Definicja 2 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X : Ω → R nazywamy funkcję ϕX : R → C daną wzorem ϕX(t

1. Rozkłady – powtórka – teoria

Definicja 1 Próbą losową n-elementową nazywamy ciąg zmiennych losowych X₁, . . . , X_no tym samym rozkładzie. Jeśli, dodatkowo, zmienne X₁, . . . , X_n są niezależne, to próbę taką nazy- wamy próbą losową prostą.

Definicja 2 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X : Ω → R nazywamy funkcję ϕ_X : R → C daną wzorem ϕX(t) = Ee^itX.

Twierdzenie 3 Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to ϕ_X+Y(t) = ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

Definicja 4 Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX : R → [0, 1] określoną wzorem F_X(x) = P (X 6 x).

Twierdzenie 5 Jeśli

• X jest zmienną losową o gęstości fX na przedziale (a, b),

• y = g(x) jest funkcją ściśle monotoniczną klasy C¹ o pochodnej g⁰(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b),

• x = g⁻¹(y) jest funkcją odwrotną do y = g(x), to gęstość fY zmiennej losowej Y = g(X) jest postaci

f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y))|(g⁻¹)⁰(y)|, y ∈ (c, d), gdzie

c = min

 lim

x→a⁺g(x), lim

x→b⁻g(x)



, d = max

 lim

x→a⁺g(x), lim

x→b⁻g(x)

 .

Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a) V ⊂ R^d – otwarty, f : V → R¹ – funkcja mierzalna. Jeżeli T : U → T U = V jest dyfeomorfizmem zbiorów otwartych (klasy C¹, różnowartościowe, det DT (x) 6= 0), to

Z

V

f (y) dy = Z

U

f (T (x))| det DT (x)| dx.

Zastosowanie twierdzenia 6

X – wektor losowy o gęstości f (x), x = (x₁, . . . , x_d) ∈ R^d, f : V → R, Y = g(X). Szukamy gęstości wektora losowego Y, g : U → V .

Z tw. o zamianie zmiennych, gdzie T = g⁻¹, g : A → g(A), g⁻¹ : g(A) → A, U = g(A), V = A mamy

P (X ∈ A) = Z

A

f_X(x)dx = Z

g(A)

f_X(g⁻¹(y))| det Dg⁻¹| dy.

Z drugiej strony P (X ∈ A) = P (g(X) ∈ g(A)) = P (Y ∈ g(A)) = Z

g(A)

fY(y)dy.

Stąd

f_Y(y) =

(f_X(g⁻¹(y))| det Dg⁻¹|, y ∈ g(A),

0, y /∈ g(A).

Definicja 7 Funkcja Gamma dana jest wzorem Γ(x + 1) = Z ∞

0

u^xe^−udu.

Dla n ∈ N zachodzi Γ(n + 1) = n!