przesunięcia półfabrykatu i narzędzia; hp, kp, hn, kn, h12, k12 – odpowiednio, współczynniki tłumienia [Ns/m] i sztywności [N/m] w kierunku osiowym podukładu półfabrykatu, podukładu narzędzia, i procesu skrawania; βp, c_p, βn, c_n, β12, c₁₂ – współczynniki tłumienia [Nms/rad] i sztywności [Nm/rad] w kierunku stycznym odpowiednio podukładu półfabrykatu, podukładu narzędzia i procesu skrawania.

Model matematyczny dla dwumasowego schematu obliczeniowego moŜe być przedstawiony w postaci układu niejednorodnych liniowych równań róŜniczkowych drugiego rzędu.

Układ równań ruchu elementów UD procesu wiercenia wibracyjnego z uwzględnieniem składowej spręŜystej i tłumiącej siły skrawania moŜna przedstawić w postaci:











−

= +

+

−

= +

+

− +

= +

+

− +

= +

+

).

(

), (

12 12

p n x

n n n n n

p n x

n n n n n n

p n x

p p p p p

p n x

p p p p p p

h a k x k x h x m

a c c

J

h a k x k x h x M

a c c

J

ϕ ϕ

ϕ ϕ β ϕ

ϕ β ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ β ϕ

ϕ β ϕ

&

(1)

Część lewa układu równań zawiera składowe opisujące ruch półfabrykatu i narzędzia w procesie skrawania wg dwóch współrzędnych.

W równaniach (1) chwilowa grubość warstwy skrawanej ax części prawej definiuje się równaniem (2) z uwzględnieniem względnych przemieszczeń wzdłuŜnych półfabrykatu i narzędzia:

2 , 2

, ) (











 −

=

−

=

m x x x a

p p n x

π ω ψ

ψ

(2)

p

m ω

1≤ ≤ 2 największa liczba całkowita. Ślad obrobionej powierzchni w postaci

operatorowej:

p s

n x e

x

x_ψ =( − )⋅ ⁻^τ

(3) gdzie: x_ψ − współrzędna powierzchni skrawania poprzedniego obrotu z powodu przesunięcia faz ψ ; τ = ψ, a e^-τs – człon opóźniający, który określa współrzędną śladu narzędzia.

Uwzględniając (3), wyraŜenie (2) przyjmuje postać:

).

1 ( )

( _n _p ^s

x x x e

a = − ⋅ − ⁻^τ

(4)

Sztywność PUN w kierunkach stycznym i osiowym nie jest stałą i zaleŜy od długości konsoli narzędzia. W wierceniu konwencjonalnym długość wysunięcia zaleŜy od długości części skrawającej narzędzia i długości wysunięcia tulei konika z jego korpusu. W przypadku wiercenia narzędziem z przetwornikiem falowym zamiast wysunięcia tulei uwzględnia się wysunięcie przetwornika falowego z korpusu głowicy wiertarskiej. Przy tym przypuszcza się, Ŝe wpływ wysunięcia narzędzia na inercyjne dyssypacyjne charakterystyki okazuje się być znikomy w stosunku do wpływu na sztywność. Dlatego teŜ w modelu matematycznym tego wpływu nie uwzględnia się.

Siła spręŜystości powstająca w PUN, kształtuje się jako suma składowej statycznej i dynamicznej wg zaleŜności:

dyn.

sp st sp

sp F F

F = + (5)

Równanie jest słuszne zarówno dla osiowej siły spręŜystości, jak i dla składowej stycznej.

W równaniu (5) składową statyczną siły spręŜystości określa się jako iloczyn współczynnika sztywności narzędzia przy określonej wartości wysunięcia do statycznego przemieszczenia pod wpływem siły skrawania przy danym wysunięciu. W kierunku osiowym:

. )

( ⁰

. n n

st x

sp k l x

F =∆ ⋅

(6) Analogicznie w kierunku stycznym:

0

. _n( ) _n

st

sp c l

F _ϕ =∆ ⋅ϕ . (7)

W równaniach (6) i (7) x_n⁰ i ϕ_n⁰- składowe statyczne osiowego, odpowiednio przemieszczenia i skręcania; ∆k_n(l) i ∆c_n(l) - zmienne współczynniki sztywności w kierunku osiowym i stycznym jako funkcja wysunięcia narzędzia.

Składowe dynamiczne odpowiednich sił spręŜystości moŜna wyrazić następującymi zaleŜnościami:

),

. k x (t

F_sp^dyn_x = _n⋅ _n

(8) )

. c (t

F_sp^dyn_ϕ = _n⋅ϕ_n

(9) W zaleŜnościach (8) i (9) x_n(t) i ϕ_n(t) - zmienne składowe osiowego przesunięcia i skręcania PUN.

Budując model matematyczny UD procesu wiercenia wibracyjnego z PF koniecznie naleŜy powiązać specjalnymi współczynnikami więzy współrzędnościowe w PUN. Przy budowie MM badanego wariantu UD, po prawej stronie równań odnoszących się do narzędzia, dodatkowo wchodzą dwie składowe. Pierwszy dodatkowy składnik w równaniu ruchu liniowego narzędzia uwzględnia siłę osiową spręŜystości PF, powstającej w wyniku skręcania od momentu skręcającego. W równaniu skręcanie narzędzia odpowiada momentowi spręŜystości powstającemu od przesunięcia osiowego wywołanego oddziaływaniem siły osiowej. Drugi składnik dodatkowy uwzględnia zmienny charakter współczynników związany ze zmienną sztywnością PUN.

Siła osiowa spręŜystości pochodzi od przemieszczenia wywołanego momentem skręcającym, analogiczna siła spręŜystości we wzorze (5) równieŜ zawiera dwie składowe.

(5)

Składowa statyczna wyraŜana jest wg wzoru:

0

. _x( ) _n

st x

sp k l

F _ϕ =∆ _ϕ ⋅ϕ

. (10)

Tutaj ∆k_ϕ_x(l) - współczynnik więzów jako funkcja wysunięcia.

Składowa dynamiczna siły:

)

. k (t

F_sp^dyn_ϕ_x = _ϕ_x⋅ϕ_n . (11)

Analogicznie, statyczna i dynamiczna składowe siły spręŜystości w kierunku stycznym od skręcania wywołane siłą osiową określa się wg wzorów:

0

. _x ( ) _n

st x

sp k l x

F _ϕ =∆ _ϕ ⋅ , (12)

)

. k x (t

F_sp^dyn_x_ϕ = _x_ϕ⋅ _n . (13)

Uwzględniając współczynniki więzów współrzędnościowych, opóźnienia i zmiennej sztywności PUN, model matematyczny UD procesu wiercenia wibracyjnego z PF w postaci operatorowej moŜe być przedstawiony jako:

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]











∆

⋅

−

∆

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

= +

⋅ +

⋅

∆

⋅

−

⋅

−

⋅

−

∆

⋅

−

⋅

−

= +

⋅ +

⋅

−

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅

−

= +

⋅ +

⋅

−

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅

−

= +

⋅ +

⋅

−

).

( )

( ) (

) ( ) ( )

1 ( )

( ) (

) (

), ( )

( ) ( )

( ) (

) 1 ( ) ( )

( )

(

, ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) (

) (

, ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) (

) (

0 0

12

12 2

0 12

12 0

2

12 12 2

s k s

k x s s

s h

s x s x k e k

s k

s h s m s x

s c s

s s s

x s x

c e s

k x s x k c s s

J s

s s

s h k e s

x s x k s h s M s x

s s

s c

e s

x s x c s s

J s

x n n

n p

n

p n

s x

n n n n

n n p

n p

n

s x

n n

x n n n

n

p n

s p

n p p p

p n

s p

n p p

p

ϕ τ ϕ

τ ϕ

ϕ

τ τ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ β

β ϕ

ϕ ϕ

β β

ϕ

(14)

gdzie: k_ϕx i k_xϕ- współczynniki więzów współrzędnościowych przemieszczeń stycznych i osiowych, wywołane nieliniowością dynamiczną podukładu narzędzia (pokazuje to wpływ zakręcania na przemieszczenia wzdłuŜne części skrawającej narzędzia i odwrotnie);

x n n n x n n

n c x k _ϕ x k ϕ k_ϕ

ϕ⁰⋅∆ , ⁰⋅∆ , ⁰^⋅⋅ , ⁰⋅∆ - składowe uwzględniające nieliniowość odpowiednich zaleŜności sił od przemieszczeń, tj. zmienną sztywność.

Współczynniki modeli ustalano na podstawie pomiaru odkształceń części układu technologicznego przy obciąŜeniu go siłą statyczną. Częstotliwości własne, dekrementy logarytmiczne tłumienia, a takŜe masy skupione i momenty bezwładności określano wg wykresów swobodnych drgań gasnących i odpowiednich zaleŜności.

Schemat strukturalny UD procesu wiercenia wibracyjnego odpowiadający modelowi matematycznemu (14) przedstawia rys. 3. Wielkościami wejściowymi UD są wartości wysunięcia przetwornika oraz prędkość skrawania v_c, wpływające na wartość współczynników sztywności narzędzia w kierunkach osiowym i stycznym, a takŜe na współczynniki ich więzów i prędkości skrawania. W przypadku układu równań linearyzowanych (14) transmitancje operatorowe (TO) procesu wiercenia narzędziem z PF będą określane jako stosunek równania lewej części kaŜdego równania do kaŜdej składowej części prawej. W takim przypadku, dla pierwszego i drugiego równania koniecznie naleŜy opracować 4 transmitancje operatorowe, dla trzeciego i czwartego – 7. Ogólna liczba członów struktury UD równa jest 22, przewaŜnie w postaci transmitancji operatorowej członów oscylacyjnych drugiego rzędu. Transmitancje operatorowe UD tradycyjnego wiercenia będą

(6)

analogiczne TO układu z PF za wyjątkiem członów G₉(s),G₁₄(s),G₁₈(s) i G₂₂(s). Nieobecność tych TO wyjaśnia się nieobecnością w podstawowym UD więzów współrzędnościowych przemieszczeń stycznych i osiowych PUN.

Współrzędną wyjściową UD w obydwu przypadkach jest kąt skręcenia narzędzia ϕ_n(t). W schemacie strukturalnym człony ∆k_n(l),∆k_x_ϕ(l),∆k_ϕ_x(l),∆c_n(l) (rys. 3) pokazują, Ŝe między współrzędną wyjściową członu i jego współrzędną wejściową istnieje jednoznaczna zaleŜność algebraiczna. W odniesieniu do danych członów są to zaleŜności eksperymentalne odpowiednich współczynników od wysunięcia:

) ( ),

( ),

( ₂ ₃ ₄

1 l c f l k f l k f l

f

k_n = ∆ _n = ∆ _x = ∆ _x =

∆ _ϕ _ϕ . (15)

gdzie: l – wartość wysunięcia narzędzia z przetwornikiem falowym [mm].

Rys. 3. Schemat strukturalny UD procesu wiercenia wibracyjnego z PF

ZaleŜności eksperymentalne (15) dla przypadku obróbki z PF otrzymano przy zmianie wysunięcia narzędzia i obciąŜeniu go w jednym z dwóch kierunków (wzdłuŜnym albo stycznym) stałą siłą. Przy tym prowadzono pomiar odkształceń na dwóch współrzędnych.

ZaleŜności eksperymentalne z wysokim stopniem wiarygodności zakresu zmian wysunięcia narzędzia aproksymowano metodą najmniejszych kwadratów. W przypadku obróbki konwencjonalnej zaleŜności współczynników sztywności osiowej i stycznej opierały się na podstawie znanych zaleŜności wytrzymałości materiałów:

, / 1000

)

. (l E F l

k_n_baz = ⋅ ⋅

∆ (16)

, / 1000

)

. (l G J l

c_n_baz = ⋅ ⋅ _r

∆ (17)

gdzie: l – wartość wysunięcia [mm]; E – moduł Younga materiału tulei konika [MPa]; F – powierzchnia przekroju poprzecznego tulei konika [mm²]; G – moduł spręŜystości postaciowej materiału [N/mm⁴]; Jr – moment bezwładności tulei konika względem osi symetrii obrabiarki [mm⁴].

W danym układzie moŜna wzbudzić drgania samowzbudne wg określonego systemu.

(7)

3. BADANIA SYMULACYJNE UD WIERCENIA WIBRACYJNEGO

W celu zbadania opracowanych MM wykonano komputerowe modele strukturalne dwóch wariantów układu technologicznego. Do ich budowy wykorzystano system zautomatyzowanego projektowania w programie MATLAB R13 i, częściowo, pakiet nakładek programowych do modelowania symulacyjnego i analizy schematów strukturalnych obiektów Simulink.

Modele badano metodą analizy częstotliwościowej. Za pomocą wymienionych programów uzyskano amplitudowo-fazowe charakterystyki częstotliwościowe (AFCHCZ) układów.

Na rys. 4 pokazano zestawienie teoretycznych charakterystyk AFCHCZ UD procesu wiercenia sposobem tradycyjnym (1) i z wykorzystanie PF (2). Wartością wyjściową z modelu jest współrzędna skręcania narzędzia, a wartością wejściową w danym przypadku – prędkość skrawania.

Analogicznie, na rys 5, przedstawiono AFCHCZ skręcania PUN od zmiany wysunięcia tulei konika z narzędziem (1) i od zmiany wysunięcia przetwornika falowego (2).

Rys.4. Amplitudowo-fazowe charakterystyki częstotliwościowe (współrzędna wejściowa – prędkość skrawania): 1 – obróbka tradycyjna; 2 – z PF

Rys. 5. Amplitudowo-fazowe charakterystyki częstotliwościowe UD (współrzędna wejściowa – wysunięcie narzędzia): 1 – obróbka tradycyjna; 2 – z PF

Z analizy charakterystyk wynika, Ŝe wariant bazowy (1) charakteryzuje się niskoczęstotliwościowymi drganiami skrętnymi w wąskim z zakresie częstotliwości, tymczasem drgania skrętne układu z PF (2) charakteryzują się szerszym obszarem częstotliwościowym.

Przy obróbce z PF statyczne wartości skręcania przewyŜszają odpowiednie parametry układu bazowego. Wyjaśnia się to obecnością dodatkowej składowej skręcania od siły osiowej, obniŜeniem sztywności podukładu narzędzia UD przy wykorzystaniu PF i róŜnicą zaleŜności parametrów sztywności PUN od wysunięcia w kierunku osiowym ∆k_n(l)

i ∆k_n_._baz(l); w kierunku stycznym ∆c_n(l) i ∆c_n_._baz(l). Maksymalne wg absolutnej wielkości jest skręcanie PUN przy obydwu parametrach wyjściowych występujących na AFCHCZ odpowiadających tradycyjnej obróbce (1). Amplitudowe znaczenie skręcania PUN z PF na AFCHCZ „skręcanie – prędkość” (rys. 4) są mniejsze dla odpowiedniego parametru PUN bez PF o ok. trzy razy, na AFCHCZ „skręcanie – wysunięcie” (rys. 5) – 5 razy.

4. PODSUMOWANIE

Kompleksowe drgania wzdłuŜno-skrętne przy skrawaniu w zaleŜności od warunków i charakterystyk UD narzędzia mogą okazać się następstwem:

(8)

• niewywaŜenia dynamicznego półfabrykatu i mimośrodowości osi narzędzia i półfabrykatu, co potwierdza zbieŜność częstości wirowania półfabrykatu i częstotliwości niskoczęstotliwościowej harmonicznej drgań podukładu narzędzia (4 – 10 Hz);

• periodycznego powstawania wióra, co potwierdza zbieŜność częstotliwości poślizgu wióra i częstotliwości drgań PUN (400 – 500 Hz);

• samowzbudzającego się charakteru UD (częstotliwość względnych skrętno-wzdłuŜnych drgań narzędzia i półfabrykatu 1,5-2 kHz – odpowiada częstotliwości własnej PUN).

Za przewagą wibracyjnego skrętno-wzdłuŜnego układu wiercenia przemawia: po pierwsze, łamanie i transport wibracyjny wióra ze strefy skrawania kanałami śrubowymi narzędzia;

po drugie, drgania skrętne sprzyjają obniŜeniu sił skrawania i zmniejszają amplitudę drgań poprzecznych, w wyniku czego obniŜają się wartości średnie błędu kształtu otworu i chropowatości powierzchni.

Wszystkie rozpatrywane układy otwarte okazują się stabilne zgodnie z kryterium Nyquista, poniewaŜ AFCHCZ nie obejmuje punktu (-1,0) w układzie współrzędnych. JednakŜe zamknięty UD z wykorzystaniem PF, w odróŜnieniu od konwencjonalnego wiercenia, okazuje się niestabilny z punktu widzenia procesu przejściowego. Z tego powodu moŜna sformułować wniosek o tym, Ŝe w UD procesu wiercenia z PF mogą powstać stabilne drgania samowzbudne charakteryzujące się niegasnącą amplitudą. Amplituda drgań w linearyzowanym układzie z upływem czasu zmienia się do nieskończoności. JednakŜe w rzeczywistym układzie nieliniowym amplitudę drgań ogranicza się szeregiem czynników, i przychodzi taki czas, kiedy siły tłumienia przewyŜszają siły wzbudzające drgania.

LITERATURA

1. Теория автоматического регулирования. – М.: Машиностроение, 1992.

2. Abakumow A., Taranenko W., Zubrzycki J.: Moduły programowe dla badania charakterystyk układu dynamicznego procesu skrawaniach. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej 2006 nr 230 „Mechanika” z. 67: Modułowe technologie i konstrukcje w budowie maszyn, s. 99 – 109

3. Подураев В. Н.: Обработка резанием с вибрациями. – М.: Машиностроение, 1970.

4. Кумабэ Д.: Вибрационное резание: Пер. с яп. С.Л. Масленникова/ Под ред. И. И.

Портнова, В. В. Белова. М.: Машиностроение, 1985.

5. Draczow O., Taranenko W., Halas W., Taranenko G.: Sterowanie obróbką wibracyjną wałów o małej sztywności. „Pomiar, automatyka, robotyka” 2008, nr 2, s. 224 – 227

THE MATHEMATICAL MODEL OF THE DYNAMIC SYSTEM OF VIBRATORY DRILLING PROCESS

Summary. The basis of the dynamic system of vibratory drilling process identification where the wave transducer is one of elements were introduced in the article. The constructions of wave transducers was shown. Formation of vibrations is possible by use of the wave transducer with suitably low rigidity in tangential and longitudinal directions. The transducer possesses the through splineway which can have the various shape. The computational pattern of the dynamic system was introduced as the two-mass model. The system of equations and the structural pattern of the dynamic system, results of the investigations of experimental frequency amplitude-phase profiles were presented.