Elementy ci¡gów, szeregów, granic i ci¡gªo±ci funkcji

Elementy ci¡gów, szeregów, granic i ci¡gªo±ci funkcji

Informacje pomocnicze

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞ = 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞

1. Ci¡gi liczbowe

Twierdzenie(o arytmetyce granic ci¡gów)

Dla ci¡gów (an), (b_n)zbie»nych lub rozbie»nych do ∞ lub −∞ zachodz¡:

a) lim

n→∞(a_n± b_n) = lim

n→∞a_n± lim

n→∞b_n; b) lim

n→∞(a_n· b_n) = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n; c) lim

n→∞

an

bn = ^n→∞lim_lim ^an

n→∞bn, je±li lim

n→∞b_n 6= 0;

d) lim

n→∞(a_n)^p =

n→∞lim a_np

, p ∈ Z \ {0};

f ) lim

n→∞

√k

a_n= q^k

n→∞lim a_n, k ∈ N \ {1};

o ile powy»sze dziaªania s¡ wykonywalne w zbiorze liczb rzeczywistych.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n^α = 0, α > 0 c) lim

n→∞n^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞aⁿ = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ = 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 l) lim

n→∞aⁿ = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 + _n¹)ⁿ= e n) lim

n→∞(1 −_n¹)ⁿ= e⁻¹ o) lim

n→∞(1 + ^a_n)ⁿ = e^a p) lim

n→∞(1 + _a¹

n)^an = e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu:

an+1− an an+1

an monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy

2. Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu:

Je±li szereg P^∞

n=1

a_n jest zbie»ny to lim

n→∞a_n= 0. Krterium porównawcze:

Niech 0 ≤ an≤ b_n dla ka»dego n > n0, gdzie n0 ∈ N. Je±li:

a) zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

b_n to zbie»ny jest szereg P^∞

n=1

a_n;

b) P^∞

n=1

an = ∞to P^∞

n=1

bn= ∞.

Krterium d'Alamberta:

Niech an ≥ 0dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

an+1

an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li:

a) g ∈ [0, 1) to szeregP^∞

n=1

a_n jest zbie»ny;

b) g ∈ (1, ∞] to szereg P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny.

Krterium Cauchy'ego

Niech an ≥ 0dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

√n

a_n∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas je±li:

a) g ∈ [0, 1) to szeregP^∞

n=1

a_n jest zbie»ny.

b) g ∈ (1, ∞] to szereg P^∞

n=1

a_n jest rozbie»ny.

Uwaga: Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze ni» kryterium d'Alemberta  je±li szereg speªnia wa- runek kryterium d'Alemberta, to speªnia warunek Cauchy'ego.

Szereg harmoniczny:

Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci P^∞

n=1 1

n^α. Szereg ten jest zbie»ny dla α > 1, a rozbie»ny dla α < 1.

Funkcje

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• rosn¡c¡, gdy

∀_x1,x2∈D_fx₁ < x₂ =⇒ f (x₁) < f (x₂);

• niemalej¡c¡, gdy

∀_x1,x2∈D_fx₁ < x₂ =⇒ f (x₁) ≤ f (x₂);

• malej¡c¡, gdy

∀_x1,x2∈D_fx1 < x₂ =⇒ f (x₁) > f (x₂);

• nierosn¡c¡, gdy

∀_x1,x2∈D_fx₁ < x₂ =⇒ f (x₁) ≥ f (x₂);

• staª¡, gdy

∀x1,x2∈D_ff (x1) = f (x2).

Funkcj¦ nazywamy przedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w po- staci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.

Denicja(okresowo±¢)

Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).

Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamyokresemtej funkcji. Naj- mniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jejokresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);

• nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);

Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.

Uwaga. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»- niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, α > 0 b) lim

x→0 tan x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a^x−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log_a(1+x)

x = log_ae, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a_x
x

= e^a, a ∈ R f ) lim

x→0(1 + x)^x1 = e g) lim

x→0

(1+x)^a−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctan x

x = 1 Twierdzenie.(warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)

Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy:

lim

x→x⁻₀

f (x) = lim

x→x⁺₀

f (x) = f (x0).

Rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji Denicja.(nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:

a) skok, gdy: lim

x→x⁻₀

f (x) 6= lim

x→x⁺₀

f (x), b) luka, gdy: lim

x→x⁻₀

f (x) = lim

x→x⁺₀

f (x) 6= f (x₀).

Denicja.(nieci¡gªo±¢ II rodzaju)

Funkcja f posiada w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim

x→x⁻₀

f (x), lim

x→x⁺₀

f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.

Zadania

1. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach ogólnych:

(a) a_n= _2n+1ⁿ (b) b_n= ⁿ²_n!⁺¹ (c) d_n = n²+ 3n (d) f_n= ₁₀^n!n (e) h_n = ⁿ₂n²

2. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):

(a) a_n= n²+ 5n − 6 (b) b_n = −n²− 3n + 5 (c) c_n = 1 +_2n+3¹ (d) d_n= ⁵ⁿ_n²2⁺³ⁿ−2 (e) e_n= ⁿ_n²3⁻³ⁿ+4 (f ) f_n = ²ⁿ⁴_n⁺³ⁿ3−4²⁻¹

(g) g_n= (2n+3)(1−7n)^{(1−2n)3 2} (h) h_n = ⁵⁻³ⁿ_1−2n
2

(i) i_n = (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2)

(j) m_n=√

n² − 2n − n (k) n_n =√³

n³ + 3n² − n (l) o_n =√

n²+ n + 1 −√

n²− n + 1 (m) p_n = ⁶₅ⁿn⁻⁴+3ⁿⁿ (n) q_n= ^3·2_8·4²ⁿn+5⁻⁵ (o) r_n = ³₉ⁿ⁺²n+5^{−2·7n−1n}

3. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:

(a) lim

n→∞

2n+3 2n+1

n+1

(b) lim

n→∞

n²+2 n²+1

n²

(c) lim

n→∞

3n²+3 3n²+1

3n−1

(d) lim

n→∞

n³+5 n³−2

6n²+3n

. 4. Zbada¢ czy podane szeregi speªniaj¡ warunek konieczny zbie»no±ci szeregów:

(a)

∞

P

n=1

(−2)ⁿ (b)

∞

P

n=1 n²

n³−1 (c)

∞

P

n=1 n n+2

n

(d)

∞

P

n=1 3 5

n

(e)

∞

P

n=1 5ⁿ+2 2³ⁿ−1

5. Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów korzystaj¡c z:

• kryterium porównawczego (a)

∞

P

n=1 n

n³+1 (b)

∞

P

n=1 5n+1

n²+3, (c)

∞

P

n=1

√ 1

n(n+1) (d)

∞

P

n=1

√ 1 n(n²+n)

• kryterium Cauchy'ego (a)

∞

P

n=1 n³

2ⁿ (b)

∞

P

n=1 1

n 1 + ¹_n
n²

(c)

∞

P

n=1 n 2n+1

n

(d)

∞

P

n=1

n ³₅
n

(e)

∞

P

n=1 n+4 n+3

n²

• kryterium d'Alamberta (a)

∞

P

n=1 50ⁿ

n! (b)

∞

P

n=1 3ⁿ

2ⁿ(2n+1) (c)

∞

P

n=1 n²ⁿ

(2n)! (d)

∞

P

n=1 5 2

3n+4

6. Okre±l zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ f, g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f dla:

(a) f(x) = 2 + x, g(x) = x²+ 1 (b) f(x) =√

x + 1 g(x) = x − 3 (d) f(x) = √

1 − 2x, g(x) = x² 7. Znale¹¢ funkcje f1i f2 (ewentualnie f3) takie, »e g = f1◦ f₂,(ewentualnie g = f1◦ f₂◦ f₃) je±li:

(a) g(x) = tg²x, (b) g(x) = tg x², (c) g(x) = e^{cos x}, (d) g(x) = ln tg e^x, (e) g(x) = (arcsin 4x)⁶, (f) g(x) = arccos√⁵

4^x− 1.

8. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

(a) f(x) = −3x³+ 2x⁴tg x, (b) f(x) = 7x²− 4x³, (c) f(x) = sin x − x²cos x, (d) f(x) = −3^x+ 3^−x, (e) f(x) = ^2x−1_x−2 (f) f(x) = 5 log4(3^−x) 9. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):

(a) lim

x→∞

2x−5

3x−4 (b) lim

x→−∞

4x+1

x²−x+1 (c) lim

x→∞

x³−8x x²−4

(d) lim

x→2 x³−8

x²−4 (e) lim

x→−2

x²−4x−5

x²−5x (f ) lim

x→1

x⁴−3x+2 x⁵−4x+3

(g) lim

x→2

x³−3x−2

x−2 (h) lim

x→−1

(x²+3x+2)²

x³+2x²−x−2 (i) lim

x→1

x²−2x+1 2x²−x−1

(j) lim

x→3

x³+x²−12x

x³−7x−6 (k) lim

x→3

x³+x²−12x

(x−3)² (l) lim

x→∞(√

4x²+ x −√

4x²+ 1)

10. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:

a) b) c)

d) e) f)

11. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

(a) lim

x→1 x+1

x−1 (b) lim

x→0 sin x

|x| (c) lim

x→1

|x−1|³

x³−x² (f ) lim

x→1arctg_1−x¹ (e) lim

x→45^4−x1 12. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :

a) b) c)

d) e) f)

13. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:

(a) f (x) =







2^x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2

(b) f (x) =

( x²−3x

|x−3| dla x 6= 3

3 dla x = 3

(c) f (x) =

 ^√_1+x−1

x dla x 6= 0

0 dla x = 0 (d) f(x) =

 _{sin x}

x ; dla x 6= 0 1; dla x = 0