Szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera

1. Wykazać, że jeśli szereg trygonometryczny funkcji f ma postać:

a₀ 2 +

∞ n=1

(a_ncosnx + b_nsinnx) ,

gdzie

a_n = 1 π

 _π

−πf (x)cosnx dx n = 0, 1, 2, . . . , b_n= 1

π

 _π

−πf (x)sinnx dx n = 1, 2, . . . , to

c₀ = 1

2a₀, c_m = 1

2(a_m− ib_m) , c_−m = 1

2(a_m+ ib_m) , gdzie m = 1, 2, . . . i c₀, c_m, c_−m sa wyrażone wzorami Eulera-Fouriera._

2. Podać postać tożsamości Parsevala w przypadku rzeczywistym i zespolonym dla funkcji f ∈ L²(π, π) i jej szeregu Fouriera określonego wzgledem trygonometrycznego układu orto-_ normalnego.

3. Wyznaczyć współczynniki Fouriera i zadać zbieżność szeregu Fouriera dla funkcji określo- nych w przedziale <−π, π) wzorami:

(i) f (t) = t, (ii) f (t) = |t|, (iii) f (t) = sgnt, (iv) f (t) = e^t.

4. Podać postać tożsamości Parsevala dla trzech pierwszych funkcji z poprzedniego zadania w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Wykonać bezpośredni rachunek.

5. W przestrzeni L²(−π, π) obliczyć współczynniki Fouriera i rozwinać w szereg trygonome-_ tryczny funkcje f(t) = t(π − t) określon_ a na przedziale < 0, π > . Rozważyć dwa przypadki:_ (i) przedłużenie parzyste funkcji,

(ii) przedłużenie nieparzyste funkcji.

Zbadać zbieżność otrzymanego szeregu.

6. Wykazać, że jeśli funkcja f : R → ^R jest nieparzysta i 2π-okresowa, to jej szereg Fouriera zależy tylko of funkcji sinus, a jeśli jest parzysta, to od funkcji cosinus.

7. Niech g : R → R bedzie 2π-okresowa i g(x) =_ ^π−x₂ ^2 dla x ∈< 0, 2π). Znaleźć jej szreg Arkusz 21

Fouriera i zbadać jego zbieżność.

8. Niech f : R → R dana bedzie wzorem f(x) = sin3x. Znaleźć jej szereg Fouriera i zbadać_ jego zbieżność.

9. Funkcje f :< 0, π >→_ R dana wzorem f(x) = e_ ^x przedstawić w postaci sumy szeregu

_∞

n=1b_nsinnx.

10. Funkcje g(x) = sinx przedstawić w postaci sumy szeregu a_{ 0} +^∞_n=1a_ncosnx na przedziale (0, π).

11. Wykazać, że

∞ k=0

(−1)^k 2k + 1 = π

4.

(Wsk. Rozwinać w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj_ e f(x) = x określon_ a na przedziale_ (−π, π), zbadać jej zbieżność i policzyć wartość dla x = ^π₂.)

12. Użyć równości Parsevala, aby wykazać, że (i)^∞_{n=1 n}¹₂ = ^π₆²,

(ii) ^∞_{n=1 n}¹₄ = ^π₉₀⁴.

(Wsk. Skorzystać z odpowiedniej postaci równości Parsevala dla szeregu trygonometrycznego i rozwinać w szereg funkcje f(t) = t i f(t) = t_ ² na <−π, π > dla i) i ii) odpowiednio.)

Arkusz 22