Procesy stochastyczne
4. Zbieżność martyngałów— zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 4.1 (B. M. P., Ex. 3.5 p. 34) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych lo- sowych o jednakowym rozkładzie N (0, σ2) (σ > 0). Funkcja tworząca momenty dla tak zdefiniowanych zmiennych losowych ma postać M (t) = exp(12σ2t2). Niech Sn = Pnk=1Xk. Ciąg Mn = etSn(M (t))−n jest martyngałem względem filtracji Fn = σ(S1, . . . , Sn) (patrz zad. 2.5.). Wykaż, że dla każdego t ∈ R martyngał ten jest prawie wszędzie zbieżny do pewnej zmiennej losowej M∞. Wyznacz M∞.
Zad. 4.2 (L., Ex. 6 p. 102) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako- wym rozkładzie
P
Xi = 3 2
= P
Xi = 1 2
= 1 2
dla i 1. Niech M0 = 1, a dla n > 0 niech Mn= X1· . . . · Xn, Fn= σ(X1, . . . , Xn). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie martyngału {Mn}. Korzystając z MPWL wyznacz jego granicę.
Czy {Mn} jest zbieżny w L1?
Zad. 4.3 (L., Ex. 2 p. 101) Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednako- wym rozkładzie
P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 1 2
dla i 1 i niech Mn = Pnj=1 1jXj. Pokaż, że {Mn} z filtracją Fn = σ(X1, . . . , Xn) jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L1 (czyli szereg harmoniczny o losowych znakach jest prawie na pewno zbieżny!).
Zad. 4.4 (J. S., Zad. 2 str. 241) Korzystając z twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów, wykaż, że jeżeli {Xn} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych z EXn = 0 iP∞n=1V arXn< ∞, to szereg P∞n=1Xn jest zbieżny prawie wszędzie.
Zad. 4.5 (K., Ex. 50.2/255) Niech {Xn} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych
P (Xn= n3) = P (Xn = −n3) = 1
2n2, P (Xn= 0) = 1 − 1
n2, n ∈ N.
Udowodnij, że Sm = Pmn=1Xn, m ∈ N, z filtracją Fm = σ(X1, . . . , Xm) jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie, ale nie w L1.