ENERGETYCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW
MECHANICZNYCH I BIOMECHANICZNYCH
Marian Witalis Dobry
1a, Tomasz Hermann
1b1Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
amarian.dobry@put.poznan.pl, btomasz.hermann@put.poznan.pl
Streszczenie
W artykule przedstawiono energetyczną metodę oceny modeli fizycznych na przykładzie modelu systemu Człowiek – Narzędzie. Jest to metoda stosowana do porównania systemów mechanicznych i biomechanicznych, która realizowana jest w dziedzinie rozdziału mocy i przepływu energii w ich strukturach dynamicz- nych.Zastosowana metoda wykorzystuje ścisły związek między dynamiką badanych systemów i zjawiskami energetycznymi, które zachodzą w badanych systemach. Przeprowadzenie oceny energetycznej modeli fizycz- nychwymagało zbudowania energetycznych modeli systemów Człowiek – Narzędzie i ich rozwiązania. W tym celu opracowano programy symulujące przepływ energii w systemach w środowisku MATLAB/Simulink. W ten sposób wykazano różnicę pomiędzy modelami w przepływie rodzajowym energii i globalnie w całym syste- mie.
Słowa kluczowe:drgania miejscowe, system biomechaniczny, przepływ energii
ENERGY METHOD OF AN EVALUATION OF HUMAN MECHANICAL AND BIOMECHANICAL SYSTEMS
Summary
The main aim of this study is a presentation of energy comparison between two human physical models in case of hand-arm vibrations which are based on the energy flow in their dynamic structure.The method which was used, takes advantage of theclose relationshipbetween the dynamicsof the systemsandenergeticphenomena- that occurin the studiedsystems.The energy evaluation of physical models of human required tobuildthe energy modelsof the Human– Tool systems and their solutions. For this purpose, there are elaborated programs which realize energy flow of systems in the MATLAB/simulink software. In this way, showed the discrepancy be- tween models in the participation of three types of energy and globally in whole system.
Keywords:hand-arm vibrations, biomechanical system, energy flow
1. WSTĘP
Każdego dnia człowiek ma kontakt z przyrządami i maszynami, których funkcjonowanie związane jest z przekazywaniem różnych oddziaływań. Najczęściej praca tych urządzeń jest ściśle związana z procesami drganiowymi. Elektryczna maszynka do golenia, pralka, czy też środki transportu, takie jak samochody,
autobusy, samoloty są źródłem drgań, które występują w nich samych lub w ich najbliższym otoczeniu.
W takim razie każdy organizm żywy jest poddany w różnym stopniu niebezpiecznemu oddziaływaniu drgań.
Jednym ze sposobów ochrony człowieka w środowi- sku pracy jest minimalizowanie drgań do możliwie najniższych poziomów. Obecnie postęp w tej dziedzinie jest znaczący i wiele maszyn jest już projektowanych z uwzględnieniem środków mających na celu ogranicze- nie drgań. Tylko właściwie zaprojektowane urządzenie pozwala w pełni, tzn. w najwyższym stopniu, zamienić energię na pracę przy minimalnym oddziaływaniu na operatora. W takim przypadku niezbędna jest znajo- mość charakterystyki dynamicznej ciała człowieka.
Zbudowanie odpowiedniego modelu obliczeniowego poprzedzone jest koniecznością przeprowadzenia wielu badań doświadczalnych, ponieważ jest to bardzo złożony i nieliniowy układ. Współcześnie do analiz stosuje się wiele modeli różniących się między sobą przede wszystkim liczbą stopni swobody, elementów składowych struktury dynamicznej oraz sposobem ich połączenia [6].
Oprócz już istniejących układów [7, 8], tworzone są kolejne modele, które mają zastąpić poprzednie i lepiej odzwierciedlać reakcję człowieka na działanie drgań mechanicznych. Wybór właściwego modelu jest wobec tego coraz trudniejszy. W niniejszej pracy podjęto próbę porównania nowego modelu z modelem już stosowanym z normy ISO 10068. Oceny dokonano pod względem energetycznym, a za kryterium poprawności modeli przyjęto równość zjawisk energetycznych zachodzących w ich strukturze dynamicznej oraz w całym systemie w czasie pracy.
Celem zaprezentowanych badań była ocena po- prawności uzyskiwanych wyników analizy energetycz- nejza pomocą proponowanego nowego modelu fizycz- nego człowieka wprzypadku drgań miejscowych, przedstawionego w pracy [5] – rys. 2b. W celu spraw- dzenia poprawności ocenianego modelu zbudowano odpowiedni model energetyczny człowieka z narzędziem, który był rezultatem syntezy nowego modelu fizycznego człowieka z pracy [5] i zmechanizo- wanego narzędzia ręcznego (rys. 2b). Wartości otrzy- mane za pomocą tego modelu energetycznego porów- nano z modelem odniesienia otrzymanym na podstawie syntezy modelu zawartego w normie ISO 10068 o trzech punktach redukcji [9] z modelem narzędzia (rys. 2a).
Przeprowadzenie oceny energetycznej modeli wy- magało zbudowania różniczkowych równań ruchu – modelu matematycznego, które otrzymano, wykonując procedurę na podstawie równań Lagrange’a II rodzaju.
Do ich rozwiązania opracowano wpierw programy realizujące dynamikę badanych systemów, wykorzystu- jąc program MATLAB/Simulink. Przepływ energii w rozpatrywanych systemach biomechanicznych otrzymano, wykorzystując elementarny procesor
2. PRZEPŁYW ENERGII W SYSTEMIE
Do wyznaczenia przepływu energii wykorzystano pierwszą zasadę przepływu energii w systemie mecha- nicznym. Zasada ta jest zdefiniowana w następujący sposób [1 – 4]:
„Przyrost energii wejściowej netto do systemu me- chanicznego z uwzględnieniem przyrostu energii strat równa się sumie przyrostów energii odbitej (zakumulo- wanej lub zgromadzonej) w systemie iprzyrostowi energii wyjściowej systemu.”
Zasada ma następującą postać matematyczną:
(1) gdzie:
(2)
przyrost energii wejściowej (ekwiwalentny pracy sił zewnętrznych działających na system na wejściu na drodze od punktu A do B wzdłuż trajektorii),
(3)
przyrost energii strat (ekwiwalentny sumie przyrostów strat wewnętrznych w systemie i pracy sił oporu ruchu),
(4)
przyrost energii zakumulowanej lub zgromadzonej w systemie (ekwiwalentny przyrostowi energii we- wnętrznej),
(5)
przyrost energii wyjściowej (ekwiwalentny pracy sił zewnętrznych na wyjściu z systemu) [1 – 4].
Interpretację graficzną pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym zaprezentowano na rys. 1.
∆Ewe – ∆Estr = ∆Eod + ∆Ewy
∆Ewe ∆Eod
∆Ewy
∆Estr
SYSTEM MECHANICZNY, SUBSYSTEM, ELEMENT
PUNKT REDUKCJI
M. W. DOBRY, 17.02.1996
Rys. 1. Graficzna interpretacja pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym [1 – 4]
3. METODYKA ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU
Dokonanie oceny zgodności otrzymywanych wyni- ków energetycznych przez nowy model wymagało zbudowania modeli energetycznych człowieka z narzędziem. Przedstawiony nowy model fizyczny złożono z modelu człowieka, opracowanego przez J. H.
Donga, R. G. Donga, S. Rakheję i J. Z. Wu [5] oraz z modelu narzędzia. Otrzymane za pomocą tego mode- lu rezultaty energetyczne zestawiono
z odpowiadającymi im wynikami, które uzyskano w przypadku wyboru modelu zawartego w normie ISO 10068 o trzech punktach redukcji [9] – rys. 2a.
Przedstawione modele są modelami dyskretnymi, w których odpowiednie punkty redukcji są połączone ze sobą za pomocą układów sprężystych oraz tłumią- cych modelujących właściwości sprężyste i tłumiące ciała ludzkiego.
W analizowanych modelach do jednoznacznego opisu ruchu należało przyjąć współrzędne uogólnione.
Dla modelu z normy ISO 10068 o trzech punktach redukcji (rys. 2a) jako współrzędne uogólnione obrano:
j 1 q z t
j 2 q z t
j 3 q z t
- przemieszczenie masy m1, - przemieszczenie masy m2, - przemieszczenie mas m3 i mN. W przypadku syntezy badanego modelu fizycznego człowieka z modelem narzędzia (rys. 2b) jako współ- rzędne uogólnione obrano:
j 1 q z t
j 2 q z t
j 3 q z t
j 4 q z t
- przemieszczenie masym1, - przemieszczenie masy m2, - przemieszczenie masy m3, - przemieszczenie mas m4,m5i mN.
z1(t)
c1
m1
k1
Punkt redukcji Ramię – Bark z2(t)
c2
m2
k2
Punkt redukcji Przedramię – Łokieć c3
m3
k3
Punkt redukcji Dłoń mN
Punkt redukcji Narzędzie F(t)
Punkt redukcji Narzędzie – Dłoń
m3
Rękojeść z4(t)
c5
z1(t)
c1
m1
k1
Punkt redukcji Ramię – Bark z2(t)
c2
m2
k2
Punkt redukcji Dłoń – Nadgarstek – Przedramię
k5
F(t)
c4 k4
z3(t) Punkt redukcji Palce
mN
m4
m5
c3 k3
z3(t)
a) b)
Rys. 2. Model fizyczny systemu Człowiek – Narzędzie: a) synteza modelu z normy ISO 10068 [9] z modelem narzędzia;b) synteza nowego modelu fizycznego człowieka wg Dong J. H., Dong R. G., Rakheja S., Wu J. Z. [5] z modelem narzędzia
Modele matematyczne analizowanych struktur dy- namicznych wyprowadzono, korzystając z równań Lagrange’a II rodzaju o postaci:
(6) gdzie:
E – energia kinetyczna badanego układu, q – współrzędne uogólnione,
q – prędkości uogólnione, Q – siły czynne zewnętrzne, Q – siły potencjalne, Q – siły dyssypacji, s – liczba stopni swobody.
Dla systemu Człowiek – Narzędzie (model z normy ISO 10068) – zbudowany model matematyczny ma postać (rys. 2a):
j 1, m z c c z k k z
c z k z 0;
j 2, m z c c z k k z (7) c z k z c z k z 0;
j 3, m m z c z k z
c z k z F t .
Wartości parametrów dynamicznych dla tego mo- delu fizycznego człowieka odczytano z normy ISO 10068 [9]. W tym przypadku przy wyprowadzaniu równań Lagrange’a II rodzaju przyjęto jednak założe- nie upraszczające, gdyż do analizy dynamicznej uwzględniono tylko jeden, główny kierunek drgań, tzn. parametry dotyczące tego modelu wzdłuż osi „z”.
Model matematyczny dla syntezy nowego modelu fizycznego człowieka z modelem narzędzia (rys. 2b) ma postać:
j 1, m z c c z k k z
c z k z 0;
(8)
j 2, m z c c c z
k k k z c z k z
c z k z c z k z 0;
j 3, m z c c" z k k" z
c z k z c"z k"z 0;
j 4, m m" m z c c" z
k k" z c z k z
c"z k"z F t.
Wartości parametrów dynamicznych badanego modelu odczytano z pracy [5], a badania przeprowa- dzono dla każdego z czterech dostępnych w tej publi- kacji wariantów (tab. 1). Na tej podstawie było moż- liwe stwierdzenie, który przypadek jest najbardziej zbliżony do modelu odniesienia.
W przypadku badanego nowego modelu fizycznego człowieka dostępne były cztery zestawy wartości
odpowiadał innej sytuacji oddziaływania siłowego człowieka na uchwyt narzędzia, a sytuacje te odpowia- dały różnym kombinacjom wartości siły zacisku ręki Fz
oraz nacisku dłoni na uchwyt Fn (tab. 1).
Tabela 1. Warianty warunków kontaktu dłoni z uchwytem narzędzia [5]
Wartość siły
Wariant I
Wariant II
Wariant III
Wariant IV zacisku
Fz [N] 50 15 30 50 nacisku
Fn [N] – 35 45 50
W ten sposób wyprowadzone równania różniczkowe ruchu (7) i (8) stanowiły podstawę do zapisania modeli energetycznych dla analizowanych systemów. Zastoso- wanie pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym (1) pozwala na przejście z konwencjonalnej analizy dynamicznej, przeprowa- dzanej w dziedzinie amplitud wielkości kinematycz- nych do energetycznej analizy w dziedzinie przepływu energii.
W tabeli 3. przedstawiono wartości parametrów dynamicznych modelu z normy ISO 10068 [9].
Do analizy dynamicznej tego modelu uwzględniono, jak już wcześniej nadmieniono, tylko jeden, główny kierunek drgań, tzn. parametry kierunku „z”.
Tabela 2. Wartości parametrów dynamicznych badanego modelu fizycznego człowieka przy różnych wariantach oddziaływania siłowego człowieka na narzędzie [5]
Parmetr Jednostka Wariant I Wariant II Wariant III Wariant IV
m1 kg 5,854 6,099 6,505 5,863
m2 kg 1,324 0,850 0,977 1,248
m3 kg 0,083 0,084 0,080 0,083
m4 kg 0,025 0,029 0,031 0,029
m5 kg 0,013 0,011 0,012 0,013
k1 N/m 13740 17270 18830 16900
k2 N/m 2460 2420 1020 1700
k3 N/m 6790 3450 4030 4040
k4 N/m 26190 38680 48930 52490
k5 N/m 157120 56150 96310 143920
c1 N·s/m 107,07 152,87 163,76 169,7
c2 N·s/m 97,80 159,20 158,94 140,53
c3 N·s/m 39,03 25,26 28,97 35,47
c4 N·s/m 81,79 86,53 101,31 114,83
c5 N·s/m 127,98 74,73 99,87 124,59
Tabela 3. Wartości parametrów dynamicznych modelu fizycznego człowieka z normy ISO 10068 [9]
10068 [10]
Parametr Jednostka Kierunek drgań
x y z
m1 kg 3,0952 3,2462 2,9023
m2 kg 0,486 0,3565 0,6623
m3 kg 0,0267 0,0086 0,0299
k1 N/m 1565 6415 2495
k2 N/m 132 300 299400
k3 N/m 4368 27090 5335
c1 N·s/m 9,10 30,78 30,30
c2 N·s/m 18,93 51,75 380,6
c3 N·s/m 207,5 68 227,5
Wykorzystując zależności (2) – (5), zapisa- no równania przepływu energii dla modelu systemu Człowiek – Narzędzie, zbudowanego przy wykorzysta-
niu modelu z normy ISO 10068– równania (7). W tym przypadku model energetyczny jest następującej postaci:
(9)
Z kolei dla nowego modelu fizycznego systemu Człowiek – Narzędzie – równania (8) otrzymano:
j 1,
(10) j 2,
j 3,
j 4
W ten sposób wyprowadzone modele energetyczne systemów Człowiek – Narzędzie wprowadzono do programu MATLAB/Simulink. Tak otrzymane wyniki umożliwiły dokonanie oceny pod względem energetycznym oraz pozwoliły na wykazanie różnic pomiędzy badanym modelem człowieka i modelem z normy ISO 10068.
4. PORÓWNANIE
ENERGETYCZNE SYSTEMÓW CZŁOWIEK – NARZĘDZIE
Ocenę energetyczną modeli wykonano dla sinuso- idalnie zmiennej siły pobudzającej F(t) o amplitudzie 200 N. Badania przeprowadzono przy częstotliwości pobudzeń: 16 Hz, 30 Hz, 60 Hz i 90 Hz. Czas symulacji
„t” wszystkich przypadków ustalono na 300 sekund,
ponieważ pozwalał on na osiągnięcie przyjętego błędu uśredniania wartości (poniżej 3%) wobec każdego z modeli. Do badań energetycznych przyjęto masę narzędzia mN wynoszącą 6 kg, a do rozwiązania wy- brano procedurę ode113 (Adams). Ponadto w symula- cjach przejęto krok całkowania wynoszący: maksymal- nie 0,001, minimalnie 0,0001 sekundy i tolerancję 0,001.
Na rys. 3 przedstawiono wpływ częstotliwości po- budzeń „f” na wzrost procentowy rodzajowych dawek energii odniesiony do modelu ISO 10068, który wyzna- czono zgodnie ze wzorem:
(11) We wzorze (11) przyjęto:
– wartość dawki energii bezwładności, strat lub sprężystości w całym systemie, jako suma dawek ze wszystkich punktów redukcji (obliczona z modułu mocy chwilowych) uzyskana przy wyborze badanego modelu przy określonej częstotliwości pobudzeń „f” i wyrażona w [J],
gdzie:
– dawka energii bezwładności wyrażona w [J]:
(12)
– dawka energii strat wyrażona w [J]:
(13)
(14) – wartość dawki energii bezwładności, strat lub sprężystości w całym systemie jako suma dawek ze wszystkich punktów redukcji (obliczona z modułu mocy chwilowych) uzyskana przy wyborze modelu z normy ISO 10068 przy określonej częstotliwości pobudzeń „f” i wyrażona w [J],
gdzie:
– dawka energii bezwładności wyrażona w [J]:
(15)
– dawka energii strat wyrażona w [J]:
(16)
– dawka energii sprężystości wyrażona w [J]:
(17)
Rodzajowa dawka energii:
– bezwładności, – strat, – sprężystości.
110 120 103 100
116 191 165 149
172 619 1 427 1 030
50 100 200 400 800 1 600
16 30 60 90
113 114 105 101112 170 139 114
99 322 699 482
50 200 800
16 30 60 90
104 112 107 102119 207 175 143
134 473 1 105 770
50 200 800
16 30 60 90
101 112 108 102124 232 201 168
166 607 1 515 1 058
50 200 800
16 30 60 90
Wzrost dawek energii [%] Wariant I (Fz = 50 N, Fn = 0 N) Wariant II (Fz = 15 N, Fn = 35 N)
Wzrost dawek energii [%]
Wariant III (Fz = 30 N, Fn = 45 N)
c) d) Wariant IV (Fz = 50 N, Fn = 50 N)
a) b)
16 30 60 90 Częstotliwość f [Hz]
16 30 60 90 Częstotliwość f [Hz]
16 30 60 90 Częstotliwość f [Hz]
16 30 60 90 Częstotliwość f [Hz]
Wzrost dawek energii [%] Wzrost dawek energii [%]
gdzie: 100% – pełna zgodność pomiędzy analizowanymi modelami,
powyżej 100% – zawyżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia, poniżej 100% – zaniżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia.
Rys. 3. Wpływ częstotliwości pobudzeń „f” na wzrost udziału procentowego rodzajowych dawek energii dla nowego modelu względem modelu z normy ISO 10068: a) wariant I; b) wariant II; c) wariant III; d) wariant IV
Z rezultatów przedstawionych na rys. 3 wynika, że udział dawki energii bezwładności w nowym modelu człowieka jest zbliżony do udziału otrzymanego w przypadku zastosowania modelu z normy ISO 10068.
Maksymalna różnica pod tym względem, w zależności od modelu, wynosi mniej niż 20%, ale w przypadku udziału pozostałych rodzajowych dawek energii, wy- stępująca niezgodność pomiędzy modelami jest już większa. Porównanie to wykazało, że dla energii strat wzrost wynosi od 12% do 107%, a jest jeszcze większy, w przypadku energii sprężystości i wynosi od 1% do 1415%. Decydując się na błąd względny pomiędzy modelami wynoszący maksymalnie 25%, można przy- jąć, że rezultaty otrzymane dla wariantu II są zbliżone do wartości otrzymywanych dla modelu z ww. stan-
dardu, ale tylko dla częstotliwości f = 16 Hz. Zmniej- szając dopuszczalną różnicę między modelami do 10%
do badań nie można wykorzystać już żadnego wariantu badanego modelu w analizowanych częstotliwościach pracy systemu Człowiek – Narzędzie.
Na rys. 4 pokazano wpływ częstotliwości pobudzeń
„f” na wzrost udziału globalnej dawki energii, będącej sumą trzech rodzajowych dawek energii, wyrażonej w procentach dla badanego modelu względem wartości otrzymywanych przy wyborze modelu z normy 10068.
Powyższą zależność wyraża wzór:
(18)
Wariant:
– wariant I
(Fz= 50N, Fn = 0N), – wariant II
(Fz = 15N, Fn = 35N), – wariant III
(Fz = 30N, Fn = 45N), – wariant IV
(Fz = 50N, Fn = 50N).
147 221 145 120
105 162 124 109125 196 141 117144 225 156 125
50 75 100 125 150 175 200 225 250 275
16 30 60 90
Wzrost globalnej dawki energii [%]
16 30 60 90 Częstotliwość f [Hz]
gdzie: 100% – pełna zgodność pomiędzy analizowanymi modelami,
powyżej 100% – zawyżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia, poniżej 100% – zaniżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia.
Rys. 4. Wpływ częstotliwości pobudzeń „f” na wzrost udziału procentowego globalnej dawki energii dla nowego modelu wzglę- dem modelu z normy ISO 10068
Największe różnice w globalnej dawce energii wy- stępują między tymi modelami w przypadku wyboru wariantu I oraz IV, w których, w zależności od częstotliwości pobudzeń, wzrost wynosi od 20%
do nawet 125%. Dla wariantu III wzrost jest mniejszy i wynosi od 17% do 96%, a najmniejszy wzrost wystę- puje w przypadku wyboru wariantu II, dla którego wzrost globalnej dawki energii wynosi od 5% do 62%.
Należy zauważyć, że maksymalne wzrosty dawek energiiwobec każdego z wariantów występują zawsze przy częstotliwości pobudzeń f = 30 Hz. Związane jest to z częstotliwością „f” siły wymuszającej, która była zbliżona do częstotliwości własnych podukładów biomechanicznych. Wprzypadkupozostałychczęstotli- wości„f”sytuacjaprzedstawiasiędużo lepiej, a wzrost pomiędzy modelami zmniejsza się w miarę oddalania
jąc błąd względny wynoszący 25%, do badań można zastosować każdy wariant nowego modelu, ale otrzy- mane rezultaty będą porównywalne z wynikami z normy tylko dla f = 90 Hz. Co więcej, również wyniki dla wariantu II są zbliżone do wartości ze standardu, lecz nie dla wszystkich analizowanych częstotliwości pracy systemu Człowiek – Narzędzie.
5. PODSUMOWANIE
Dokonana ocena energetyczna modeli pozwoliła wykazać różnice pomiędzy nimi w wielkościach kryte- rialnych podobieństwa modeli, którymi są wszystkie rodzaje energii. Co więcej, uzyskane wyniki wykazały występowanie największej zgodności w przypadku dawki energii bezwładności, następnie strat i na końcu
energetyczne wykazało występowanie pomiędzy mode- lami większej zgodności w udziale globalnym dawki energii niż przy rozbiciu na poszczególne składowe, tzn. na trzy rodzajowe dawki energii. Dodatkowo, otrzymane wyniki pozwoliły uszeregować cztery wa- rianty nowego modelu człowieka pod względem zgod- ności z układem odniesienia – rys. 4. Hierarchia ta dla badanego modelu jest następująca:
• wariant II – najlepszy,
• wariant III,
• wariant I oraz IV.
Ostatecznie stwierdzono, że nowy model znacznie różni się od modelu przyjętego jako standard w normie ISO 10068.
W celu potwierdzenia poprawności modeli systemu biomechanicznego Człowiek – Narzędzie należy zwery- fikować analizowane modele poprzez dokonanie pomia- rów energetycznych w laboratorium. Takie możliwości posiada Laboratorium Dynamiki i Ergonomii Metasys- temu: Człowiek – Obiekt Techniczny – Środowisko w Politechnice Poznańskiej. Badania w tym kierunku będą kontynuowane.
Literatura
1. Dobry M. W.: Optymalizacja przepływu energii w systemie Człowiek - Narzędzie - Podłoże (CNP). Rozpra- wa habilitacyjna. Seria „Rozprawy" nr 330. Poznań: Wyd. Pol. Poznańskiej, 1998.
2. Dobry M. W.: Energy diagnostics and assessment of dynamics of mechanical and biomechatronics systems.
“Machine Dynamics Problems” 2001, Vol. 25, No.3/4, p. 35-54.
3. Dobry M. W.: Diagnostyka energetyczna systemów technicznych. „Inżynieria Diagnostyki Maszyn”. Polskie Towarzystwo Diagnostyki Technicznej, Instytut Technologii Eksploatacji, Warszawa, Bydgoszcz, Ra- dom, 2004, s. 314-339.
4. Dobry M. W.: Podstawy diagnostyki energetycznej systemów mechanicznych i biomechanicznych. Radom:
Wyd. Nauk. Instytutu Technologii Eksploatacji – PIB, 2012.
5. Dong J. H., Dong R. G., Rakheja S., Wu J.: Predictions of the distributed biodynamic responses in the hand- arm system. In: 11th International Conference on Hand-Arm Vibration. Bologna (Italy), June 2007.
6. Griffin M. J.: Handbook of human vibration .London: Academic Press, 1990.
7. Książek A. M.: Analiza istniejących modeli biodynamicznych układu ręka – ramię pod kątem wibroizolacji człowieka – operatora od drgań emitowanych przez narzędzia ręczne. „Czasopismo Techniczne” 2M/1996, s. 87-114.
8. Meltzer G.: A vibration model for the human hand-arm-system. Studies in Environmental Science, Vol. 13, 1981, p. 210-221.
9. ISO 10068:1998: Mechanical vibration and shock - free, mechanical impedance of the human hand-arm system at the driving point.