1. Rozkłady – powtórka – teoria
Definicja 1 Próbą losową n-elementową nazywamy ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xno tym samym rozkładzie. Jeśli, dodatkowo, zmienne X1, . . . , Xn są niezależne, to próbę taką nazy- wamy próbą losową prostą.
Definicja 2 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X : Ω → R nazywamy funkcję ϕX : R → C daną wzorem ϕX(t) = EeitX.
Twierdzenie 3 Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to ϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t).
Definicja 4 Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX : R → [0, 1] określoną wzorem FX(x) = P (X 6 x).
Twierdzenie 5 Jeśli
• X jest zmienną losową o gęstości fX na przedziale (a, b),
• y = g(x) jest funkcją ściśle monotoniczną klasy C1 o pochodnej g0(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b),
• x = g−1(y) jest funkcją odwrotną do y = g(x), to gęstość fY zmiennej losowej Y = g(X) jest postaci
fY(y) = fX(g−1(y))|(g−1)0(y)|, y ∈ (c, d), gdzie
c = min
lim
x→a+g(x), lim
x→b−g(x)
, d = max
lim
x→a+g(x), lim
x→b−g(x)
.
Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a) V ⊂ Rd – otwarty, f : V → R1 – funkcja mierzalna. Jeżeli T : U → T U = V jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych (klasy C1, różnowartościowe, det DT (x) 6= 0), to
Z
V
f (y) dy = Z
U
f (T (x))| det DT (x)| dx.
Zastosowanie twierdzenia 6
X – wektor losowy o gęstości f (x), x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd, f : V → R, Y = g(X). Szukamy gęstości wektora losowego Y, g : U → V .
Z tw. o zamianie zmiennych, gdzie T = g−1, g : A → g(A), g−1 : g(A) → A, U = g(A), V = A mamy
P (X ∈ A) = Z
A
fX(x)dx = Z
g(A)
fX(g−1(y))| det Dg−1| dy.
Z drugiej strony P (X ∈ A) = P (g(X) ∈ g(A)) = P (Y ∈ g(A)) = Z
g(A)
fY(y)dy.
Stąd
fY(y) =
(fX(g−1(y))| det Dg−1|, y ∈ g(A),
0, y /∈ g(A).
Definicja 7 Funkcja Gamma dana jest wzorem Γ(x + 1) = Z ∞
0
uxe−udu.
Dla n ∈ N zachodzi Γ(n + 1) = n!