Einfache strömungsmodelle in zusammenhang mit dem problem eines von der wasseroberfläche belüfteten propellers

INSTITUT FUR SCHFFBAU

DER UNEVERSITAT HAMBURG

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MsIwe 2,

I

O15-78W5 F 01578183$

Efrfache StrÖrnungsmodeHeki Zusammenhang

mft dem Problem eines

_{von der Wasseroberfläche}

bel üf teten Prôpeflers

W.H.

7(.r

V

INSTITUT PtJ

SCHIFFBAU DERÚNIVERSITÄT HANBURG

Bericht Nr.284

Einfache Strömungsmodelle

Zusammenhang mit dem Problem

eines von der Wasseroberfläche

belUftetefl Propellers

Von

W.H.Isay

Hamburg,

März 1972

Bibtiotheek van de

Onderafdeling der Scheepsbouwkunde Technische Hogeschool, Deift DOCUMENTATIE

I: K 6/ - g

Teil

I

Der halbunendliche Wirbeizylinder in der Nahe

1. Einleitung

Die Wirbeltrichterströmung, der ,,Badewannenwirbel" ist ein schon lange bekannter und in mancherlei Hinsicht bedeutungsvoller Strömungsvorgang.

Es wird dabei Luft von der freien Wasseroberfläche in ein Unter= druckgebiet z.B. den Ausfluss einer Badewanne gesaugt.

In neuerer Zeit gewinnt in der Theorie der nahe der Wasserober= fläche fahrenden oder sogar austauchenden Propeller der Lu.ftansau= gungsvorgang zunehmend an Bedeutung. Hierbei wird Luft voì der Wasseroberfläche in die in der Umgebung der Propellerfiilgel aus= gebildeten Unterdruckgebiete (etwa an der Plügelsaugseite oder in den Kernen der Spitzenwirbel) gesaugt.

Wenn dieses Problem auch ungleich komplizierter und vielschichti= ger ist als eine einfache Wirbeitrichterströmung, so erscheint es doch denkbar, daß letztere bei der Erforschung des Luftansatgungs= problems nUtzlich sein könnte.

In der vorliegenden Arbeit soll daher das einfachste Propeller= modell, nämlich der halbunendliche Wirbelzylinder (oder bekannt=

lich gleichbedeutend die Senkenscheibe) in der Nähe der durch ei= nen Wirbeltrichter gebildeten Wasseroberfläche untersucht werden. Der Weg zum Aufbau einer solchen Theorie ist durch die bekannten Nethoden für Strömungen mit freier Wasseroberläche nahegelegt. Wir gehen von einer stationären Grundströmung aus, die die xnittle= re Form der Wasseroberfläche bestimmt und deren Geschwindigkeit

in der Bernoullischen Gleichung nicht linearïsiert wird. PUr unser Problem ist das die Wirbeltrichterströmung mit dem Geschwindig=

3)

keitepotential

(i)

4,

_{= .12 f}

_.

_{(fl =}

Vgl.z.B.: L.Prandtl; Führer durch die Strömungslehre; Verlag Vieweg Braunschweig 1949 Kapitel II.

2)Vgl.z.B.: _{W.H.Isay; Noderne Probleme der Propellertheorie; Sprin=}

ger Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1970 Kapitel lIC. 3)In der Regel verwenden wir ein dem Wirbeitrichter angepasetes

Zylinderkoordinatensysteni x=«p, & ..

crP ,

(AL'b. 4) ;

die freie Wasseroberfläche mUnde in grossem Abstand vom Wirbel= trichterkern in die Ebene

y = y0

ein.

-2-Bezüglich der durch Strömungskörper oder sonstige Felder (wie z.B. ein halbunendlicherWirbeizylinder) bedingten Störströmungen mit

dem Geschwind.igkeitspotential ₄ wird die Bernoullisohe Gleichung

linearisiert.

ist also _{.= c-,-} c

das Gesamtpo-tential der betrachteten Strömung und

'= )) die

durch den Wirbeitrichter gegebene Form der Wasseroberfläche, so lautet die Bedingung konstanten Druckes

g(-gY

+ 9Y= ccc4. 4'A

'iY0

Betrachtet man zunächst 4!0 allein, so folgt aus (2) (v91.ALbÀ)

=

___

- (mittlere Wasseroberfläche).

Tritt zusätzlich noch ein Störfeld cF,,-&) auf, so ergibt sich

aus Gl.(2) unter Weglassung aller nichtlineaz'en Anteile von die genauere Form der Wasseroberfläche:

()

)'( t _-.-

- ___ -

-O

2Z

9.L

_p

_g

An der Wasseroberfläche muss ausserdem die kin.matische Strömungs= bedingung

(5)

4=

___Y+L>'__4

f4'?P)

01* - -a-

t

erfüllt werden. Aus (4) und (5) erhält man durch Elimination von und Beschränkung auf lineare Glieder in die Relation, der das Geschwindigkeitspotential der Störströmung längs der Wasserober= fläche genügen muss, nämlich

a_4_ 24'4=

_'pZ

/

':1Y0(t)

(o4.ao).

In der Regel wird das Potential ₄ des betrachteten Strömwigs= körpers ini unbegrenzten Raum fr sich allein die Bedingung (6) noch nicht erfüllen; um dieses sicherzustellen muss ein weiteres Feld 4 überlagert werden; also

4'=4

.1

Letzteres Zusatzpotentia].

4'

gibt dann den Einfluss der wirbel= trichterförmigen Wasseroberfläche auf die betrachtete Strö=

-3-mung ( wie4er.

muss fUr sich natUrlich eine Lösung der Laplaceechen Gleichung sein. In Anbetracht der Zylindersymmetrie der mittleren Form der freien Wasseroberfl.che sind, geeignete Teillösungen, aus denen aufgebaut werden kann)

±i'A'p

f

(,i)

jq,i2.posiAi)

e

/

mit als Besselscher und NA als Neumannecher Funktion.

Da

4'

für 9.-

verschwinden muss, scheidet bei der reellen Ex= ponentialfunktion das untere Vorzeichen aus. In der Regel wird we= gen lhrès singulären Verhaltens bei

jc

=0 (und zwar eben auch für

o

) die Neuinannsche Funktioñ kaum als Lösung in Frage kommen. Somit werden wir für auf einen Lösungsansatz der Form geführt:

*

(9)

= L

e"

_?

(p)

7

(/cAz)Ci/4.

VA _A

Setzen wir das Potential ₄ gemäss Gl.(7) und (8) in die Randbe= dingung (6) ein, so liefert diese (da ja als bekannt angesehen werden kann) durch Koeffizientenvergleich in Gliedern '

ein System von Integraigleichungen zurBerechnung der. gesuchten unbekannten Funktionen des Lösungsansatzes (8), cI;

In' (8) ist die G'rundfrequenz des als periodisch instationär an=

genommenen Strömungsfeldes 4

Damit ist das Zusatzpotentlal 4) bestimmt und die vorgelegte AuÍ= gabe im Prinzip gelöst.

Im folgenden werden wir die oben entwickelte Theorie für den Fall,

daIB das Potential eines halbunendlichen Wir'belzylinders bzw

einer Senkensoheibe Ist, genau durchführen. (Abb.?)

Es handelt sich dabei bekanntlich um das einfachste Modell einer Propellerströmung. Die Felder eines halbunendlichen Wirbeizylinders und èiner Senkenscheibe unterscheiden sich nur durch eine konstante

Zusatzgeschwindigkeit innerhalb des Wirbeizylinders (Propeller=

strahls).

Falls in speziellen Pallen die Neumannsche Funktion doch in dem Ansatz für

0

beibehalten werden muss, ändert sich nichts wesent=

liches an dem prinzipiellen Aufbau der Theorie.

S)Vgl.: W.H.Isay; Propellerthéorie, Hydrodynamische Probleme, Sprin.= ger Verlag Berlin-Göttingen-HeIdelberg 1964 Kapitel III B2.

,4_ )(o_

11e'

Ab1,.4:

W,rbeI4ri'c!...Lerf'r,y,;ge

cçeroí.,er1/'c1,e

=---4.

_/

/

Mb.2 :

iendI,'chQp

k/ieIzyI1'ide. (Ser l'enscAei,e)

-.

X

AiIL 2: ekençcJie.be

_{cfl,. dQr tìir/rcLierrjj9epp}

-4-Wir setzen voraus, daß der halbunendliche -4-Wirbelzylinder der Zir= kuìationsdichte und damit auch der Propeller selbst, vol]. unter= halb der mittleren Wsseroberfläche ))(vgl.(3)) liegt. Danzi

spielt die innerhalb des halbunendlichen Wirbelzylinders gegenüber der Senkenscheiben-Strömung zusätzlich auftretenden Geschwindig= keit Ç in Axialrichtung bei der Erfüllung der Oberflächen-Randbe= dingung (6) keine Rolle. (AL,.')

Wir können daher für das Störfeld im folgenden dasjenige einer Senkenscheibe von der Belegungsdichte zugrunde legen.

2. Berechnung des durch den Einfluss der freien Wasser-oberfläche bedingten Zusatzpotentials

Das Geschwindigkeitspotential einer Senkenscheibe vom Radius R0 in der Ebene x x0 und der Belegungsdichte lautet in unserem der Wirbeltrichterströmung angepassten Koordinatensystem (Abbi.;):

ROZ(T

(9)

t'=.

-

I

I

. .1

1?-rr ₎ _

2Ç4it.'o

+

2S c414- 2C'f414'j

( '>O ,

_{WoS./q# .)}

Zwischen und dem Propeflersehub g besteht bekanntlich die

Relation

(lo) _?

r (

_{- -}

')

=

_{s' '}

Dabei ist j die Winkelgeschwindigkeit des Propellers, 4 die bydro= dynamische Steigung der Spitzenwirbel und L4 die P-ahrgeschwindig= keit (Anströmgeschwindigkeit). (9 .b.cLi4e dec Wers).

Wir entwickeln 4« bezüglich der (p -AbhängIgkeit in eine Fourier-Reihe, also

f

_1*

co (I) Q4 (,P»i

=

i

[A

_CciA --zTr _.À=o R

2rr2n-4

=

f f fcA'[x0t

(17) o o o

i

-

2s*-ZX41

=- o ;

2:

/

-5-nuit

R0 2rr 2FT (11)

=

!

f

r:

+

.2soI.cdq"c/s

_;

FUr Ist die Hälfte des sich nach Formel (li) ergebenden Wertes zu nehmen.

Von der Tatsache, daß (wie in G1.(i1) angegeben) die Fourier-Oosi= nuskoeffizienten mit ungeradem Index sowie die Sinus-Koeffizienten mit geradem Index verschwinden, U.berzeugt man sich am besten durch

Auftèilung der Integration über p.*

und

ihre

ZurttckfUhrung

auf den Bereich von O bis lTf2

(vgl.Ziff.5).

Gemäss Formel (8) und in Analogie zu (ii) machen wir fUr das Poten= tia]. der durch den Einfluss der wirbeitrichterförmigen Wasserober= fläche bedingten Störströmung c1 den Ansatz

00

_(9-:f

₎

(12)

'i'

A=o

)Ç)

e'

tsi;4.

)

o

Setzen wir nun das Potential (7) in der durch Gl.(i1) und (12) ge= gebenen Form In die Randbedingung (6) an der Wasseroberfläche ein,

so ergeben sich durch Koeffizientenvergleich in coAp und 4A die

folgenden Integraiglelohungen zur Bestimmung der noch unbekannten Funktionen

'IJund

des Ansatzes (12):

(r)

2 Y0(t)) --

2

¿

-f00

')e

z9j)_/

--

À

A(ìt)J O(,,&t

J

(A=

O,2, )

Genau zu (13) analoge.Gleichungen mit auf der linken Seite erhält man für

Da die Integraigleichungen (13) fUr den Wertebereich

(11+)

t-gelten, liegt es nahe

(T)

=

und entsprechend für Denn die Funktionen

-6-als Lösungsansatz 00

'Pot'

(R0p)°

Z

IÇ'A

e

oo

o(L

'zuw.hlen.

e

°

(/)°

(o<

0/1)2)... )

bilden im Bereich OR u&, ein vollständiges allerdings nicht

orthogonales System; ihre Orthogonalisieriing führt auf die Laguer= reschen Funktionen und. kann bei Bedarf ohne weiteres durch Bildung v-on Linearkombinationen durchgeführt werden. Für die hier entwickèl= te Lösungstheorie erweist sich jedoch die Form (15) als geeigneter. Bei der Behandlung der Integraigleichung (13) ist zu bedenken, daß die gesuchte Lösung für den unendlichen Bereich (14) gelten soll. Es erscheint daher zweckmässig, zunächst sicherzustellen, daß der Ansatz (15) der Integralgleichung sowohl für grosse (t

+) als

auch für kleine r-Werte (&+O ) genügt.

Wie sich herausstellen wird, kann dieses durch entsprechende Rei= henentwicklungen der linken und rechten Seite von (13) und Koeffi= zientenvergleich der r-Potenzen exakt erreicht wérden.

Nachdem auf diese Weise die ersten und wesentlithsten Koeffizienten des Ansatzes (15) aus der Bedingung bestinmit sind, daß dieser

sowohl für z+w als auch für

t-o

eine exakte Lösung der Integral= gleichung darstellt, können bei Bedarf weitere Koeffizienten durch ein Fehlerquadratverfahren berechnet werden; bei diesem braucht

dann die Min!malisieru.ng, nur noch über einen e n d 1 i C

h grossen

Bereich mittlerer r-Werte durchgeführt werden.

Für die Durchführung der Integration über,, mit dem Ansatz (15) auf der rechten Seite der Integraigleichung (13) ist es zweckmässig, die bekannte Darstellung

(is)

2

für die Besselschen Funktionen heranzuziehen und ausserdem von der Integralformel (vgl.Ziff.Sb) Gebrauch zu machen :

J.

-

4

(eo-9-rìX )

1nz

')O(+1

2 2

z+ld«

f

-O(1-A -d

i

-.--

i(1 (+)1)IFe

Die Relation (17) wird in Ziff.S'b bewiesen; ausserdem wird

A dort fir die wichtigsten c'(- und A -Werte explizit angegeben unter be= sonderer Berttcksichtigung der sich fir ergebenden Grenzwerte. Wir beginnen nun mit der Auflösung der Integralgleichung (13) fir

einzelne A -Werte:

A= o

Die linke Seite von (13) lautet:

R0 rr n

(1g)

.

-1P0zrzn

2rr o o o

(y0_s)1x:4y:_2x0.'+s2_

_-3fl

ySSCp'4t,4/J

_sdtkcIp'cSJ

,)4;4. Yo

= jIo

-Ptlr die rechte Seite von (13) ergibt sich:

O)=

r9(,)

]=

(11)1

00

(Re)f

+

Sowohl fir

'-v

als auch fir

'+ o

(d.h.närnlich >- - co!) können die

in Formel (18) auftretenden Integrale durch Rihenentwickìung des Nenners der Ititegranden ausgewertet werden; mati erhält nach länge= rer aber elementarer Rechnung:

'jo)._

_R:[

_{9e 3} ¿2 9

'Çfo

-

¿

-(20)

. 9.3 .2 46 3

o()

-t4ö

31?c[42

4 çL99b

42o

-ti' 4 2Lo

gL.*

4- 3o

9ZROLJ

Bei der Auswertung der Funktion

°'

werden fUr '- die in Ziff.b Formel (5h) bereitgestellten f-integralwerte herangezogen.

f1(0)

n2-i

-

j

O

(

f

j'(t_x04t.e'_

cTx+y0Z_

O O

Für 'zc, ist es (da nur 8ehr kleine ,c.i. -Werte zum Ergebnis beitra=

gn) zwec1ässiger, die Besselschen Funktionen im Integralgleich=

ungskérn durch die ersten Glieder ihrer Reihen zu ersetzen.

Nan erhält so:

(22.) (2.3)

(z)

9R

(I)

3(ioo

40

/

+9R

.3

(I)

q(r)

(I)

_{=_îr}

o o O

yo

-8-x= i

_ftZ 2.5'L

Für die rechte Seite v-on (13) ergibt sich:

ZZ

(r)

3

(I)

+a10

A (o)

= ,1

9R0(r)

₃₂

9"R3'(

(r)

k+0

ir'

00 2a..40

a00)

9 (T)

+ 60

(q.Q20_L,.c..+400)

Durch Vergleich der Terme

&4.Co

vonC°'und v?0) folgt:

cl, (T)

a00.

_-

rr(-+

für '. - 0. sowie I Sj

R01

/

4

-1-(1

+

o4

-i-

₎

8 _{R0 R o /} ':g

3X)

_b + o

0 0 30 _{16 8} 2 1f R

-

-V J

2t5

Die linke Seife von (13) lautet:

(1)

j4

= _s

j

j

+&4 :-

'''-2Y,S Ccr*

o o O

sc'4A*J'

r'

R0 arr

211

(25)

4(p'.c.c4op'Js+

ir o _{o o} o it + _{L Ç}

_J

(Y0sCo*)[.] ,p'.5r.4.&p'c(s

Tr

y (1)

Irte

In analoger Weise wie im Fall erhalten wir:

=

IXO

4-

i

___

2

9t

g

_i.'

43Ç

f0XoR0UJ 32 AZ.4

£

(1) 't-p o .2. 9.

9ZL,

_(IT)

____

o

(Q)-(n')

_\

(3o)

_{- 12}

-N4r

j -

_4k,

ta)

IW

\

42o

-I-

-

i

(LT)

aol

sC!T)() -

29kz/4.E.9

o

=-

(LT) _{f ROÇ} Tr 93 Ñ0 K0

[46

+ 9

o_

96

+

J1'

flL .J2 4 39Lj.

2lctt

+ 32 ____

+ _I2' _rLI4 (LT) _R4 04 Lf.

i.LflR

41 -

'i!

-

! &)

21 ₄₆ .41 (U) o _; Q11

Tr(0

_'

_4&R0

2 R0 = - ir

Die linke Seite von (13) lautet:

-1ff) tif) .o. -2 14 j 21 - ò4 J

R0j-

(a-) -Q01

₆₂

J

(2a

_- (n)₀₄ ) -;

a1

-o 3 + - 3

2.)

R3 o o R03

2o+ î:

Lf Z

2R3

(3 0 0 4g -. 2 (a-)

(4

₊ 4. 31 (LT) (q31 -Xe') Po'

Durch Vergleich der Terme -k, ,4k für&30 sowie

444

Zn.

L(2).

= L1._. rOJ2TTf

1L+

21pl.

21

sddp'd5

+ 0 0 4-Ro 21T rE _J j

J

(Y0_sc5I1)(..J

Cd.)'.ç

D O O

y=.

b ₂₉

Für die rechte Seite von

(13)

ergibt sich:

=

)

(p) e

[2(/)

()

e

p

=

z

c'

(_6

-

f1(o(±i)i

3

In analoger Weise wie im Pall )=o

und

A=1 erhalten wir,

()

-

irs

4S : ₎

-(35)

(3h)

=

-irr

(I)

lo-S

(r)

?2

(33)

j9

tr)

séc12

-X0'4Ap'-IS

!"'

2o 3 (.t)

&1?=

2R.4r

s 4.

k4.00

02 +

9.(

I

(I>

4Ç4(r4g4(X)

L

cii)

8 11 9.

ii

2. 23 ( 42

932.

ci)

L-g36

_(I)

_(i)

)

e

= -

(Q02 ) - 3

(2c._

ii4 -lo -t.-lO (r)

(r)

4.4

+ 4o

q(l)

₎ 4.

o

(&)

0. J

4 , 9 10 -.

Durch

Vergleich der Terme .- , 'z .

fur

'i - o sowie

.i'

für ' von

t" und

t2) folgt:

2. -I.

Q(I1Z)

(r)

441

3 (31)

fL4

D D O

-R0 zcr irr

I I

(

2'LS C4nP'4L4t4'J

x0-

s

c)1'..J

-11-cr = (r (r)

ir(4

)

01

/

12

= O

; - 2r '

(r)

_!

₉₀ 3 X

-

_¿

X10

a32

-46 2

2

R3

PUr ). 3 kann die

Bestiffimung

der Q-Werte in analoger Weise er=

folgen.

Damit ist, die

Berechnung

der ersten Koeffizienten des

Lösungsan=

satzes (12),(15) für das Potential ₄ abgeschlossen.

Durch

die in

l.(24),(31)

und

(38) enthaltenen

O«AiSt

gewährleistet, daß ¿ sowohl für grosse als auch fUr kleine r-Werte exakt der Oberflä= chenrandbedingung (6) genügt.

Weitere Lösungskoeffizienten 4«Akönnen (wie bereits gesagt) dadurch ermittelt werden, daß man Gl.(6) fUr einen, endlich grossen Bereich mittlerer (d.h.also weder

'z+O

noch -- ) r-Werte nach der Methode

des kleinsten Fehlerquadrats approximiert.

3. Einige Beziehungen zur Wirbeltheorie des Propellers

Ein genaueres Modell der Propellerströmung als der halbunend= liche Wirbeizylinder bzw die Senkenseheibe liefert bekanntlich die Wirbeitraglinientheorie.

Das Potential lautet dann6)

w-1 Ro

4=

i#.,L

49(9.%fl

-

+

(fi-

SC(p))Z4

(f_544(4q)]

a' s +

f

j\'

Cø 441N ( Cd) -

P

+

'Irr #t$j0

-I-

A

Nip

4w À 'f'

-

.A

4

iA W

Cc A P 4

4-J

;:

PPO4)

x=4e; ="P;

f

P,

»ioaei/a..ie Wke/sI/'.

cies

im der Pro pQIIevE't enE'. 'Vgl. Fussnote

5)

S.114.

Durch

-12-Integration über P' und P folgt

o Do 2rr 2W

fs

fd

_{j'dtPIfdP0l.rs,P01t)1c4iAI_sXo_}

o R o o o

-

+ i(P01+-) -

l

/2

-

# (-

s

--)

+ ('"-'«e'- t'ec(+'I)ì

I

=

/

und ganz entsprechend sind die Ausdrücke fUr A,

Wenn into oder x=o

ist, hat man den halben, fUr

=o und X=O

ein Viertel des Wertes von Formel (40) zu nehmen.

Es zeigt sich nun, daß die ICoeffizientenfunktionen A und

A1fUr

eine von q unabhängige Pliigelzirkulation

r

mit denjenigen des Potentials (ii) der Senkenscheibe übereinstimmen.

Aus Formel (40) ergibt sich dann mit der Transformation

'P014*-7

z.B.,:

+ R

-i. ói' -

0'cnJJ :-- 214*iD434

2

ccr,

In (41) lässt sich der Anteil mit den beiden ersten Gliedern.des

Zählers exakt liber Ç integrieren, während der Rest nach Integration liber verschwindet; man erhält also

R0 2TT 111

N

( f ( . ?.

?rr'00 ) ₎

j

7'()[X0+'49

2)C0.4p +

-('31) _{o o}

Ein entsprechender Ausdruck ergibt sich für

Die Funktionen A

und A

gemäss (42) sind nun tatsächlich mit

den Koeffizientenfunktionen A und aus Gl.(11) äquivalent, sofern man nur berücksichtigt, daß

=

=

_:

f

ist, (vgl. Formel (io)).

-13-Die weitere Auswertung fUr kleine bzw grosse r-Werte liefert dann zum Beispiel an Stelle von Formel (21):

j1o)

_{_L_.}

f;)(c)

t[42 ..

42o

(Ltq) RL

+ o + O('z"°)

-a

während man statt (27) und (35) erhält:

£VWt

_-e--

i

cP(). I

r3

5 x0-().

,'o10 J

L

9&l

8 4.

(L)

'i! 9X.

'L?Í

1oXo5ZJdç

(i. ) 2 46 #t'+ 8 Ro

-

±L.

_fc

_{P) .}

.1..

8f4

+

9!toJ

(r:-

) cl

+ ').0

(46)

.a

Ganz analoge Relationen ergeben sich für Gl.(20),(28) und (34). Dabei ist allgemein

Ro

±:_ fs3.r(t)dc

R0

TTP

Çcrc)ds

/ und

Auch die Berechnung der Q -Koeffizienten

kann

ide in Ziff.2 erfol=

«X

gen.

Dem Feld der Senkenscheibe äquivalent sind, alsO die Anteile n = O

des Propellerpotentials nach der Wirbeltraglinientheorie. Das ist physikalisch verständlich, denn diese Anteile entsprechen einem unendlich-flügeligem Propeller oder auch einer räumlich kontinuier= lichen Verteilung der Wirbel; die ¿p0-Abhänigkeit ist ja

nur

durch die endliche Flügelzahl und dem darauf beruhenden Einfluss der momentanen Stellung der Flügel bedingt.

4. Das Problem der Paralleiströmung

Es dürfte für die weitere Erforschung vOn Strömungen mit wirbel= trichterförmiger Wasseroberfläche von Bedeutung sein, zu untersuchen ob sich die einfache Paralleiströmung mit dem Potential

(fl

lässt.

Es zeigt sich, daß dieses nicht sinnvoll moglich Ist. Zunächst Ist zu bedenken:

Die hier vorgelegte Theorie mit der linearisierten Randbed.ingung (6) an der Wasseroberfläche beruht auf der Voraussetzung, daß auf der ganzen. durch y('t)Gl.(3) gegebenen Wasseroberfläche gilt

Die Bedingung (48) ist fUr das Potential (9) erfüllt, aber fUr das Potential (47) der Paralleiströmung für hinreichend grosse r-Werte verletzt.

Für kleine r-Werte genügt das Potential (47) dagegen der Bedingung (48). Es liegt daher nahe, zunächst die Oberflächenrandbedingung (6) fUr r O zu diskutieren. Mit « gemäss (47) führt G].. (6) dann

auf die Relation

(q9)

&_ -Qz

.4.

9'?.±z

204.tp

zur.Bestimmung des durch den Einfluss der Wasseroberfläche beding= ten Zusatzpotentials ₄

Machen wir entsprechend (8) den Ansatz

lt

,M(5.90)

(5o)

=

sÇ)e

so liefert (49) die Integralgleichu.ng

z fl21&t

=

f

P(j)

e

9L»

{'7(M)

- ¿

oder auch für r

40

- 2u

=

e

o

Diese Integralgleichung hat, wie man leicht erkennt, keine Lösung

die im Bereich Q,LOO beschränkt bleibt. Denn die rechte Seite

von

₍₅₂₎

würde für jede soche Funktion I(,)von höherer Ordnung ver=

schwinden, im Widerspruch zur linken Seite. Eine Lösung von

(52)

ist aber offenbar

(5)

-mit S als der Diraeschen Deltafunktion.

-rrtr

Oo

-15-Aus (53) und (50) folgt

Oo

(

M(9-90)

= -

24itq J S(,u)e

'(»')

'L =

-o

Für ₄ ergibt sich somit nur die triviale Lösung b2.=

-Die Paralleiströmung in der Nähe einer wirbeltrichterförmigen Was= serober±'läche kann also mit einer auf der Voraussetzung (48) ba=. sierenden und damit zur Oberflächenbedingung (6) bzw. (49) fiibren= den Theorie nicht sinnvoll behandelt werden.

Nan erkennt dadurch, daß die hier vorgelegte Theorie nicht ohne weiteres für jedes Strömungsproblem mit einer solchen Wasserober=

fläche geeignet ist.

5. Beweis einiger Integralformeln

Wir haben uris noch zu überzeugen, daß die Koeffizientenfunkti=

onènA'

undA,"4 aus Formel (ii) verschwinden. Dazu betrachten

wir z.B. die Integralformel.:

42q'.dp o'

s'A-

2)(04ti- 2s C'f'-2s

rI-Ic

- Ç

_fA

-00

4wZAP.

- 2X06p -2js'+.2s

1A4 TI-Tr

J JIA:

-00

IA+2X0'44i4p

Gliedert man die Integration über p in zwei Bereiche und

I.Lf17 und macht für den zweiten die Substitution p=ir.ço',so

folgt unmittelbar J1=-J,J3=_

Ç.

Also verschwindet das gesamte Integral wie in Formel (11) behauptet.

b)

Die Auswertung des Integrals 3«A(17) erfolgt mit der Residuen=

4ff

(cs)

'0o

01 A -'

l'li

,t

63

=

2«41cf

(EX)

4-8 t3

3

₂₄

_'!!+

37-ti

-16-methode liber den Einheitskreis der komplexen Z-Ebene. Nit der

Substitution 2 = è'und der AbkUrzung

(Sq.) e=

erhält man:

2«4.1

.)0(+4

i

z«+)

-(t

z.e)')12-Das ist aber genau die Aussage von Formel (17). Speziell ergibt sich z.B.:

i'

(A44)e

e. £o1 E'

=

taf

-.

_____

'1

#1)(A4z)e.

3 (A+2)

e

.2

2 ¿f

=

,j_

(X+4)(À+2)(A+3)e._

+2)(AI3)e_(1)6'

-1-(A42)d

e

2.

z

14 Ç 3s,/.

Durch Reihenentwicklung von e' und £'crf ..° fUr grosse

r-Werte bekommt man die bei der Berechnung der Q.-Koeffizienten

in Ziff.2 benötigten asymptotiechen Werte fUr r

.00 :

.I....

) I

3R3

-t

'L!o___o +

4...

01d

Z 5_

_{46 t3}

Z9t3

Lt 3

Zo(4L

_oZ

¿L4

29'Z3

i

4+...

._.i+ î

_Z

46

/

/

¿t

4...

.o +*%.

46t

Ln'.

Ko '1 1rj

_ø

4 0

'1'3

:+...

'1-

-17-,

31 2. 11 ,1

'!R0

I 32 4 c3'.3 I

3-1

lb '.a

"

3IL

_

AS 3 _-f.

III

04__e

1r

4b' / L1. Zusammen!as sung

Als eine Porm möglicher Beispiele für die bei Luítansaugungsvor= gängen auftretendén Strömungen können diejenigen angesehen werden, welche sich in der Näne der durch einen Badewaxinenwirbel geprägten wirbeltrichterförmigen Wasseroberfläche abspielen. In der vorgeleg= ten Untersuchung wird unter anderem als einfachstes Propellermodell der halbunendliche Wirbelzylinder unter einer solchen freien Was=, seroberfläche behandelt. Dabei Ist es (In Analogie zu den bekannten für eine ebene Wasseroberfläche durchgefWirten Analysen) möglich, die Druckbedingung an der wirbeltrichterförmigen Oberfläche zu 11= nearisieren und so eine relativ übersichtliche 'Theorie zu erhalten.

Summary

Possible forme of flow pattern concerning ventilation or air-suc= tion problems may be such occurring near the free water surface of a bath-tub-vortex. This investigation is especially concerned with the half infinite vortex cylinder (as a simple model for propeller flow) near such a water surface. The pressure condition on a bath-, tub-vortex water surface can be linearised. analogous to the well known theory with plane water surface and so a practicable approxi= mate method is obtained.

Teil

2

Dez' belUftete Spitzenwirbel eines unter

der Wasseroberfläche fahrenden Tragí'lttgels

_18-.

6. Einleitung

. .

Experimente mit nahe der Wasseroberflache arbeitenden Propellern

zeigen, daß in die Unterdruckgebiete i Kern freier Spitzenwirbel

Luft von der Wasseroberfiache hineingesaugt

wird»

Diese BeluZtu.ng

fuhrt zu einem erheblichen Absinken des Propellersehubes bzw des

Plugelauftriebes.

Es erscheint geboten, auch eine theoretische Behandlung belufteter

Spitzenwirbel zu versuchen. In Anbetracht der Tatsache, daß die

eigentliche Propellerstromung recht kompliziert ist, dürfte es

zweckmässig sein, eine Theorie zunächst fii± den einfacheren Páli

des Tragflugels zu entwickeln.

Wir gehen dabei aus von dem bekannten Strömungsfeld (Potential

4, )

eines Tragfliigels im Abstand y von der Wasseroberfläche (Abb.4).

Der Einfluss dèr letzteren kann hei den hier vorausgesetzten hohen

Froude-Zahlèn durch Spiegelung erfasst werden. Im Kernbereich der

freien Spitzenwirbel herrscht zunächst ein erheblicher Unterdruók,

der oft auch mit Kavitationsbildung verbunden ist

Kommt es nun zur

Beliftung, so steigt der Druck in den Spitzenwirbeln auf den Luft=

druck p0 der Wasseroberfläche an. Wir.verzichten hier au! die Be=

handlung des stark instationaren Lufteinbruchsvorganges und be=

schranken uns auf die Analyse des als stationar vorausgesetzten Zu=

standes bereits eingetretener Belt.ftung.

Dann besteht die Aufgabe darin, ein zusatzliches Geschwindigkeits=

feld (Potentiúl

4 )

so zu bestimmen, daß im Kez'nbereich der Spit=

zenwirbel der Luftdruck p0 angenommen wird

Da es bei der Ermittlung desden Einfluss der Belliftung enthalten=

den Zusatzpotentials

4

vor allem auf das Strömungsfeld eines auf=

gerollten Spitzenwirbels ankommt, erscheint es ausreichend, den

Tragflügel im Rahthen dieser Rechnung durch einen einfachen Hufei=

senwirbel der Zirkulation

r0 = const. zu ersetzen.

Umfangreiche Versuèhe im Zuàammenhang mit diesem besonders .auch

im Bereich hoher Proude-Zahien zu beobachtenden Beiüftungseffekt

wurden von O.Kruppa im der Technischen Universität Berlin durch=

geführt. Ein Bericht erscheint 1972.

Vgl.ausserdemn: W.H.Isay, Moderne Probleme der Propellertheorie,

Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1970, Kap.Ii0.

Nachdem *bestimmt ist, hat man aus der normalen Strörnungsrandbe= dingung der erweiterten Traglinientheorie die Fjiigelzirkulation P unter Berücksichtigung der Belüftung zu berechnen. Da es sich dabei um nichtlineare Zusammenhänge handelt, wird ein iterationsverfahren erforderlich sein.

Das Geschwlndigkeitspotential eines Tragflügels der Spannweite 2b (als Hufeisenwirbel) im Abstand y0 von der Wasseroberfläche Ist bei hohen Proude-Zahlen gegeben durch (Abb.4):

4»

Ø(1)

.r10(ej

00

dd

4 r _r0 r'0

(Sn

4 r! rI

(9-i0djd.c

L7r J (

-e0

Aus (57) folgt:

I ';:=

-19-9

(Vx+(_)2' +

X+44)l')

_/

rr Xz+j2 r' T' _x (

¿-

. e

- __P

₄ - I

-'+îr XZ+92

_{-t/xtl4.t.e._2.)z}

(4+,

4-VXz++(e.))

_rr

e-

.

(i-p

X +

Vx1j4.e.1

J

/

P0 - 9

(44

o

I

)Z s .

-

.

('i-i-/)(24.Ij4.

_{(e+flZ J}

_J

Zu Formel (58) analoge Ausdrücke, bei denen lediglich y durch y-2y zu ersetzen Ist, ergeben sich für die Ableitungen des gespiegelten Potentials

Wir setzen nun° voraus, daß die beiden Spitzenwirbel i (bei z=b)

und 2 (bei z=-b) des Tragflügels (Abb.5) so weit auseinander liegen, daß das durch die Belüftung bedingte Zusatzfeld c In zwei An=

Abb»*: Trc..gf/'9e1

',4r dr L/o..eroIei-[Uc4e

r-

_o 4' 1' La o

2a.

-Abb.5: Trc&9J/qeI 4/S YR/else,, lV,r bel.

9efp.e5el4er Se/eìiw,rbe/

1 '/7 '// ;;///i

(6o)

rp0

_r0

'+rr i: )( c.d-P1 X . (k1c'r1- 2tj

-20-teilen ₄ und 4),' unabhängig voneinander bestimmt werden kann. Für die weitere Rechnung Ist es dann zweckmässig, mit der Substi= tutlon

!:IklC45)Pl

;

.e14i'p1

zu einem Zylinderkoordinatensystem überzugehen, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Spitzenwirbels

i

(bei z=b) iiegt. Da.wix' uns

nun

nur für die induziérten Geschwindigkeiten im Kernbereich (also klei= ner r,-Werte) interessieren, k5nnen wir noch voraussetzen, daß

ist. Mit dieser Annahme erhält man In guter Näherung aus

(58)

und den entsprechenden Ausdrücken für das gespiegelte Potential:

'ò4)

_r

_r

4Cd-)P4

f.

2.

o .rr L +

kl-el_2D

I

2 _s.)]

iJri0

11(

k4 L

j

k1

'

fP4

_(i

I 2&

₊

+

a:Zp

+LP.

#L:+4j:_

z1cc,,'Ç1

/

2C.

XL+(k1p1z0(x4ez

+

(44

21(1

___

-

XCaj (

2&

I 2 (

'14

X.

Die Rechnung für den Spitzenwirbel 2 gestaltet sich ganz analog, so daß hier auf deren Wiedergabe verzichtet werden kann.

-

)J

2

L

-21-7. Berechnung des durch die

Belüftung

bedingten Zusatzpotentials 4

Für das Infolge der Beltiftung des Spitzenwirbels i auftrftendé Zusatzpotential machen wir den der Laplacesohen Gleichung gentigen= den Ansatz (vgl.auch Formel (8) und (12) aus Tel]. i):

(61)

P1=

+

mit als Besselscher

Funktion

erster

Art.

ist aus der Por= derung zu bestimmen, daß im Innern des Spitzenwirbel8 der Luft= druck p0 angenommen wird.

Mit u0 als der Anströmgeschwindigkeit und

unter

Vernachlässigung des Schwerkrafteinf]USSeS führt dieses nach der Bernoulliechen Gleichung auf die Relation

t

=

(u+

4ro)Z

+ (62)

Es

bedarf nun

noc:b einer gewissen Überlegung, in welchem Bereich

Gl.(62) zu erfüllen ist. Dabei Ist zu bedenken, daß wir hier eine potentialtheoretlsche Analyse verwenden, die im Mittelpunkt

'=o

des WirbelS sinnlos wird. In der Wirklichicei der realen Strömung

hat ein Spitenwirbel bekanntlich einen endliôhen Kernradius P,( Nur ausserhalb dieses Radius für

'4>R1kann ii

guter Näherung Po=

tentialströmthig angenommen werden.10) (Abb. 6).

Es Ist daher realistisch, Gl.(62) für I zu erfiillen und da=

mit den ganzen Bereich

'z1R1

als belüftet anzunehrnerl.41) Die ge=

flaue Fòrm des Kernradius in Abhängigkeit von x entzieht sich (ins=

besondere bei turbulenter Strömung) einer theoretischen Berechnung und muss experimentell bestimmt werden. Messungen und vereinfachte

(teilweise von der Voraussetzung laminarer Strömung ausgehende)

'ia)

Rechnungen haben gezeigt, daß der Kernradius mit. dem Abstand x

Dieses wurde auch bei den in Fussnote 7) genannten Versuchen

40)beobachtet.

E. Truckenbrodt: Strömungsmechanik, Springer-Verlag

Berlin-Heidelberg-New York 1968, S.396-398.

12)Vgl.z.B.: B.G.Newman: Flow in a viscous trailing vortex;

-22-vom Flügel zunimmt. Wir legen hier näherungsweise eine lineare Ab= hängigkeit zugrunde. (Abb.6).

Der Radius Q(x) wächst dann von seinem Minimaiwert bis er bei Ç, mit R1(c)i0 die Wasseroberfläche berlihrt, an der ohnehin der Luftdruck

_p

herrscht. Man wird somit die Bedingung (62) für den

Bereich o x ,, zu erfüllen haben.

Die Relation (62) ist ferner in ihrer nichtlinearen Gestalt einer theoretischen Analyse nur sehr schwer zugänglich. Es erscheint da= her geboten, sie durch einige physikalisch sinnvolle Annahmen zu

line ans ieren.

Zunächst ist r0 aus Stetigkeitsgrtinden im Kernbereich des Spit= zenwirbelà auf jeden Fall sehr klein, denn an der nahe gelegenen Wasseroberfläche y = y0 wird ja exakt o. Wir wollen somit

grundsätzlich gegenüber u vernachlässigen.

Im übrigen ist am Kernradius einer Wirbeiströmung die Umfangsge= schwindigkeit wesentlich grösser als die Radialkomponente. Letzte= res geht auch aus Formel (60) hervor. Es liegt daher nahe, mit ei= ner kleinen Grösse (die nicht näher definiert werden braucht) falgende Abschätzungen fur die Grössenordnung der iii Gl.(62) auf= tretenden Geschwindigkeiten einzuführen:

4

)

t1p1

i'.-

il?

)

Unter Vernachlässigung aller Anteile E geht de Relation (62) dann

in die bezüglich 4" linearisierte BelüÎtungsduckbedingung über:

-1

-

t

1Lp1

:y1 -

2.

/

(-(r

Rx)

/

03

Gl.(64) werden wir

fUr

die weitere Analyse verwenden.'

Im Rahmen der Abschätzung (63) ist es konsequent,bei der Geschwin= digkeitskomponente . nur die wesentlichen Anteile beizubehalten.

Und zwar 7 P4

'e

4"P0

.__14 f

'

'

-V)(!41'/ h.1=

()

h13)pti _{eine verfeinerte Theorie besteht die Möglichkeit, die in (64)}

vernachlässigten Anteile2 iterativ zu berücksichtigen. Es wird.

die aus (64) ermittelte linearisierte Lösung

0

in die Terme -Z eingesetzt und ein verbessertes 4,f aus einer Gleichung berechnet,

die gegenüber (64) eine um die genannten TermeEergänzte inho=

mogene rechte Seite hat. Ausserdem ist zu beachten: Da Gl.(64)

nur für den Bereich O( X'werfüllt wird, darf das so ermittelte Feld Ø auch nur in diesem Gebiet verwendet werden. Für die hier beabsichtigte Analyse ist dieses jedoch ausreichend.

(6h)

-23-als Faktor von auf der linken Seite von Gl.(64) und

o

A (I4r)z

=

y; (x,'r'1)

-

___

_11Xz+L&z I 2& X24

(V44e

-1 )

(fj0)f44 -2

I o

2X.wP1

f

IC.

tI4PI

-

1c,ce12(ç)L

/xZ#I.eH.'

/xfL_zf0t,ccs,p

.Ç

'.R1(x)

auf der rechten Seite von (64); es werden also alle Terme weggelas= sen, die das dominierende Glied (65) nicht enthalten.

Wir entwiQiceln

ÇZ(,e,P)

in eine Fourier-Reihe beziiglioh 'p1 , also

A

(6? ° _2r1

(Ii)

₄

_i

(12)

d A

= _; A

=.±Çv.4Mxeell

(Für A'' ist der halbe Wert zunehmen).

Mit dem Ansatz (61) und unter Verwendung der Formeln (65) bis (67) erhalten wir durch Koeffizientenvergleich in

Cc,)1

und -$i'4)e1

aus der Belüftungsdruckbedingung (64) ein Integralgleicb.ungssystexn;

0e - (41)

(68)

Ç

e

j(R)

o 00

_(ii)

2t

Ç

e

(,iR1tx)

//&

-(é9)

o o

r'

(1+

x

\ (

-,M)(

(ii)

(il)

2Tr R1(X)

e

A A(,t4

A(/M)0I4

jAtX);

00 0 ₍₁₂₎ 2 _Ç

R4()

-o o

(Ii)

(12)

_(

X 2rr

/Xz+R(())

Q A

(,i.tRx) L\

()

CÇM

4(x)

;

O

K)(w' ')

(li)

A0 (X)

_;

-24-(44 (iz)

Aus (68) und. (69) sind die Koeffizientenfunktionen J,çi.), des Potentials Gl.(61) zu bestimmen. Ein Ansatz der Form

2«

(-14)

(°)

(1

Co,0(e.'

°

co

o(I

und entsprechend für ¿pferweistsich als geeignet. (vgl.auch Gl.

(15)

aus Teil i). In Anbetracht des begrenzten x-Bereichs ist es zweckmässig, ein Fehlerquadratverfahren zu erwenden; also z.B. fir Gl.(68) die Bedingung

Zo(

(il)

z

f.2Z

Cc(oj

c=o

(1)

o

A0(1)y

=. w

(0%.r)

(71) liefert ein lineares Gleichungssystem fir die Koeffizienteñ Um eine möglichst gleichmässige Approximation mit relativ wenigen Lösungskoeffizienten zu gewhrleisten, sollte die An.zahÏ.

der x -Stellen mindestens 2.2 sein.

Einige Hinweise fir die zweckmässige Auswertung der in (68),(69) bzw; (71) auftretenden Integrale findet man in-iff.9.

PUr das durch. die Beltiftung des Spitzenwirbel .2 (bei z=-b) beding=

te Potential wird ein zu Gl.(61) analoger Ansatz mit den Koor= dinaten

1

«

gemacht. Die Belttftungsbedingung (64) gilt auch fUr ₄ und an die Stelle von Gl.(65) und(66) treten die Relationen:

(3)

'4(#

X

)

rr i

=

R4(X)

I (rio_

'Ç,2(x,p =

!.

(4+

x

)1!

('1.1. X 4L _p1 . o 4&TT2 L

+ 2X4wp2

₍

2e

"1

.

+ 2

XL

_C92

O92-2a

X ) ( 4--I-

X+2_j°) 3íX'i

f',

=

r2()

°&(íR(),t

/

Eine Ubersöhl.gige Abschätzung zeigt bereits, daß die Funktion positiv ist und ausserdem den überwiegenden Anteil der Reihe (67) liefert. Entsprechend Ist auch die Lösung der Integralglei= chung (68) positiv

und

damit wird wegen des

tlberwiégens

von

die Zusatzgeschwindigkeit im Bereich des Wirbelkerns negativ. Entsprechend

gilt

dieses fur den Spitzenwirbel. 2. Das Ergebnis ent= spricht auch der physïkalischen Anschauung, denn offensichtlich

fUhrt

das Einströmen: von Luft von der Stelle Ç an der Wasserober= fläche zu dem bei x = O liegenden Flügel hin zu einer Geschwindig= keit in negativer x-Riohtung. Wie wir noch sehen werden, Ist mit dem Auftreten dieser Geschwindigkeit ein Auftriebsverlust am Flügel verbunden.

8. Der Einfluss der

Belüftung

auf die Zirkulations-verteilung des Tragflügels

Wir betrachten einen Rechtecktragíliigel der Tiefe 2a

und

der Spannweite 2b. Liegt die tragende Linie der Zirkulation fl() in der z-Achse, so ist die Strömungerandbedingung der erweiterten Traglini= entheorie längs der Geraden y=O, x=a, -b z b zu erfüllen.

Pur die durch die Belüftung der Spitzenwirbel bedingten Potentiale

4 bzw

«ist

somit r1= b-z,

t4

bzw

;=

b+z,1e2=f zu setzen.

Wir bezeiohneti ferner mit cÇ den Neigungewinkel der

Profilskelett-linien im

Punit

3/4-Flilgeltiefe. FUr hohe Proude-Zahien folgt damn aus der Strömutgarandbedingung die Integraigleichung

4

₍

_.,

C c) - L

i_

as )

-

₎ + i. -) 0t

i

QI z

-e

-25-'1

./qz

fl(ì_)t

i 2. _{+ Q.'} 00

)(

_,uQ.

U. cÇ

_o

-2 (-i) je

4j+Q

o (14) ₍₁₂₎

._ Ii (,k

4 _>L_

_{Çu) +}

L

lA-4

1&f)Die Integralgleichung ohne Beltiftungseffekt ist seit langem be= kannt. .Vgl.z.B.: W.H.Isay; P±opellertheorie,Hydrodynamische. Pro= bleme; Springer Verlag Berlin-Göttingen-Heidelberg 1964 S.188.

f

(vc)

(ia)

o_/ii. ÇE

(/..)J

sic)

Die oberen Indices 21 und 2; bei der Berechnung der ist zu bedenken, daß gilt:

'b4_4

_-

_n-24'

-__ cP1 IP1= -26-)

if. ''

r

j

r2,(,1.) +

(ai)

(.e))f_

_e

(&t)

2 ¿A-f (2.1)

g.i (.j}d/t.

(it)

41

_X+4

Aus Gl.(75) Ist die Zirkulation des belüfteten Flttgels zu be= rechnen. Die auf der rechten Seite. von (75) stehenden Terme

ben den Einfluss der Belüftung wieder; sie hängen vorn Mittelwert

()

1Çncdc

der gesuchten F]iigelzirkulatiOfl ab und zwar über die Integralglei=

chungen (68) und (69), also in nichtlinearer Form.

Da der, Kern von Gl.(75) die tthliche Form der Traglinientheorie hat,

erscheint es naheliegend, (75) mit den bekannten Verfahren der TraglinientheOrie zu lösen, und zwar iterativ: Man geht von der Lö=

(o)

swig fl(c) ohne Belüftung aus, berechnet mit der in Ziff.7 entwickCO) (e)

elten Theorie den BelüftungseinflUsS in Form der Potentiale 4, cjY'

(0) (0)

und löst mit diesem

41+42*

auf der rechten Seite erneut die In=₍₁₎ tegralgleiohwig (75). Das Ergebnis ist die erste Näherung 11c für die Zjrkulatjonsverteilwlg des beltifteten Pltigels. So kann des Ver=

fahren

fortgesetzt werden.

tiber

die

Anzahl

der bis zum Erhalt einer

stabilen Lösung notwendigen Iterationssohritte lässt sich erst auf= grund numerischer Erfahrungen eine zuverlässige Aussage gewinnen;

sicher wird die Form R4( des beltifteten Kerriradius zusammen mit dem Anstellwinkel cÇ von merklichem Einfluss sein, ebenso der Ab= stand dea Flttgels von der Wasseroberfläche.

Für eine qualitative Untersuchung des Belti±'tungsein.flUSSeS auf die

S-trömungsrandbed.inguflg am Tragflügel beschrä.mlcen wir uns auf die

ersten Glieder der Summe über

Zunächst zeigt eine überschlägige Abschätzung im Fall eines in etwa typischen BeispielS16t, daß von den KoeffizientenfUktiOflefl der Rei=

(f4)

he (67)i0xuridA0O beide

positiv sind und den uberwiegenden An=

teil liefern. Die nächst bedeutsamen sind und A27, und zwar4

22 beziehen sich auf den Spitzenwirbel Geschwindigkeiten in der Randbedingung

(xa, 'jo)

- - !_.

-27-beide negativ. Weniger wesentlich sind schon Ac (negativ) und

(22)

A1 cx)

(positiv).

Aus dem Integralgleichungssystem (68),(69) und dem erxtBprechefldefl

(44) (24) für den Spitzenwirbel 2 lässt sich darin entnehmen, daß

p.(2Z))

positiv und negativ sind.

Der Hauptantei]. der Beliiftungsglieder auf der rechten Seite der Randbedingungsintegra].gleichuflg (75), nämlich (14) (12 _ (41) 4

fi {,.(i)L'Pcp

o #:J

(,(+')

(21) E

wirkt also (wegen 6o und P,-Vor?ec,ÇFn) auftriebsvermindernd.. Dieses entspricht den Beobachtungen bei Versuchen.

9. Auswertung einiger Integrale

Wir geben zum Schluss einen Einblick in die zweckmässige Berech= nung der in dem Integralgleiohungssystem (68),(69) auftretenden

Intégrale. Dabei gehen wir fir von dem Ansatz (70) aus. Zunächst kann (vg]..auch die in Fussnote 16 erwähnten Zahlenwerte)

im ganzen Beré ich O $ davon ausgegangen werden, daß

tx+&0Jc-1.

ist. Unter VeÍ'wendurtg der Darstellung (16) au Teil i fUr die Bes=

selschen Punktionen und mit der Integralformel

fe'/-«°1r

ergibt sich dann:

00 _zo(

f'(»1) PÇu o!»

=

'

(«4i)C« 1)(X)

oo

(Xj0)0(+2

2rT '1 Ç

c.A.9-.ot$.

c1(x)

₎

(i ,:Rl()c )O(+2 o

16)Ejfl _{typisches Zahienbeispie]. ist:}

I

¿

-

o,

/

= 2

0,02

(21) -1

i

(ji

(S)

_fe

Speziell wird:

(co

=

'1-

-28-2cc

_C«)

(c(..i) Q O() PA(,M)d,Lt

=

_{(x+ f)o(41}

IA 0(= o 4. ₍ R1(X))*(c(41)(0(43)(«414)(«4S)

x-i0i

14.

x+'j

6'# (co

()

_c'(i.Z

-f ((r)

)Z

_(«+2)

(«+3

( R1(X))*

(«.I2)(+3)(«+4')(c(+5)

41(x)

_X40

96

Bei der Auswertung der Integrale zur Bestimmung der auf der rechten

Seite des Systems (68),(69)stehend.en Koeffizientenfunictionen AA(x)

Ist zu beachten, daß der vom gebundenen Flttgelwirbel induzierte

Anteil

_2,e4p1

(

2.

9)

in Formel (66) fUr x=o und q'singulth wird.

Diese physikalisch unreallstische nur durch die vereinfachte Dar=

stellung des Tragflügels in Form eines Hufeisenwirbels bedingte

Punkt-Singularität wird zweckmässigerweise dadurch beseitigt, daß

in einem Bereich von der Fitigeiprofildicke D0

[also fUr

xo

und

mit.t'1c4j°) t1 c,pj=

gesetzt wird. Daim verschwindet der

Anteil (79) für alle

-Werte bei X = o.

Analog wird béi der Behandlung des Spitzenwirbels 2,GI.(74),beiXo

und

vorgegangen.

10. Uberti'agung der Theorie auf den beltl±'teten

schrauben-linlenförmigen Spitzenwirbel eines Propellers

Es liegt nahe noch zu überlegen, in wie weit die in Ziff.6 bis 8

dargestellte Theorie auch für die Behandlung des belüfteten Spt=

zenwirbels eines Propellers verwendet werden kann. Der grundsätz=

liche Gedankengang sollte dabei erhalten bleiben.

(a)

Wir gehen aus von dem Geschwindigkeitspotential

4

des Original=

propellers und.

des an der Wasseroberfläche y = y0 gespiegelten

Propellers unter der Voraussetzung hoher Froude-Zahlen.

(Abb.7).

Wenn wir (in Analogie zum HufeisenwirbeJ.. des

Tragflügels) die N

-

(

R,(x3

(«42)(O(43)(«4.14) _{+ %'%}

(Si)

-29-Piopeflerflttgel ersetzen

durch

N Stabwirbel der konstanten Zirku= lation 1',, mit den dazu gehörenden N schraubenhinienförmigen Spit=

zenwirbeln der Zirkulation 7'

und

einem in der Propellerachse

(x-p

Achse) liegenden Nabenwirbel der Zirkulation -. W1 , so lauten die

Geschwindigkeitspotentiale P4 00 1 J 1p

J

4rr ,

ço 1fr=0

(_s#

4 ; 17

N-i

R OC +

f

f[(K)

(Q--

g())L

p

-11T7 14=0

-4

(-S-h4(,+4))

._.

.

fsfr 8,q-)

W.hrénd

wir md der Form (81) belassen wollen, erweist es sich

fUr

die im folgenden notwendigen Absohätzungen als zweckmässig,

ed c5° rn 12

h(0)

in éine dem Blot-Savartschen Gesetz entsprechende Darstellung zu

bringen.

Nan

erhält nach elementarer Zwischenrechnung

und

Integra= tion über s: 71

f

R-

(yL

&)

, + p

'tTr20

Va!

)(

4.

W-i

_e

- J

L(

0*)L+

R#- 2tR4c,(p_1)3

tITl4i_O

° {

(

c(-(p14--)_ R)

-3vgi. Fussnote

₁₄₎

S.231/232.

Wie üblich verwenden wir Po],.arkoordinaten

x,

y= ' c p,. z=

't 4w

Die Propehlerebene Ist x=O. gibt die momentane Wlxikel= stellung des n-ten Pltige.ls an. Ist die bydrodyiamisohe Steigung.

(2)

-30-4f,2 (R40()

- R-0')

_Co((p-p4-

_))}

q/i/#

-

4fl-4

____

Wir betrachten nun die Belü±'tungsbedingung fUr den Spitzenwirbe]. des Flüge].sn=O. Um zu erreichen, daß im Kernbereich dieses Wirbe].s der Luftdruck p = p (entsprechend der Zuströmung 14 weit vor dem

A..(o)

Propeller) angenommen wird, muss ein zusatzliches Feld ç einge=

:fiiWrt und

bestimmt

werden.1

Die Bedïngung p =

p liefert dann

nach der Bernoulliechen Gleichung

bei Vernachlässigung des Schwerkrafteiìfflusses die Relation

z

f-o)+

41)

'djoj

r

°

_-

_"oLp0

()

I

r-AQ(1)

'1o)j

/,r&

_{be/ÇJ,e 9ere,cJ,}

Die Gl.(83) Ist wegen ihres nichtlinearen Charakters einer analyti= echen Behandlung kaum zugänglich. Es ist somit erforderlich, sie durchS Heraushebung ihrer physikalisch wesentlichsten Anteile zu li= nearisieren. tvgl.S.22).

Wir fUhren ein Kooerdinatensystem ein, das mit dem Kernbereich des be].üíteten Spitzenwirbels verbunden i8t. Es sei LT die Geschwin=

digkeitskomponente in Achsenrichtung des Spitzenwirbels; ausserdem bezeichnen wir mit Cd die Radialkomponente und mit die Umfangs= komponente der Geschwindigkeit in einem Polarkoordinatensystem

in der Ebene senkrecht

zur

Wirbelachse. Dieses Polarkoordinaten= system wird so festgelegt, daß der Wert der radialen Richtung des ursprünglichen Zylinderkoordinatensystems entspricht. (Abb.8). Dann gilt mit f3

C

= - u

.: Cd 4

V 6

₎

't44 (3 + '7 c

(

cd

_{+ L} (n

C)f

_-

vc

4i/5

₊ #T4M

)

wird hier analog wie beim Tragflflgel angenommen, daß die in= folge der Belüftung der einzelnen Spitzenwirbel. auftretenden Zu=

satzfelder 4'

(o,i,.N.1)

unabhängig voneinander bestimmt wer=

Abb.

:

_{PrepeIIer47i.'gel}

-&ii'.1

c;i

Ws4e/ Laid

Nc&behwrbe/

uQr der

k3)

t.

tIN

¿ 2' ,

_¡o

A.9: 24r £rIci1ertg der

koordjnck1efl-Sysere

iid

eLe,.i.

(851

-31-(*)

Lt'

+ VCø[

_;

L4Zl Vz4 wz

_{tJ2-i- C7t}

_.1

Die Druckbedingung (83) ist in diesem System dann (v-gl.die analo= gen Betrachtungen für den Tragfitigel) auf dem Kernradius des

Spitzenwirbels zu erfüllen, also für

.

d(.9))[c-X

I: '

R&4d0 Y4t7

;

(9 =

(p04.$

-

C-L

;

=

ô _, O 2rr,

.9 Ist die über die Erstreckung der belü.fteten Sschraubenlinie

laufende Winkelvariable. (im ursprünglichen Zylinderkoordinaten=

system).

(Abb.9.)

Es Ist zu erwarten, daß in der Druckbedingung (83) von allen vorn Wirbelsystem des Propellers und seines Spiegelbildes induzierten Geschwindigkeiten die UmÍ'angskomponente C0 des Originaipropeflers und von dieser auch nur der Swninand n=O des gearad.e betrachteten Spitzenwirbels, den wir mit bezeichnen wollen, den bedeut= samsten Anteil liefern wird. Dieses lässt sich auch analytisch nachweisen49)

Wir zerlegen dann zweckmässig

(86)

C (o)

c

(0)

(o)

pX

p?lo

pX

I

Wir betrachten die vom Spitzenwirbel des FlUgels n=O induzierte Geschwindigkeit (vgl.(82)). Mit der Substitution ergibt

sich für den Nenner des Integranden von

!e f'...

(40,Jd1k

inder Umgebung der Stelle G=O bis auf Glieder höherer Ordnung in O und ¿:

Jie

R(4f)J+3h

Analog erhält man für die Zähler mit der Umrechnung (84):

- Icx

R4:'f- R4?(e

=

(e2

-x-.

f

v4 19(3

= io/Rq 7

Man erkennt, daß nur von erster Ordnung und dagegen

_°Ic

mit -32-Co (o)

r

c

f [(e-

di4 2R(4+).

j1'-jo

_L#7T

T

3/2{.R»j

/(4

Cc (& +

4p

-

RcLIM X Cc/ -

_X

-+ R4(

_'c»p

_).1.t.(e4

c-)]

-- TO(

-

-

-

co)o

als dem entscheidenden Anteil und C°' als Abkürzung ftLr die rest= pU1

lichen Glieder.

Beim schraubenlinienförmigen auf einem Zylindermantel vom Radius P liegenden Spitzenwirbel des Propellers erstreckt sich (anders als im Fall des Tragflügels) der belüftete Bereich nicht nur auf Gebiete in der Nähe der Wasseroberfläche. Es Ist

daher

nicht mehr möglich, allein wegen der Wirkung des an der Wasseroberfläche ge= spiegelten Propellers gewisse Kombinationen der induzierten Ge= schwindigkeiten als klein im beltifteten Bereich anzusehen.

Eine Linearisierung der Druckbedingung

(83).

ist nur unter der Voraussetzung möglich, daß die Quadrate bzw Produkte aller durch die Wirbelsysteme und das Zusatzpotential 4)0) bedingten Geschwin= digkeiten als von höherer Ordnung klein vernachlässigt werden können mit alleiniger Ausnahme der bereits erwähnten Geschwindig= keit

C°

. Unter diesen Umständen geht

Gl.(83)

unter Berückeich= tigung der Relationen (84) über in die linearisierte Form:

O = - 2&,

(Pß(0)

,(-1)

+

24i(3

((0)

tJ

&

P

+

2t0c

cci-p(Cp+ Cp1)C*)

(c

)2_

-

24

-

2(04X-;;0)(+

4-

c

c

)

p _/

dabei ist Gl.(88) für die in (85) zusammengestellten Werte zu er= füllen und damit das Zusatzpotential

40)

zu bestimmen.

Vgl.Fussnote 14) S.233-236.

-33-Die linearisierte Belüftungsbedingung (88) unterscheidetsich von der entsprechenden (64) fur den Tragflugel unter anderem dadurch, daß die Zeit in Form der rnothentanen Flügelsteflung p explizit in den durch den gespiegelten Propeller bedingten Anteilen (d.h. den Ableitungen des Potentials 4')auftritt.

Nunist aus der Theorie des vollgetauchten aber in der N.he der

Wasseroberfläche arbeitendén Propellers bekannt, daß der &p0-Einfluss auf die Ströinungsrandbedingung am Flügel und damit auch auf dessen Belastung relativ gering ist.° Es liegt nahe,dieses auch fili' den Belüftungszus-tand zu vermuten und fili' eine erste orientierende

Rechnung das Feld

4'

bzw dessen Ableitungen in Gl.(88) zu vernach= läsàigen; eine Berechtigung für ein solches Vorgehen mag auch iñ den wegen der durchgeführten Linearisierungen ohnehin in der vor= liegenden Theorie enthalteñen Vernachlässigungen gesehen werden. Damit können wir das durch die Belüftung bedingte aus G.l.(88) zu berechnende Zusatzpotential in einér (61) entsprechenden. Form

7 00

-(o) _(c'f) (os)

(89)

e.

)[''

(/4)(d))P

_A (,frL)4444)P]01,k

ansetzen, mit Funktionen in Anlehnung an Formel (70). In Gl.(88) jet ferner

4,°'=

_tV°'.

Anders als beim Tragflügel ist es aber nicht mehr möglich, die Ab= hängigkeit von der Winkelkoordinate des bèlüfteten Spitzenwirbels

einfach abzuspalten. Denn da der belüftete. Bereich durch die in Formel (85) zusammengestellten Relationen gegeben ist, tritt % so= wohl im Argument der Besselfunktionen als auch in dem. der reelleli

und imaginären Exponentialfunktionen von l.(89) auf.

Es bleibt daher nichts anderes übrig, als die BelEiftungsbedïngung (88) nach der Nethode des kleinsten Fehlerquad.rates sowohl im Be=

reich OX2r,-ais auch für

zu approximieren, um auf diese

Wéise die Koeffizienten zu ermitteln. (Aufpunkte 9..j. , ). Will man andererseits die vom gespiegelten Propeller induzierten Terme und damit die 0-Abhängigkeit in l.(88) beibehalten, so

buss

der Ansatz (ä9) entsprechend erweitert werden. Da das Problem in periodisch mit nr ist, erscheint es zweckmässig, P(P;,)bezüglich v', in einer Fourierreihe darzustellen.

-34-Urn durch Koeffizientenvergleich in (pulid 'v'i die p-Abhängig

keit in G.l.(88) abzuspalten, wird man ach fUr die vorn geeplégelten Propeller. induzierten Geschwindigkeitekomponenten mittels harmoni= seher Analyse eine Fourier-Reihe in p zu gewinnen suchen; deren Koeffizienten ergeben sich als Furfictionen der beiden Ortsvariablen

.9- und. . Dabei ist es fUr die w itere Rechnung nUtzlich,. diese

Pourierkoeffizienten gleich an denjenigen Aufpurikten 9% zu be= stimmen, welche nachfolgend, fir die. Approximation im ,9--X-Bereich.

nachdem Fehlerquadratverfahren zugrunde gelegt werden sollen.

Zusammenfassung

Ein fUr die Belüftung vön Trag±'lUgeln und Propeilern bedeutsamer Vorgang ist die von der Wasseroberfläòhe aus erfolgende. Luftansau= gung in die Unterdruckgebiete des Kernbereichs freier Spitzenwir= bel. In der .voxgelegten Untersuchung wird. dieses Problem zunächst am einfachsten Modell des Tragflugels unter Vernachlassigung der

Wirkung der Schwerkraft behan.del.t und. anschliessend dér Einfluss

der Belüftung auf die Auftriebsverteilung des Plügèls analysiert. Durch Herausheben der physikalisch wesèntlichsten Strömungsvorgnge im belüftéten Bereich Ist es möglich, die Duckbedingung zu line= arisieren. Eine Anwendung der Methode auf den komplizierteren Fall des Propellerflugels wird abschliessend diskutiert.

Summary.

,.

An important problem for ventilation of hydrofoils and. propellers is the air-suction from the free water. surface into regions of low pressure especially the cores of free tip-vortibes. In the pàper presented here this problem is treated for the simple case of a hydrofoil neglecting gravity effects. The influence o± ventilation on the lift-distribution is. also discussed. The pressure-condition in the ventilated region can be liñearised taking into aöcount. only important first orderphysical effects. An extension of this method to the more complicated case of a ventilated propeller tip-vortex is possible.