Lista 9: Wektory w przestrzeni liniowej
(1) W przestrzeni (R
3, R, +, ·) zbada´c liniow¸a niezale˙zno´s´c wek- tor´ ow:
(a) (1, 2, 3) oraz (−2, −4, −6), (b) (1, 0, 1), (−1, 2, 1) i (0, 2, 2),
(c) (1, −1, 0), (2, 1, 1) i (3, 0, 2), (d) (1, 4, 3), (−1, 2, −1) i (0, 6, 4).
(2) Wektory (3, −2, 5), (0, 1, 1) przedstawi´ c na wszystkie mo˙zliwe sposoby jako kombinacje liniowe wektor´ ow:
(a) (3, −2, 5), (1, 1, 1),
(b) (3, −2, 5), (1, 1, 1), (0, −5, 2).
(3) Zbada´ c liniow¸ a niezale˙zno´s´ c podanych uk lad´ ow wektor´ ow w odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a) (1, 0), (1, 1), (0, 1) w R
2(R), (b) √
2 i 2 w R(R), (c) √
2 i 2 w R(Q),
(4) Dla jakich warto´sci parametru a zbi´ or wektor´ ow:
(a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (a, 1, 1)}, (b) {(1, 1, a), (2, 1, 4), (4, 2, 8)}
jest zbiorem wektor´ ow liniowo niezale˙znych w przestrzeni R
3(R)?
(5) Czy spe lniona jest zale˙zno´s´ c:
(a) a
i∈ Lin(a
1, ..., a
k) dla i = 1, ..., k, (b) (1, 1, −1) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4)),
(c) (1, −8, 12) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4)), (d) (−1, −2, 2) ∈ Lin((2, −1, 3), (5, 0, 4),
(e) Lin((1, 2, 1), (4, 1, 2)) = Lin((−2, 3, 0), (3, −1, 1)).
(6) Zbadaj, czy zbi´ or S generuje R
2, je˙zeli (a) S = {(2, 1), (−1, 2)};
(b) S = {(−1, 4), (4, −1), (1, 1)};
(c) S = {(1, 3), (2, −6), (4, 12)};
(d) S = {(1, 1)}.
1