Matematyka dyskretna
Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT February 26, 2020
8 Struktury algebraiczne
ZASTOSOWANIE: Kryptogra a.
1. Sprawdzi¢, czy ∗ jest dziaªaniem wewn¦trznym:
(a) x ∗ y =√
xyw zbiorze Q, (b) x ∗ y = xy w zbiorze N,
(c) x ∗ y = xy w zbiorze Z, (d) x ∗ y = xy w zbiorze Q, (e) (a, b) ∗ (c, d) = (a − d,√
b + c)w zbiorze R2,
2. ? Niech Rn[x]oznacza zbiór wielomianów ustalnego stopnia n. Czy podane dziaªania s¡ dziaªaniami wewn¦trznymi w Rn[x]:
(a) dodawanie wielomianów, (b) mno»enie wielomianów.
3. Ile jest dziaªa wewn¦trznych w zbiorze maj¡cym:
(a) 2 elementy, (b) 3 elementy,
(c) n elementów?
4. Ile jest dziaªa« wewn¦trzych przemiennnych w zbiorze n-elementowym?
5. W dowolnym zbiorze A okre±lone jest dziaªanie a ? b = b. Sprawdzi¢, czy dziaªanie to jest ª¡czne.
6. Zbada¢, wªasno±ci dziaªa« z zadania 1. (ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie elementu neutralnego i odwrotnego).
7. W zbiorze Z okre±lone jest dziaªanie a ? b = a2+ b + 1. Zbada¢ wªasno±ci dziaªania.
8. W zbiorze R okre±lone jest dziaªanie a ? b = a + b + ab. Zbada¢ wªasno±ci dziaªania.
9. W zbiorze R okre±lone s¡ nast¦puj¡ce dziaªania:
• a ? b = ab + a + b,
• a ⊕ b = a + b + 1 Zbada¢, czy:
(a) Dziaªanie ? jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania ⊕, (b) Dziaªanie ⊕ jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania ?,
10. Zbudowa¢ tabelki dodawania i mno»enia w podanych zbiorach. Czy zbiory te wraz z podanym dziaªaniem tworz¡ grupy abelowe?
(a) Z2
(b) Z3
(c) Z4
(d) Z5
(e) Z6
(f) Z7
11. Sprawdzi¢, czy (X, +) jest grup¡ abelow¡, je»eli X to zbiór:
(a) N, (b) Q, (c) R, (d) {0},
(e) zbiór liczb caªkowitych podzieln¡ przez ustalon¡ liczb¦ n, (f) zbiór liczb postaci a√
2 + b√
3, gdzie a, b ∈ Q, (g) {1, 2, 3, 4}
12. Sprawdzi¢, czy (X, ·) jest grup¡ abelow¡, je»eli X to zbiór:
(a) R, (b) Z, (c) R+, (d) R − {0},
(e) {0},
(f) zbiór liczb caªkowitych nieparzystych, (g) zbiór liczb postaci a√
2 + b√
3, gdzie a, b ∈ Q, (h) {−1, 0, 1}.
(i) {−1, 1}.
13. Sprawdzi¢, czy (Z5, +5)jest grup¡.
14. Wykaza¢, »e (Z, ⊕) jest grup¡, gdzie a ⊕ b = a + b + 2.
15. Czy podane grupy s¡ cykliczne?
(a) Z3
(b) Z5
(c) Z
16. Dla ka»dego a ∈ Z∗12 wyznaczy¢ podgrup¦ hai i okre±li¢ rz a. Czy grupa Z∗12jest cykliczna?
17. Dla ka»dego a ∈ Z∗14 wyznaczy¢ podgrup¦ hai i okre±li¢ rz a. Czy grupa Z∗14jest cykliczna?
18. Sprawdzi¢, czy dana grupa jest cykliczna:
(a) Z∗5
(b) Z∗7
(c) Z∗8
(d) Z∗15
(e) Z∗18
(f) Z∗19
(g) Z∗22
(h) Z∗30
19. A Wyznaczy¢ rz¡d grupy GLn(Zp).
20. Sprawdzi¢, czy zbiór R tworzy grup¦ z dziaªaniem ∗:
(a) a ∗ b = a + b + 5 (b) a ∗ b = ab − a − b + 2
21. Sprawdzi¢, czy rodzina P (A) wszystkich podzbiorów zbioru A tworzy grup¦ abelow¡ z dziaªaniem róznicy symetrycznej.
22. W grupie G rozwi¡za¢ równania (a) ax = b
(b) ya = b
23. Wykaza¢, »e w grupie G równo±¢ a2= azachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = e.
24. Czy zbiór Z2jest podgrup¡ grupy Z4?
25. Zbada¢, czy funkcja ϕ jest homomor zmem grup G1 i G2. Je±li jest, wyznaczy¢ j¡dro i obraz:
(a) ϕ : Z → Z, ϕ(a) = na (n ∈ N) (b) ϕ : C∗→ C∗, ϕ(z) = |z|
(c) ϕ : R∗→ R∗, ϕ(a) = a2 (d) ϕ : C∗→ C∗, ϕ(z) = z2
(e) ϕ : C∗→ C∗, ϕ(z) = zn (n ∈ N) (f) ϕ : R+→ R, ϕ(z) = log a
(g) ϕ : Z2→ {−1; 1}, ϕ(0) = 1, ϕ(1) = −1 (h) ϕ : M2(R) → R, ϕ(A) = trA
(i) ϕ : M2(R) → M2(R), ϕ(A) = AT (j) ϕ : GLn(R) → R+, ϕ(A) = |detA|
(k) ϕ : R∗→ R∗, ϕ(a) =√3 a (l) ϕ : M2(R) → R, ϕ(A) = detA (m) ϕ : C → R, ϕ(z) = |z|
(n) ϕ : R → R, ϕ(a) = 5a (o) ϕ : R∗→ R∗, ϕ(a) = 5a
26. Udowodni¢, »e funkcja ϕ : Z → Z, ϕ(x) = x − 5 jest izomor zmem grupy (Z, +) na grup¦ (Z, ⊕), gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z.
27. Udowodni¢, »e grupy M2(R) i R4 s¡ izomor czne.
28. ? Niech σ =1 2 3 4 5 5 1 4 2 3
, τ =3 2 1 5 4 1 5 4 2 3
. Wskaza¢:
(a) σ(1) (b) σ(5) (c) τ(1) (d) τσ(3)
(e) στ(3) (f) σ−1(4) (g) τ−1(2) (h) τ2(4)
29. Funkcja f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} okre±lona jest wzorem f(x) = 32x2−112x + 6. Czy f ∈ S3? 30. Rozwi¡za¢ równanie w grupie S5:
(a) 1 2 3 4 5 5 2 1 4 3
x =1 2 3 4 5 3 5 1 2 4
(b) 1 2 3 4 5 1 5 4 2 3
x1 2 3 4 5 2 5 3 1 4
=1 2 3 4 5 3 1 5 2 4
(c) 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3
−1
x1 2 3 4 5 4 1 2 3 5
=1 2 3 4 5 2 4 1 5 3
−1
(d) 1 2 3 4 5 6
3 4 6 1 2 5
x1 2 3 4 5 6
6 1 5 2 4 3
−1
=1 2 3 4 5 6
2 6 1 3 5 4
31. Sprawdzi¢, czy (A, +, ·) jest pier±cieniem, je»eli A to zbiór:
(a) N, (b) R − Q,
(c) Z[i]
(d) Z[√ 2]
(e) {x ∈ R : x = a + b√ 2},
(f) {x ∈ Z : x = 2k ∨ x = 3k ∀k ∈ Z},
32. ? Czy podane pier±cienie maj¡ dzielniki zera? Je±li tak, wskaza¢ przykªad:
(a) R (b) Q (c) Z (d) Z4
(e) M2(R)
33. Zbada¢, czy zbiór X jest podpier±cieniem pier±cienia M2(R):
(a) X =a b 0 c
∈ M2(R) : a, b, c ∈ R
(b) X =a b 0 c
∈ M2(R) : a, c ∈ Q, b ∈ R
(c) X = M2(Q)
(d) X = {A ∈ M2(R) : det A = 0}
(e) X = {A ∈ M2(R) : det A ∈ Q}
34. Sprawdzi¢, czy ϕ jest homomor zmem pier±cieni. Je±li tak, wyznaczy¢ j¡dro i obraz homomor zmu.
(a) ϕ : C[0, 1] → R, ϕ(f) = f(1) (b) ϕ : R2→ R, ϕ((a, b)) = a + b
(c) ϕ : M2(K) → K, ϕ(A) = detA (d) ϕ : R → Z, ϕ(x) = [x]
35. Udowodni¢, »e pier±cie« R1=a 0 0 b
∈ M2(R) : a, b ∈ R
jest izomor czny z pier±cieniem R2. 36. Znale¹¢ rz¡d grupy elementów odwracalnych pier±cienia INT32 (INT32).
37. Niech a ⊕ b = a + b + 1 oraz a b = a + b + ab. Czy zbiór R z podanymi dziaªaniami jest ciaªem?
38. Czy zbiór Q[√
5]ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem jest ciaªem?
39. Czy zbiór Q2 z dziaªaniami (a, b) ⊕ (c, d) = (a + b, c + d) oraz (a, b) (c, d) = (ac, bd) jest ciaªem?
40. Wskaza¢, które z aksjomatów ciaªa nie s¡ speªnione dla liczb typu INT32.
41. Wskaza¢, które z aksjomatów ciaªa nie s¡ speªnione dla liczb typu DOUBLE.
42. Wykaza¢, »e (Z6, +, ·) nie jest ciaªem.
43. Znale¹¢ w zbiorze liczb¦ x ∈ INT32 tak¡, »e 1535 · x ≡ 1, powtórzy¢ to samo rozwi¡zanie dla zbioru INT64.
44. Znale¹¢ minimalna liczb¦ ϕ o tej wªasno±ci »e dla dowolnego odwracalnego x ∈ INT32 (INT32) dostaniemy xϕ= 1.
References
[1] Larisa Dobryakova, Matematyka dyskretna. Lulu, 2012.
[2] Sylwester Przybyªo, Andrzej Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zada- niach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1994.
[3] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.
[4] Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright, Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
