• Nie Znaleziono Wyników

1. Poka», »e je»eli d jest metryka w zbiorze X, to funkcja d

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Poka», »e je»eli d jest metryka w zbiorze X, to funkcja d"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Topologia II: Zadania domowe 1

1. Poka», »e je»eli d jest metryk a w zbiorze X, to funkcja d

0

okre±lona wzorem

d

0

(a, b) = min {1, d(a, b)}, gdzie a, b ∈ X tak»e jest metryk a w X.

2. Niech X b edzie zbiorem niesko«czonym. W zbiorze X wprowadzamy topologi e

τ = {∅} ∪ {U ⊂ X | X \ U jest zbiorem przeliczalnym}.

Poka», »e τ jest rzeczywi±cie topologi a w zbiorze X.

3. Poka», »e w N

+

ka»da z poni»szych rodzin jest topologi a

(a) τ

1

skªada si e z ∅, N

+

oraz wszystkich zbiorów postaci {1, 2, . . . , n}, n ∈ N

+

;

(b) τ

2

skªada si e z ∅, N

+

oraz wszystkich zbiorów postaci {n, n + 1, . . .}, n ∈ N

+

.

4. Zauwa», »e zarówno przestrze« topologiczna dyskretna, jak i trywialna maj a wªasno±¢, »e ka»dy podzbiór otwarty jest jednocze±nie domkni ety.

Podaj przykªad topologii w zbiorze X = {a, b, c, d}, która nie jest ani trywialna, ani dyskretna, a dla której ka»dy zbiór otwarty jest jedno- cze±nie domkni ety.

5. Niech X b edzie zbiorem niesko«czonym. Je»eli τ jest topologi a w zbio- rze X, dla której ka»dy niesko«czony podzbiór zbioru X jest domkni ety, to poka», »e τ jest topologi a dyskretn a.

6. Niech X b edzie zbiorem niesko«czonym, z τ topologi a w X, dla której zbiór X jest jedynym niesko«czonym zbiorem otwartym. Czy (X, τ) musi by¢ koniecznie topologi a trywialn a?

7. Niech τ b edzie topologi a w zbiorze X zdeniowan a nast epuj aco τ = {X, ∅, A, B},

gdzie A, B s a niepustymi, ró»nymi i wªa±ciwymi podzbiorami zbioru X.

Poka», »e A i B musz a speªnia¢ dokªadnie jeden z poni»szych warunków:

(a) B = X \ A;

1

(2)

(b) A ⊂ B;

(c) B ⊂ A.

8. Liczba topologii w zbiorze o n elementach mo»e by¢ du»a nawet przy maªym n; dokªadniej, je»eli n = 2, to mamy 4 topologie, je»eli n = 3 - 29 topologii, n = 4 - 355 topologii, n = 5 − 6942 topologii. U»ywaj ac zasady indukcji matematycznej, poka», »e wraz ze wzrostem n wzrasta te» liczba topologii.

Wskazówka: wystarczy pokaza¢, »e je»eli zbiór o n elementach ma M topologii, to zbiór o n + 1 elementach ma co najmniej M + 1 topologii.

9. Stosuj az zasad e indukcji matematycznej poka», »e je»eli X jest zbiorem sko«czonym o n elementach, to mo»na w nim okre±li¢ co najmniej (n − 1)! topologii.

10. Niech τ

1

, τ

2

b ed a topologiami w zbiorze X. Poka», »e (a) τ

3

= τ

1

∪ τ

2

nie koniecznie jest topologi a w zbiorze X;

(b) τ

4

= τ

1

∩ τ

2

jest topologi a w X.

11. Niech (Y, τ

Y

) b edzie podprzestrzeni a (X, τ). Poka», »e podzbiór Z ⊂ Y jest domkni ety w (Y, τ

Y

) wtedy i tylko wtedy, gdy Z = A ∩ Y , gdzie A jest domkni etym podzbiorem w (X, τ).

12. Poka», »e ka»da podprzestrze« przestrzeni dyskretnej jest dyskretna.

13. Poka», »e ka»da podprzestrze« przestrzeni trywialnej jest trywialna.

14. Poka», »e podprzestrze« [0, 1] ∪ [3, 4] przestrzeni R ma co najmniej 4 podzbiory, które s a jednocze±nie otwarte i domkni ete. Dokªadnie ile takich podzbiorów istnieje?

15. Noech (Y, τ

Y

) b edzie podprzestrzeni a (X, τ). Poka», »e τ

Y

⊂ τ wtedy i tylko wtedy, gdy Y ∈ τ.

16. Poka», »e dla a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d [a, b] ∼ = [c, d].

17. Poka», »e Z ∼ = N.

18. Czy podprzestrzenie X = (0, 1) ∪ (3, 4) i Y = (0, 1) ∪ (1, 2) s a home- omorczne? Odpowied¹ uzasadnij.

2

(3)

19. Niech X b edzie przestrzeni a topologiczn a, G zbiorem wszystkich ho- meomorzmów z X w X.

(a) Poka», »e G jest grup a ze wzgl edu na skªadanie funkcji.

(b) Uzasadnij, »e je»eli X = [0, 1], to G jest niesko«czone.

(c) Je»eli X = [0, 1], to czy G jest grup a abelow a?

20. Niech X b edzie okr egiem w R

2

, tzn. X = {(x, y) | x

2

+ y

2

= 1} , wraz z topologi a podprzestrzeni.

(a) Poka», »e X \ {(0, 1)} jest homeomorczne z (0, 1).

(b) Uzasadnij, »e X  (0, 1) i X  [0, 1].

(c) Poka», »e X  [0, 1).

(d) Uzasadnij, »e X nie jest homeomorczne z »adnym przedziaªem.

21. Niech X = (R \ N) ∪ {1}. Deniujemy funkcj e f : R → X wzorem

f (x) =  x, je»eli x ∈ R \ N 1, je»eli x ∈ N oraz topologi e τ w zbiorze X postaci

τ = {U ⊂ X | f

−1

(U ) jest otwartym podzbiorem w R}.

Poka», »e

(a) τ jest topologi a w X;

(b) f jest ci agªa;

(c) (X, τ) jest przestrzeni a Hausdora.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Caªkami szczególnymi rozwa»anego równania s¡ zatem e 2x , xe 2x , które na mocy Uwagi 1c) s¡.. liniowo niezale»na, a zatem tworz¡

5 Poka», »e w przestrzeni Hausdora punkty s¡ domkni¦te, a ci¡gi zbie»ne maj¡ tylko jedn¡

Ka»de zadanie prosimy odda¢ na oddzielnej, podpisanej kartce.. Czas pracy:

W ka»dym podpunkcie w poni»szych pytaniach prosimy udzieli¢ odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczaj¡c j¡ na zaª¡czonym arkuszu odpowiedzi.. Ka»da kombinacja odpowiedzi TAK lub NIE w

Na laboratorium tym ułożymy również dwa skrypty funkcyjne OCTAVE o nazwach Jacobi.m i Seidel.m, realizuj¸ ace powyższe

Poka», »e ka»da funkcja wypukªa na przedziale (a, b)

Kodowanie wielomianowe jest