1. Przestrzenie mierzalne – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 Udowodnij, że jeśli A i B są algebrami (σ-algebrami), to A ∩ B jest także algebrą (σ-algebrą).
Zad. 1.2 Podaj przykład algebr (σ-algebr) A i B, dla których A ∪ B nie jest algebrą (σ-algebrą).
Zad. 1.3 Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów N generowane przez wszystkie zbiory jed- noelementowe.
Zad. 1.4 Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów R generowane przez wszystkie półproste postaci (n, +∞), n ∈ Z.
Zad. 1.5 Udowodnij, że suma wstępującego ciągu algebr jest algebrą. Podaj przykład, że własność ta nie jest prawdziwa dla σ-algebr.
Zad. 1.6 Udowodnij, że jeśli {At; t ∈ T } jest niepustą rodziną algebr (σ-algebr) pod- zbiorów przestrzeni Ω, to przekrój Tt∈T At jest algebrą (σ-algebrą) podzbiorów tej przestrzeni.
Zad. 1.7 Dane są σ-algebry podzbiorów przestrzeni R:
σ1 = σ({(a, b); a, b ∈ R, a < b}), σ9 = σ({(p, q); p, q ∈ Q, p < q}), σ2 = σ({[a, b]; a, b ∈ R, a < b}), σ10= σ({[p, q]; p, q ∈ Q, p < q}), σ3 = σ({[a, b); a, b ∈ R, a < b}), σ11= σ({[p, q); p, q ∈ Q, p < q}), σ4 = σ({(a, b]; a, b ∈ R, a < b}), σ12= σ({(p, q]; p, q ∈ Q, p < q}), σ5 = σ({(−∞, a); a ∈ R}), σ13= σ({(−∞, p); p ∈ Q}), σ6 = σ({(−∞, a]; a ∈ R}), σ14= σ({(−∞, p]; p ∈ Q}), σ7 = σ({(a, +∞); a ∈ R}), σ14= σ({(p, +∞); p ∈ Q}), σ8 = σ({[a, +∞); a ∈ R}), σ16= σ({[p, +∞); p ∈ Q}).
Dla każdych 1 ¬ i < j ¬ 16 udowodnij, że σi = σj.
