(1)Równanie zupeªne, czynnik caªkuj¡cy Denicja 1

Równanie zupeªne, czynnik caªkuj¡cy

Denicja 1. Równaniem ró»niczkowym zupeªnym nazywamy równanie postaci:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1)

którego lewa strona jest ró»niczk¡ zupeªn¡ pewnej funkcji dwóch zmiennych F (x, y) okre±lonej w obszarze D (funkcje P (x, y), Q(x, y) s¡ okre±lone i ci¡gªe w D). Caªka ogólna równania (1) ma posta¢:

F (x, y) = c, (2)

gdzie c jest dowoln¡ staª¡.

Na podstawie denicji zachodz¡ nast¦puj¡ce zwi¡zki:

∂F

∂x = P (x, y), ∂F

∂z = Q(x, y).

Twierdzenie 1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby przy zaªo»eniach ci¡gªo±ci funkcji P (x, y), Q(x, y), ^∂P_∂y, ^∂Q_∂x w obszarze jednospójnym D wyra»enie P (x, y)dx + Q(x, y)dy byªo ró»niczk¡ zupeªn¡, jest warunek:

∂P

∂y = ∂Q

∂x. (3)

Zaprezentuj¦ teraz sposób szukania rozwi¡zania. Najpierw korzysta si¦ albo z warunku^{∂F (x,y)}_∂x = P (x, y) albo z ^{∂F (x,y)}_∂y = Q(x, y). Skorzystajmy z pierwszego. Caªkuj¡c to równanie od x0 do x:

x

Z

x0

∂F (ξ, y)

∂ξ dξ =

x

Z

x0

P (ξ, y)dξ

st¡d

F (x, y) − F (x₀, y) =

x

Z

x0

P (ξ, y)dξ. (4)

Ró»niczkuj¡c po y i korzystaj¡c z ^{F (x,y)}_∂y = Q(x, y) oraz ^∂P_∂y = ^∂Q_∂x mamy

Q(x, y) = F_y⁰(x₀, y) +

x

Z

x0

∂Q(ξ, y)

∂ξ dξ, wi¦c

Q(x, y) = F_y⁰(x0, y) + Q(x, y) − Q(x0, y), ⇒ F (x0, y) =

y

Z

y0

Q(x0, η)dη.

Wstawiaj¡c powy»sz¡ posta¢ F (x0, y) do (4) otrzymujemy rozwi¡zanie postaci:

F (x, y) =

x

Z

x0

P (ξ, y)dξ +

y

Z

y0

Q(x₀, η)dη.

Zaªó»my teraz, »e równanie

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (5)

nie jest zupeªne tzn. nie jest speªniony warunek (3), a funkcje P (x, y), Q(x, y) ∈ C¹(D).

Denicja 2. Funkcj¦ µ(x, y) ∈ C¹(D)ró»n¡ od zera nazywamyczynnikiem caªkuj¡cymrównania (5), je»eli równanie to po obustronnym przemno»eniu przez µ(x, y) :

µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (6) jest równaniem ró»niczkowym zupeªnym. Oznacza to, »e speªniony jest warunek:

∂(µ · P )

∂y = ∂(µ · Q)

∂x . (7)

Równanie (7) mo»na zapisa¢ w postaci:

∂µ

∂yP + ∂P

∂yµ = ∂µ

∂xQ + ∂Q

∂xµ ⇔ ∂µ

∂yP −∂µ

∂xQ = µ ∂Q

∂x −∂P

∂y.



(8) Znalezienie czynnika caªkuj¡cego nie jest w przypadku ogólnym rzecz¡ ªatw¡. Wybrane przy- padki, dla których mo»na w prosty sposób wyznaczy¢ µ(x, y) :

Przypadek 1. Je»eli P (x, y), Q(x, y) ∈ C¹(D), Q(x, y) 6= 0 oraz wyra»enie:

∂P

∂y − ^∂Q_∂x

Q(x, y) (9)

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej x, to istnieje czynnik caªkuj¡cy równania (5). Czynnik ten równie» zale»y tylko do zmiennej x i zadany jest równo±ci¡

µ(x) = e

R

∂P

∂y−∂Q

∂x Q(x,y) dx

. (10)

Dowód. Z równania (8) wynika, »e je»eli zachodzi warunek (9) to µ(x, y) = µ(x). Wówczas

∂µ

∂x = dµ

dx oraz ∂µ

∂y = 0.

Zatem z równania (8) mamy:

1 µ

dµ dx = 1

Q

 ∂P

∂y −∂Q

∂x

 .

St¡d, poniewa» prawa i lewa strona zale»y tylko o zmiennej x, mamy Z dµ

µ = Z 1

Q

 ∂P

∂y − ∂Q

∂x



dx ⇒ ln |µ| = Z 1

Q

 ∂P

∂y −∂Q

∂x



dx + ln |C|, a zatem czynnik caªuj¡cy µ z dokªadno±ci¡ do staªej jest postaci:

µ(x) = e

R

∂P

∂y−∂Q

∂x Q(x,y) dx

.

Przypadek 2. Je»eli P (x, y), Q(x, y) ∈ C¹(D), P (x, y) 6= 0 oraz wyra»enie:

∂Q

∂x − ^∂P_∂y

P (x, y) (11)

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej y, to istnieje czynnik caªkuj¡cy równania (6). Czynnik ten równie» zale»y tylko do zmiennej y i zadany jest równo±ci¡

µ(y) = e

R

∂Q

∂x− ∂P

∂y P (x,y) dy

. (12)

Dowód. Tym razem z (8) mamy, »e je»eli zachodzi warunek (11) to µ(x, y) = µ(y). Wtedy

∂µ

∂y = dµ

dy oraz ∂µ

∂x = 0.

Na tej podstawie z równania (8) mamy:

1 µ

dµ dy = 1

P

 ∂Q

∂x −∂P

∂y

 . A poniewa» zarówno prawa jak i lewa strona zale»y od y, mamy

Z dµ µ =

Z 1 P

 ∂Q

∂x − ∂P

∂y



dy ⇒ ln |µ| = Z 1

P

 ∂Q

∂x −∂P

∂y



dy + ln |C|, a zatem czynnik caªuj¡cy µ z dokªadno±ci¡ do staªej jest postaci:

µ(y) = e

R

∂Q

∂x− ∂P

∂y P (x,y) dx

.

Przypadek 3. Je»eli P (x, y), Q(x, y) ∈ C¹(D), xP (x, y) − yQ(x, y) 6= 0 oraz wyra»enie:

∂Q

∂x − ^∂P_∂y xP (x, y) − yQ(x, y)

jest funkcj¡ iloczynu xy, to istnieje czynnik caªkuj¡cy równania (6). Czynnik ten zale»y iloczynu xy i zadany jest równo±ci¡

µ(u) = e

R

∂Q

∂x− ∂P

∂y xP (x,y)−yQ(x,y)du

, (13)

gdzie u = xy.

Dowód. Niech czynnik caªkuj¡cy b¦dzie funkcja iloczynu xy. Poka»emy, »e wyra»a si¦ on wówczas wzorem (13). Oznaczmy µ(x, y) = η(u), gdzie u = xy. Wówczas:

∂µ

∂x = ∂µ

∂u

∂u

∂x = dη

duy oraz ∂µ

∂y = ∂µ

∂u

∂u

∂y = dη dux.

Wówczas z (8) mamy

xdη

duP − ydη

duQ = η ∂Q

∂x − ∂Q

∂y



⇔ dη

η =

∂Q

∂x − ^∂P_∂y xP − yQdu.

Skoro lewa strona zale»y od iloczynu xy = u i prawa jest funkcja xy to caªkuj¡c mamy:

Z dη η =

Z ^∂Q

∂x − ^∂P_∂y

xP − yQdu ⇒ ln |η| = Z ^∂Q

∂x − ^∂P_∂y

xP − yQdu + ln |C|, C 6= 0.

Wtedy czynnik caªkuj¡cy z dokªadno±ci¡ do niezerowej staªej ma posta¢:

η(u) = e

R

∂Q

∂x− ∂P

∂y xP −yQ du

Przypadek 4. Niech równanie ró»niczkowe

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (14)

które nie jest równaniem zupeªnym, mo»na przedstawi¢ w postaci

[P₁(x, y)dx + Q₁(x, y)dy] + [P₂(x, y)dx + Q₂(x, y)dy] = 0.

Ponadto niech µ1 b¦dzie czynnikiem caªkuj¡cym, a F1(x, y)rozwi¡zaniem równania

P₁(x, y)dx + Q₁(x, y)dy = 0 (15)

oraz µ2 b¦dzie czynnikiem caªkuj¡cym, a F2(x, y) rozwi¡zaniem równania

P₂(x, y)dx + Q₂(x, y)dy = 0. (16)

Wówczas je»eli istniej¡ funkcje Φ oraz Ψ takie, »e

µ₁Φ(F₁) = µ₂Φ(F₂), to czynnik caªkuj¡cy równania (14) jest postaci:

µ(x, y) = µ₁Φ(F₁) = µ₂Φ(F₂) Przykªad 1. Rozwi¡» równanie:

(3x² + y²)dx + 2y(x − 1)dy = 0. (17) Rozwi¡zanie: Najpierw z warunku koniecznego i dostatecznego ^∂P_∂y = ^∂Q_∂x sprawdzamy, czy dane równanie jest zupeªne (jest ró»niczk¡ zupeªn¡ pewnej funkcji):

∂P

∂y = 2y, ∂Q

∂x = 2y.

Zatem warunek ten jest speªniony w dowolnym obszarze jednospójnym np. na pªaszczy¹nie, a wi¦c istniej taka funkcja F (x, y), »e:

∂F

∂x = 3x²+ y² oraz ∂F

∂y = 2y(x − 1). (18)

Wyznaczmy F (x, y). Aby to zrobi¢ nale»y np. pierwsze równanie tzn. ^∂F_∂x = 3x² + y² zcaªkowa¢

wzgl¦dem x zakªadaj¡c, »e y jest staª¡ (pami¦taj¡c przy tym, »e staªa b¦dzie zale»e¢ od zmiennej y):

F (x, y) = Z

(3x²+ y²)dx = x³+ xy²+ φ(y). (19) Funkcj¦ φ(y) wyznaczamy korzystaj¡c z drugiego równania (18). W tym celu ró»niczkujemy funkcj¦

F (x, y)z (19) po zmiennej y:

∂F

∂y = 2xy + φ⁰(y).

St¡d porównuj¡c z drugim równaniem ^∂F_∂y = 2y(x − 1) mamy

φ⁰(y) = −2y =⇒ φ(y) = −y². (20)

Podstawiaj¡c (20) do (19) dostajemy:

F (x, y) = x³+ xy²− y²

Ostatecznie zatem na podstawie (2) caªka ogólna równania (17) ma posta¢:

x³+ xy²− y² = c, gdzie c to dowolna staªa.

Przykªad 2. Rozwi¡» równanie:

y²(x − 3y)dx + (1 − 3xy²)dy = 0. (21) Rozwi¡zanie: Sprawdzamy, czy równanie (21) jest zupeªne. Liczymy:

∂P

∂y = 2xy − 9y² ∂Q

∂x = −3y². Zatem, poniewa» nie jest speªniony warunek konieczny:

∂P

∂y 6= ∂Q

∂x równanie to nie jest zupeªne.

Sprawd¹my, czy istnieje czynnik caªkuj¡cy. Sprawdzamy, czy zachodzi przypadek 1:

∂P

∂y − ^∂Q_∂x

Q(x, y) = 2xy − 9y²+ 3y²

1 − 3xy² = 2xy − 6y² 1 − 3xy² ,

poniewa» funkcja po prawej stronie powy»szego wyra»enia nie zale»y od x (nie s¡ mo»liwe takie operacje aby to wykaza¢), zatem przypadek 1 nie zachodzi. Badamy, czy speªniony jest przypadek

2: ∂Q

∂x − ^∂P_∂y

P (x, y) = −3y²− 2xy + 9y²

y²(x − 3y) = 6y²− 2xy

y²(x − 3y) = −2(xy − 3y²) y(xy − 3y²) = −2

y ,

tutaj wyra»enie po prawej stronie zale»y tylko od zmiennej y. Zatem czynnika caªkuj¡cego b¦dziemy szuka¢ z (12):

µ(y) = exp

Z −2 y dy



= exp (−2 ln |y|) = 1 y².

Nast¦pnie, gdy ju» mamy czynnik caªkuj¡cy, to mno»ymy rozwa»ane równanie (21) przez ten czynnik i wyznaczamy caªk¦ ogóln¡ tak otrzymanego równania ró»niczkowego zupeªnego. Caªka ta jest równie» szukanym rozwi¡zaniem ogólnym równania (21).

Mno»ymy (21 ) przez µ(y) = _y¹² otrzymuj¡c:

(x − 3y)dx + 1 y² − 3x



dy = 0.

W tym miejscu dobrze jest sprawdzi¢ czy w ten sposób otrzymane równanie jest zupeªne (jest to punkt kontrolny, który pozwala stwierdzi¢, czy czynnik caªkuj¡cy zostaª wyznaczony prawidªowo):

∂(µP )

∂y = −3, ∂(µQ)

∂x = −3.

Zatem równanie jest zupeªne, a wi¦c istniej taka funkcja F (x, y), »e:

∂F

∂x = x − 3y oraz ∂F

∂y = 1

y² − 3x. (22)

Wyznaczamy funkcj¦ F (x, y), w tym celu teraz (odwrotnie ni» w poprzednim przykªadzie) naj- pierw zcaªkujmy wzgl¦dem y drugie równanie (22) ^∂F_∂y = _y¹2 − 3x zakªadaj¡c, »e x jest staª¡ (oraz pami¦taj¡c, »e staªa b¦dzie zale»e¢ od zmiennej x):

F (x, y) =

Z  1 y² − 3x



dy = −1

y − 3xy + φ(x). (23)

Funkcj¦ φ(x) wyznaczamy korzystaj¡c z pierwszego równania (22). W tym celu ró»niczkujemy funkcj¦ F (x, y) z (23) po zmiennej x:

∂F

∂x = −3y + φ⁰(x).

St¡d porównuj¡c z pierwszym równaniem ^∂F_∂x = x − 3y mamy φ⁰(x) = x =⇒ φ(x) = 1

2x². (24)

Podstawiaj¡c (24) do (23) dostajemy:

F (x, y) = −1

y − 2xy + 1 2x². Ostatecznie caªka ogólna równania (21) ma posta¢:

−1

y − 2xy +1

2x² = c, gdzie c jest dowoln¡ staª¡.

Przykªad 3. Rozwi¡» równanie:

(x²y³ + y)dx + (x³y²− x)dy = 0. (25) Rozwi¡zanie: Sprawdzamy, czy równanie (25) jest zupeªne. Liczymy:

∂P

∂y = 3x²y²+ 1 ∂Q

∂x = 3x²y²− 1.

Zatem, równanie to nie jest zupeªne.

Sprawd¹my, istnieje czynnik caªkuj¡cego. Sprawdzamy, czy zachodzi przypadek 1:

∂P

∂y − ^∂Q_∂x

Q(x, y) = 2 x³y²− x,

poniewa» funkcja po prawej stronie powy»szego wyra»enia nie zale»y od x, zatem przypadek 1 nie zachodzi. Badamy, czy otrzymamy przypadek 2:

∂Q

∂x − ^∂P_∂y

P (x, y) = −2 x²y³+ y,

tutaj wyra»enie po prawej stronie równie» nie zale»y tylko od zmiennej y. Sprawdzamy przypadek

3 _∂Q

∂x − ^∂P_∂y

xP (x, y) + yQ(x, y) = −2 2xy,

wi¦c warunek z przypadku 3 jest speªniony Zatem czynnika caªkuj¡cego b¦dziemy szuka¢ w postaci (13):

µ(u) = exp

Z −1 u du



= exp (− ln |u|) = 1

u, gdzie u = xy,

wi¦c µ(x, y) = _xy¹ . Teraz mno»ymy równanie (25) przez ten czynnik i wyznaczamy caªk¦ ogóln¡

tak otrzymanego równania ró»niczkowego zupeªnego:



xy²+ 1 x

 dx +



x²y − 1 y



dy = 0. (26)

Czy tak otrzymane równanie jest zupeªne?

∂(µP )

∂y = 2xy, ∂(µQ)

∂x = 2xy.

Zatem równanie jest zupeªne, a wi¦c istniej taka funkcja F (x, y), »e:

∂F

∂x = x − 3y oraz ∂F

∂y = 1

y² − 3x.

Wyznaczamy funkcj¦ F (x, y), metod¡ "uzupeªniania do ró»niczki zupeªnej. Równanie (26) mo»na zapisa¢ w postaci:

d(ln x − ln y) + xy²dx + x²ydy = 0 dalej

d



ln x − ln y + 1 2x²y²



= 0, wi¦c rozwi¡zanie równania (25) jest postaci:

ln x − ln y + 1

2x²y² = C.

Przykªad 4. Rozwi¡» równanie:

y x + 3x²

 dx +

 1 + x³

y



dy = 0. (27)

Rozwi¡zanie: Sprawdzamy, czy równanie (27) jest zupeªne. Liczymy:

∂P

∂y = 1 x

∂Q

∂x = 3x² y . Zatem, równanie to nie jest zupeªne.

Prosz¦ sprawdzi¢ samodzielnie, »e »aden z przypadków 1-3 nie b¦dzie miaª miejsca dla tego równania. Poka»emy natomiast, »e czynnik caªkuj¡cy wyznaczymy za pomoc¡ czwartego sposobu.

Przeksztaª¢my najpierw równanie (27) do postaci

y

xdx + dy +



3x²dx +x³ y dy



= 0

osobno rozwa»my równanie ^y_xdx + dy = 0i znajd¹my dla niego µ1 oraz F1(x, y),a osobno równanie 3x²dx +^x_y³dy = 0 i wyznaczmy µ2 i F2(x, y) = 0. Dla równania

y

xdx + dy = 0

czynnik caªkuj¡cy b¦dzie zale»aª tylko od x i b¦dzie miaª posta¢ µ1 = x. Faktycznie, mno»¡c to równanie przez x :

ydx + xdy = 0 otrzymali±my równanie zupeªne: ^∂P_∂y ≡ ^∂Q_∂x ≡ 1.Poniewa»

ydx + xdy = 0 ⇔ d(xy) = 0, wi¦c F1(x, y) = xy.

Teraz rozwa»my równanie

3x²dx + x³

y dy = 0.

Tym razem czynnik caªkuj¡cy b¦dzie zale»aª tylko od zmiennej y (prosz¦ sprawdzi¢ samodzielnie) i b¦dzie miaª posta¢ µ2 = y. Rzeczywi±cie, mno»¡c rozpatrywane równanie przez y mamy:

3x²ydx + x³dy = 0.

Jest to równanie zupeªne, gdy» ^∂P_∂y ≡ ^∂Q_∂x ≡ 3x². Z fakty, »e

3x²ydx + x³dy = 0 ⇔ d(x³y) = 0,

wynika, »e F2(x, y) = x³y. Teraz musimy znale¹¢ (wskaza¢) takie funkcje Φ oraz Ψ takie, »e µ₁Φ(F₁) = µ₂Φ(F₂).

Niestety nie ma tutaj gotowego algorytmu. Jednak»e w tym prostym przypadku nie jest to trudne.

Je»eli Φ(t) = t² oraz Ψ(t) = t, wówczas

µ₁Φ(F₁) =x · (xy)² = x³y²

µ₂Φ(F₂) =y(x²y) = x³y², (28) a wi¦c czynnik caªkuj¡cy równania (27) ma form¦:

µ(x, y) = µ₁Φ(F₁) = µ₂Φ(F₂) = x³y². Mno»¡c równanie (27) przez x³y² dostajemy

(x²y³+ 3x⁵y²)dx + (x³y²+ x⁶y)dy = 0.

Tutaj te» ªatwo, mo»emy wskaza¢ rozwi¡zanie

(x²y³ + 3x⁵y²)dx + (x³y²+ x⁶y)dy = 0 ⇔ d 1

3x³y³+1 2x⁶y²



= 0, wi¦c rozwi¡zanie jest postaci

1

3x³y³+ 1

2x⁶y² = C.