• Nie Znaleziono Wyników

4. Zbieżność martyngałów— zadania do samodzielnego rozwiązania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "4. Zbieżność martyngałów— zadania do samodzielnego rozwiązania"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Procesy stochastyczne

4. Zbieżność martyngałów— zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 4.1 (B. M. P., Ex. 3.5 p. 34) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych lo- sowych o jednakowym rozkładzie N (0, σ2) (σ > 0). Funkcja tworząca momenty dla tak zdefiniowanych zmiennych losowych ma postać M (t) = exp(12σ2t2). Niech Sn = Pnk=1Xk. Ciąg Mn = etSn(M (t))−n jest martyngałem względem filtracji Fn = σ(S1, . . . , Sn) (patrz zad. 2.5.). Wykaż, że dla każdego t ∈ R martyngał ten jest prawie wszędzie zbieżny do pewnej zmiennej losowej M. Wyznacz M.

Zad. 4.2 (L., Ex. 6 p. 102) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako- wym rozkładzie

P



Xi = 3 2



= P



Xi = 1 2



= 1 2

dla i ­ 1. Niech M0 = 1, a dla n > 0 niech Mn= X1· . . . · Xn, Fn= σ(X1, . . . , Xn). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie martyngału {Mn}. Korzystając z MPWL wyznacz jego granicę.

Czy {Mn} jest zbieżny w L1?

Zad. 4.3 (L., Ex. 2 p. 101) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako- wym rozkładzie

P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 1 2

dla i ­ 1 i niech Mn = Pnj=1 1jXj. Pokaż, że {Mn} z filtracją Fn = σ(X1, . . . , Xn) jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L1 (czyli szereg harmoniczny o losowych znakach jest prawie na pewno zbieżny!).

Zad. 4.4 (J. S., Zad. 2 str. 241) Korzystając z twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów, wykaż, że jeżeli {Xn} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych z EXn = 0 iPn=1V arXn< ∞, to szereg Pn=1Xn jest zbieżny prawie wszędzie.

Zad. 4.5 (K., Ex. 50.2/255) Niech {Xn} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych

P (Xn= n3) = P (Xn = −n3) = 1

2n2, P (Xn= 0) = 1 − 1

n2, n ∈ N.

Udowodnij, że Sm = Pmn=1Xn, m ∈ N, z filtracją Fm = σ(X1, . . . , Xm) jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie, ale nie w L1.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zbadać zbieżność ciągu (a n ) określonego podanym wzorem; obliczyć granice ciągów zbieżnych, rozstrzygnąć czy ciągi rozbieżne mają granicę niewłaściwą.. 165.. Zadania

Załóżmy, że liczba log 2 3 jest wymierna i niech m/n będzie jej przedstawieniem w postaci ilorazu liczb naturalnych (zauważmy, że jest to liczba dodatnia).. Otrzymana

Zad. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Zad. 373) Niech W będzie procesem Wienera. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są

Rodzaje zbieżności zmiennych losowych - zadania do samodzielnego

Dla każdej funkcji z poprzedniego zadania napisz tożsamość Parse-

1.3 Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów N generowane przez wszystkie zbiory jed-

Całkowanie ciągów funkcyjnych (wstęp) – zadania do samodzielnego