matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

(1)

matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

lista 1

1. Czy funkcja s(x) = e ⁻

^x3¹²

dla x ≥ 0 może być funkcja przeżycia?

2. Uzasadnić, że następujący wzór jest prawdziwy

t

₁

+t

₂

+...+t

_n

p x = t

₁

p x · t

₂

p x+t

₁

· t

₃

p x+t

₁

+t

₂

· . . . · t

_n

p x+t

₁

+t

₂

+...+t

_n−1

3. Przedstawić 3 q x za pomocą symboli aktuarialnych dotyczących rocznych okresów.

4. Pokazać, że:

◦ e _x = E(T (x)) =

∞

Z

0 t p _x dt

5. Mając dane t p x = 1 − ( ₁₀₀ ^t ) ^1,5 dla x = 60 oraz 0 < t < 100 oblicz a) E(T (x))

b) P (K(x) = 20)

6. Mając dane G(t) = 1 − ( ^100−t−x _100−x ) ² dla 0 ≤ t ≤ 100 − x oblicz a) E(T (x))

b) V ar(T (x))

7. Niech X będzie zmienna losową o dystrybuancie danej wzorem

F (x) = 1 − e ^−λx dla x > 0 a) jaki rozkład ma zmienna losowa X?;

b) pokazać, że dystrybuanta zmiennej losowej T (x) jest funkcją zależną jedynie od t ( a nie od x) czyli, że posiada własność braku pamięci;

oblicz:

c) E(T (x)) d) V ar(T (x))

8. niech X ma rozkład U [0, ω]

a) pokazać, że T (x) ma rozkład U [0, ω − x];

b) obliczyć V ar(T (x));

c) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K(x).

9. Obliczyć e x = E(K(x)), gdy T (0) ma rozkład wykładniczy z parametrem µ.

10. Zdefiniujmy zmienną losową

K ^∗ (x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . . a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K ^∗ (x)

b) oznaczmy E(K ^∗ (x)) przez e _x:n| , pokazać, że

e _x:n| =

n−1

X

k=0

k k p x · q x+k + n n p x =

n

X

k=1 k p x

c) pokazać, że

V ar[K ^∗ (x)] =

n−1

X

k=0

k ² _k p x · q x+k + n ² _n p x − (e _x:n| ) ² =

n

X

k=1

(2k + 1) k p x − (e _x:n| ) ²

(2)

11. Pokazać, że lim

t→0

t

q

x

t = µ(x).

12. Jeśli s(x) = (1 − ₁₀₀ ^x )

¹²

gdzie 0 ≤ x ≤ 100 oblicz:

a) µ(36);

b) E(T (36)).

13. Znając _t p _x = ^100−x−t _100−x dla 0 ≤ x ≤ 100 oraz 0 ≤ t ≤ 100 − x obliczyć µ ₄₅ . 14. Niech µ(x) = 0, 001 dla 20 ≤ x ≤ 25 obliczyć _2|2 q ₂₀ .

15. Wiedząc, że natężenie wymierania pewnej populacji dane jest wzorem µ _x = 3

100 − x 0 ≤ x ≤ 100 oblicz:

a) ₁₀ p ₅₀ b) ₁₂ q ₅₀ c) _10|5 q ₅₀ d) s(50)

16. Wiedząc, że natężenie wymierania pewnej populacji określone jest funkcją

µ x =

( ₃

110−x dla 0 ≤ x < 50

2,5

100−x dla 50 ≤ x < 100 a) wyznaczyć t p x , 0 ≤ t ≤ 100 − x, 0 ≤ x ≤ 100

b) obliczyć e ^◦ ₃₀

17. Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ≥ 50 oraz e ^◦ ₅₀ = 40, obliczyć p 60 .

matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej

lista 1

1. Czy funkcja s(x) = e −

dla x ≥ 0 może być funkcja przeżycia?

2. Uzasadnić, że następujący wzór jest prawdziwy

t

+t

+...+t

p x = t

p x · t

p x+t

· t

p x+t

+t

· . . . · t

p x+t

+t

+...+t

3. Przedstawić 3 q x za pomocą symboli aktuarialnych dotyczących rocznych okresów.

4. Pokazać, że:

◦ e x = E(T (x)) =

∞

Z

0 t p x dt

5. Mając dane t p x = 1 − ( 100 t ) 1,5 dla x = 60 oraz 0 < t < 100 oblicz a) E(T (x))

b) P (K(x) = 20)

6. Mając dane G(t) = 1 − ( 100−t−x 100−x ) 2 dla 0 ≤ t ≤ 100 − x oblicz a) E(T (x))

b) V ar(T (x))

7. Niech X będzie zmienna losową o dystrybuancie danej wzorem

F (x) = 1 − e −λx dla x > 0 a) jaki rozkład ma zmienna losowa X?;

b) pokazać, że dystrybuanta zmiennej losowej T (x) jest funkcją zależną jedynie od t ( a nie od x) czyli, że posiada własność braku pamięci;

oblicz:

c) E(T (x)) d) V ar(T (x))

8. niech X ma rozkład U [0, ω]

a) pokazać, że T (x) ma rozkład U [0, ω − x];

b) obliczyć V ar(T (x));

c) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K(x).

9. Obliczyć e x = E(K(x)), gdy T (0) ma rozkład wykładniczy z parametrem µ.

10. Zdefiniujmy zmienną losową

K ∗ (x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . . a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K ∗ (x)

b) oznaczmy E(K ∗ (x)) przez e x:n| , pokazać, że

e x:n| =

n−1

X

k=0

k k p x · q x+k + n n p x =

n

X

k=1 k p x

c) pokazać, że

V ar[K ∗ (x)] =

n−1

X

k=0

k 2 k p x · q x+k + n 2 n p x − (e x:n| ) 2 =

n

X

k=1

(2k + 1) k p x − (e x:n| ) 2

11. Pokazać, że lim

t→0

q

t = µ(x).

12. Jeśli s(x) = (1 − 100 x )

gdzie 0 ≤ x ≤ 100 oblicz:

a) µ(36);

b) E(T (36)).

13. Znając t p x = 100−x−t 100−x dla 0 ≤ x ≤ 100 oraz 0 ≤ t ≤ 100 − x obliczyć µ 45 . 14. Niech µ(x) = 0, 001 dla 20 ≤ x ≤ 25 obliczyć 2|2 q 20 .

15. Wiedząc, że natężenie wymierania pewnej populacji dane jest wzorem µ x = 3

100 − x 0 ≤ x ≤ 100 oblicz:

a) 10 p 50 b) 12 q 50 c) 10|5 q 50 d) s(50)

16. Wiedząc, że natężenie wymierania pewnej populacji określone jest funkcją

µ x =

( 3

110−x dla 0 ≤ x < 50

2,5

100−x dla 50 ≤ x < 100 a) wyznaczyć t p x , 0 ≤ t ≤ 100 − x, 0 ≤ x ≤ 100

b) obliczyć e ◦ 30

17. Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ≥ 50 oraz e ◦ 50 = 40, obliczyć p 60 .

1. Czy funkcja s(x) = e ⁻

◦ e _x = E(T (x)) =

0 t p _x dt

5. Mając dane t p x = 1 − ( ₁₀₀ ^t ) ^1,5 dla x = 60 oraz 0 < t < 100 oblicz a) E(T (x))

6. Mając dane G(t) = 1 − ( ^100−t−x _100−x ) ² dla 0 ≤ t ≤ 100 − x oblicz a) E(T (x))

F (x) = 1 − e ^−λx dla x > 0 a) jaki rozkład ma zmienna losowa X?;

K ^∗ (x) = min(K(x), n), K(x) = 0, 1, . . . a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej K ^∗ (x)

b) oznaczmy E(K ^∗ (x)) przez e _x:n| , pokazać, że

e _x:n| =

V ar[K ^∗ (x)] =

k ² _k p x · q x+k + n ² _n p x − (e _x:n| ) ² =

(2k + 1) k p x − (e _x:n| ) ²

12. Jeśli s(x) = (1 − ₁₀₀ ^x )

13. Znając _t p _x = ^100−x−t _100−x dla 0 ≤ x ≤ 100 oraz 0 ≤ t ≤ 100 − x obliczyć µ ₄₅ . 14. Niech µ(x) = 0, 001 dla 20 ≤ x ≤ 25 obliczyć _2|2 q ₂₀ .

15. Wiedząc, że natężenie wymierania pewnej populacji dane jest wzorem µ _x = 3

a) ₁₀ p ₅₀ b) ₁₂ q ₅₀ c) _10|5 q ₅₀ d) s(50)

( ₃

b) obliczyć e ^◦ ₃₀

17. Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x ≥ 50 oraz e ^◦ ₅₀ = 40, obliczyć p 60 .