Niech dany be ‘dzie obszar G ⊂ Rn+1 i odwzorowanie cia ‘g le F = (f1

(1)

UK LADY R ´OWNA ´N

R ´O ˙ZNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

§7. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci

Gdy y = (y1, . . . , yn) ∈ Rⁿ, to |y| = maxⁿ_i=1|yi|. Punkt przestrzeni Rⁿ⁺¹ postaci (x, y1, . . . , yn) oznacza´c be‘dziemy kr´otko (x, y).

Niech dany be

‘dzie obszar G ⊂ Rⁿ⁺¹ i odwzorowanie cia

‘g le F = (f1, . . . , fn) : G → Rⁿ. Uk ladem normalnym równań ró˙zniczkowych pierwszego rze‘du nazywamy uk lad

y₁⁰ = f1(x, y1, . . . , yn), . . . . y_n⁰ = fn(x, y1, . . . , yn) lub kr´ocej

(1) y⁰ = F (x, y).

Rozwia

‘zaniem uk ladu (1) nazywamy ka˙zde odwzorowanie Φ = (ϕ₁, . . . , ϕ_n) okre-

´slone na przedziale I ⊂ R, r´o˙zniczkowalne na I i takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ I, (x, Φ(x)) ∈ G i Φ⁰(x) = F (x, Φ(x)).

Analogicznie jak w §1 wprowadzamy poje

‘cia: przed lu˙zenie rozwia

‘zania, przed lu-

˙zenie w la´sciwe, rozwia‘zanie integralne (globalne).

Warunki pocza

‘tkowe lub Cauchy’ego polegaja

‘teraz na tym, ˙ze dla dowolnego punktu (ξ, η) ∈ G, η = (η1, . . . , ηn) poszukujemy rozwia‘zania Φ : I → Rⁿ uk ladu (1) takiego, ˙ze

(2) Φ(ξ) = η.

Udowodnimy teraz lemat o sprowadzaniu rozwi¸azywania uk ladu równań (1) spe lniaj¸acego warunek (2) do poszukiwania rozwi¸azań uk ladu równań ca lkowych.

Lemat 1. Niech G ⊂ Rⁿ⁺¹, I ⊂ R b¸ed¸a odpowiednio obszarem, przedzia lem oraz F : G → Rⁿ i Φ : I → Rⁿ b¸ed¸a odwzorowaniami ci¸ag lymi. Na to, by odwzorowanie Φ by lo rozwi¸azaniem uk ladu (1) spe lniaj¸acym warunek (2) potrzeba i wystarcza, by spe lnia lo uk lad r´owna´n ca lkowych

(3) y(x) = η +

Z _x

ξ

F (t, y(t))dt.

D o w ó d. Za ló˙zmy, ˙ze Φ jest rozwi¸azaniem równania (1) spe lniaj¸acym (2).

W´owczas

Φ⁰(x) = F (x, Φ(x)) dla x ∈ I.

(2)

§7. TWIERDZENIA O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNO´SCI 27

St¸ad

Φ(x) − Φ(ξ) = Z _x

ξ

F (t, Φ(t))dt.

To po uwzgl¸ednieniu warunku (2) daje, ˙ze Φ spe lnia uk lad r´owna´n ca lkowych (3).

Odwrotnie, je´sli Φ spe lnia uk lad r´owna´n (3), to spe lnia oczywi´scie warunek (2) i Φ⁰(x) = F (x, Φ(x)) dla x ∈ I.

To ko´nczy dow´od.

Zanim przejdziemy do sformu lowania twierdzenia wprowadzimy jeszcze jedno okre´slenie. Niech T be‘dzie podzbiorem G. M´owimy, ˙ze odwzorowanie F spe lnia warunek Lipschitza na T ze wzgle

‘du na y, gdy istnieje sta la L > 0 taka, ˙ze dla dowolnych (x, y^∗), (x, y^∗∗) ∈ T mamy |F (x, y^∗) − F (x, y^∗∗)| ≤ L|y^∗ − y^∗∗|.

Niech T = {(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹ : |x − ξ| ≤ a, |y − η| ≤ b}, a, b > 0.

Twierdzenie 1 (Cauchy). Je´sli odwzorowanie F : G → Rⁿ jest cia

‘g le, T ⊂ G, F spe lnia warunek Lipschitza na T ze wzgle‘du na y, M = max(x,y)∈T |F (x, y)|

i δ = min(a, b/M ), to istnieje rozwia

‘zanie Φ : hξ − δ, ξ + δi → Rⁿ uk ladu (1) spe lniaja

‘ce (2) o wykresie le˙za

‘cym w T . Ponadto, rozwia

‘zanie to jest jednoznaczne w tym sensie, ˙ze je´sli eΦ : eI → Rⁿ jest rozwia‘zaniem uk ladu r´owna´n (1) o wykresie przebiegaj¸acym w T takim, ˙ze eΦ(ξ) = η, to Φ(x) = eΦ(x) dla x ∈ hξ − δ, ξ + δi ∩ eI.

D o w ´o d (pochodza

‘cy od Picarda) sk lada l sie

‘ be

‘dzie z kilku krok´ow.

1⁰ Na mocy lematu 1, zamiast poszukiwa´c rozwia

‘za´n uk ladu (1) spe lniaja

‘cych (2) mo˙zemy poszukiwa´c cia

‘g lych rozwia

‘zań uk ladu równań ca lkowych (3).

2⁰ Rozwa˙zmy w przedziale I = hξ − δ, ξ + δi cia‘g odwzorowa´n {Φk} okre´slony indukcyjnie:

(4) Φ0(x) = η dla x ∈ I

oraz dla k = 1, 2, . . .

(5) Φ_k(x) = η +

Z _x

ξ

F (t, Φ_k−1(t))dt dla x ∈ I.

Z (4) wynika, ˙ze Φ0 jest odwzorowaniem cia‘g lym i jego wykres przebiega w T . Za l´o˙zmy, ˙ze Φk−1 jest odwzorowaniem cia

‘g lym i ˙ze jego wykres przebiega w T . Sta‘d i z (5) dostajemy, ˙ze Φk jest odwzorowaniem cia‘g lym. Ponadto, dla x ∈ I mamy

(6) |Φk(x) − η| ≤

Z _x

ξ

|F (t, Φk−1(t))|dt

≤ M |x − ξ| ≤ M δ ≤ b,

czyli wykres Φk przebiega w T . Zatem na mocy indukcji wszystkie odwzorowania Φk sa

‘cia

‘g le i ich wykresy przebiegaja

‘w T .

(3)

3⁰ Poka˙zemy teraz, ˙ze cia

‘g {Φk} okre´slony w 2⁰ jest jednostajnie zbie˙zny na I.

Istotnie, mamy kolejno

|Φ₀(x)| = |η|,

|Φ1(x) − Φ0(x)| = |Φ1(x) − η| =

Z _x

ξ

F (t, Φ0(t))dt

≤

Z _x

ξ

|F (t, Φ0(t))|dt ≤

Z _x

ξ

M dt

= M |x − ξ|,

|Φ2(x) − Φ1(x)| =

Z _x

ξ

[F (t, Φ1(t)) − F (t, Φ0(t))]dt

≤

Z _x

ξ

|F (t, Φ₁(t)) − F (t, Φ₀(t))|dt

≤

Z _x

ξ

L|Φ1(t) − Φ0(t)|dt

≤ ML|x − ξ|² 2!

i dalej na drodze latwej indukcji

|Φ_k(x) − Φ_k−1(x)| ≤ ML^k−1|x − ξ|^k

k! , k = 1, 2, . . . Sta‘d dla x ∈ I mamy

|Φ_k(x) − Φ_k−1(x)| ≤ ML^k−1δ^k

k! , k = 1, 2, . . . Latwo sprawdzi´c stosuja

‘c kryterium d’Alemberta, ˙ze szereg

|η| + X∞ k=1

ML^k−1δ^k k!

jest zbie˙zny. Zatem na mocy kryterium Weierstrassa (dla szereg´ow odwzorowa´n) mamy jednostajna

‘zbie˙zno´s´c szeregu Φ0+

X∞ k=1

(Φk− Φk−1),

a wie‘c jednostajna‘ zbie˙zno´s´c cia‘gu {Φk} do pewnego odwzorowania cia‘g lego Φ : I → Rⁿ. Ponadto z (6) wynika, ˙ze wykres Φ przebiega ca lkowicie w T .

4⁰ Poka˙zemy teraz, ˙ze Φ spe lnia uk lad r´owna´n ca lkowych (3). Poniewa˙z F spe lnia warunek Lipschitza ze wzgle

‘du na y, wie

‘c z jednostajnej zbie˙zno´sci cia

‘gu {Φk} do Φ na I, wynika jednostajna zbie˙zno´s´c cia‘gu {F (x, Φk(x))} do F (x, Φ(x)) dla x ∈ I. Sta

‘d stosuja

‘c twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki otrzymujemy

Φ(x) = lim

k→∞Φk(x) = η + Z _x

ξ

k→∞lim F (t, Φk−1(t))dt

= η + Z _x

ξ

F (t, Φ(t))dt.

(4)

Zatem na mocy 1⁰ odwzorowanie Φ jest rozwia

‘zaniem uk ladu (1) spe lniaja

‘cym (2).

5⁰ Na zako´nczenie poka˙zemy jednoznaczno´s´c. We´zmy dowolne eΦ : eI → Rⁿ spe lniaja

‘ce uk lad r´owna´n (1), o wykresie przebiegaj¸acym w T , z warunkiem pocza

‘- tkowym (2), czyli w my´sl 1⁰ spe lniaja

‘ce uk lad r´owna´n ca lkowych (3). Zatem Φ(x) = η +e

Z _x

ξ

F (t, eΦ(t))dt, x ∈ eI.

Sta‘d dla x ∈ I ∩ eI mamy

| eΦ(x) − Φ₀(x)| =

Z _x

ξ

F (t, eΦ(t))dt

≤ M |x − ξ|

oraz

| eΦ(x) − Φ₁(x)| =

Z _x

ξ

[F (t, eΦ(t)) − F (t, Φ₀(t))]dt

≤ ML|x − ξ|² 2! . Droga

‘ latwej indukcji dla dowolnego k i x ∈ I ∩ eI otrzymujemy

| eΦ(x) − Φk(x)| ≤ ML^k|x − ξ|^k+1 (k + 1)! .

Sta‘d wynika, ˙ze eΦ jest granica‘cia‘gu {Φk} na I ∩ eI, czyli eΦ|I ∩ eI = Φ|I ∩ eI.

To ko´nczy dow´od twierdzenia.

Cia‘g {Φk} okre´slony w kroku 2⁰ powy˙zszego dowodu nosi nazwe‘ cia‘gu przybli˙ze´n kolejnych.

Z kroku 5⁰ powy˙zszego dowodu dostajemy natychmiast Wniosek 1. Dla dowolnego k ∈ N i x ∈ I mamy

|Φ(x) − Φ_k(x)| ≤ ML^k|x − ξ|^k+1 (k + 1)! .

Powy˙zsza nier´owno´s´c daje nam oszacowanie odchylenia k-tego przybli˙zenia od rozwia

‘zania uk ladu r´owna´n (1) spe lniaja

‘cego warunek pocza

‘tkowy (2).

Twierdzenie 1 nosi nazwe

‘ lokalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci.

Dalsze rozwa˙zania poprzedzimy jeszcze jednym okre´sleniem. M´owimy, ˙ze odwzo- rowanie F spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘du na y, gdy dla ka˙zdego (ξ, η) ∈ G istnieje takie otoczenie U tego punktu zawarte w G, ˙ze odwzorowanie F spe lnia warunek Lipschitza na U ze wzgle

‘du na y.

Jako latwe ´cwiczenie, pozostawiamy Czytelnikowi dow´od naste

‘puja

‘cej w lasno´sci.

W lasno´s´c 1. Je´sli wszystkie wsp´o lrze

‘dne odwzorowania F maja

‘ ograniczone po- chodne cza

‘stkowe wzgle

‘dem zmiennych y₁, . . . , y_n, to F spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘du na y.

Podamy teraz i udowodnimy integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´sci .

(5)

Twierdzenie 2. Je˙zeli odwzorowanie F : G → Rⁿ jest cia

‘g le i spe lnia lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle‘du na y, to przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘zanie integralne uk ladu r´owna´n (1), rozwia

‘zanie to jest okre´s- lone w przedziale otwartym.

D o w ´o d. Poka˙zemy najpierw, ˙ze je˙zeli Φ1 : I1 → Rⁿ, Φ2 : I2 → Rⁿ s¸a dwoma rozwi¸azaniami uk ladu (1) przechodz¸acymi przez punkt (ξ, η), i I = I₁∩ I₂, to Φ1|I = Φ2|I . Istotnie, niech Z = {x ∈ I : Φ1(x) = Φ2(x)}. Oczywi´scie ξ ∈ Z.

Poniewa˙z Φ1, Φ2 sa‘ odwzorowaniami cia‘g lymi, zbiór Z jest zbiorem domknie‘tym w I. Zbiór Z jest równie˙z otwarty w I. Istotnie, we´zmy dowolny punkt eξ ∈ Z.

Oczywi´scie Φ₁(eξ) = Φ₂(eξ). Niech eη = Φ₁(eξ) = Φ₂(eξ). Wówczas na mocy za lo˙zenia istnieje zbiór eT = {(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹ : |x − eξ| ≤ ea, |y − eη| ≤ eb}, w którym mo˙zna zastosować twierdzenie 1. Istnieje wi¸ec przedzia l otwarty eI o ´srodku w punkcie ξ, ee I ⊂ I i rozwi¸azanie Φ : eI → Rⁿ uk ladu równań (1) przechodz¸ace przez punkt (eξ, eη). Na mocy drugiej cz¸e´sci twierdzenia 1 rozwi¸azanie to jest jednoznaczne, czyli Φ1|eI = Φ2|eI = Φ. Zatem eI ⊂ Z i w konsekwencji Z jest zbiorem otwartym w I.

Poniewa˙z I jest przedzia lem, wie

‘c Z = I.

Rozwa˙zmy teraz rodzine

‘ J wszystkich przedzia l´ow I takich, ˙ze istnieje rozwia

‘- zanie Φ_I : I → Rⁿ uk ladu (1) przechodza

‘ce przez punkt (ξ, η). Z za lo˙zenia i twierdzenia 1 wynika, ˙ze rodzina J jest niepusta. Niech I0 oznacza sume

‘wszystkich przedzia l´ow rodziny J. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze I₀jest przedzia lem. Dla ka˙zdego x ∈ I₀ przyjmujemy

Φ₀(x) = Φ_I(x), je´sli x ∈ I, I ∈ J.

Odwzorowanie Φ₀ jest jednoznacznym integralnym rozwi¸azaniem uk ladu (1) spe l niaj¸acym warunek (2).

Na zako´nczenie poka˙zemy, ˙ze I₀ jest przedzia lem otwartym. Przypu´s´cmy przeci- wnie, ˙ze na przyk lad β = sup I0 ∈ I0. W´owczas (β, Φ0(β)) ∈ G i powtarzaj¸ac rozu- mowanie jak w pierwszej cz¸e´sci dla punktu

ξ, ee η

dostajemy, ˙ze istnieje przedzia l otwarty eI o ´srodku w punkcie β i rozwia‘zanie eΦ : eI → Rⁿ uk ladu (1) takie,

˙ze eΦ(β) = Φ₀(β). Podobnie jak na pocza

‘tku zauwa˙zamy, ˙ze eΦ(x) = Φ₀(x) dla x ∈ I0∩ eI. Odwzorowanie

Φ∗(x) =

Φ₀(x) dla x ∈ I₀, Φ(x)e dla x ∈ eI, jest rozwia

‘zaniem okre´slonym w przedziale I∗ = I0 ∪ eI, I0 * I∗ i Φ∗(ξ) = η. To przeczy okre´sleniu Φ₀.

Podamy jeszcze jedno integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´sci. Ponie- wa˙z dow´od tego twierdzenia be

‘dzie przebiega l podobnie do dowodu twierdzenia 1, podamy tylko jego szkic.

Twierdzenie 3. Niech G = {(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹ : a < x < b, y ∈ Rⁿ}. Je´sli F : G → Rⁿ jest odwzorowaniem cia

‘g lym i dla ka˙zdego domknie

‘tego przedzia lu I ⊂ (a, b) spe lnia ono warunek Lipschitza na I × Rⁿ ze wzgle

‘du na y, to przez ka˙zdy punkt G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘zanie integralne uk ladu (1) okre´slone w ca lym przedziale (a, b).

(6)

S z k i c d o w o d u. Niech (ξ, η) ∈ G be

‘dzie dowolnym punktem. Podobnie jak poprzednio zauwa˙zamy, ˙ze poszukiwanie rozwia‘zania Φ : (a, b) → Rⁿ uk ladu r´owna´n (1) spe lniaja

‘cego (2) sprowadza sie

‘ do poszukiwania cia

‘g lego rozwia

‘zania uk ladu r´owna´n ca lkowych (3).

Naste

‘pnie w przedziale (a, b) rozwa˙zamy cia

‘g odwzorowa´n {Φk} okre´slony indukcyjnie

Φ0(x) = η dla x ∈ (a, b) oraz dla k = 1, 2, . . .

Φ_k(x) = η + Z _x

ξ

F (t, Φ_k−1(t))dt dla x ∈ (a, b).

Oczywi´scie, wszystkie odwzorowania Φk sa‘cia‘g le i ich wykresy przebiegaja‘w G.

Niech teraz I ⊂ (a, b) be

‘dzie dowolnym przedzia lem domknie

‘tym zawiera- ja‘cym ξ. Poka˙zemy, ˙ze cia‘g {Φk} jest jednostajnie zbie˙zny na I. Niech M = sup_x∈I|F (x, η)|. Ponadto w my´sl za lo˙zenia istnieje sta la L > 0 taka, ˙ze dla dowol- nych (x, y^∗), (x, y^∗∗) ∈ I × Rⁿ mamy |F (x, y^∗) − F (x, y^∗∗)| ≤ L|y^∗ − y^∗∗|. Zatem dostajemy kolejno

|Φ0(x)| = |η|,

|Φ1(x) − Φ0(x)| ≤ M |x − ξ|,

|Φ2(x) − Φ1(x)| ≤ ML|x − ξ|² 2!

i dalej na drodze latwej indukcji

|Φk(x) − Φk−1(x)| ≤ ML^k−1|x − ξ|^k

k! , k = 1, 2, . . . Sta‘d otrzymujemy latwo, ˙ze cia

‘g {Φk} jest jednostajnie zbie˙zny na I.

Wobec dowolno´sci przedzia lu I ⊂ (a, b) dostajemy zbie˙zno´s´c cia

‘gu {Φ_k} na ca lym przedziale (a, b). Niech Φ be

‘dzie granica

‘{Φk} na (a, b). Poniewa˙z Φ jest cia

‘g la dla ka˙zdego I ⊂ (a, b), wie

‘c jest cia

‘g la na (a, b). Oczywi´scie wykres Φ przebiega w G.

Analogicznie jak w kroku 4⁰ dowodu twierdzenia 1 dla dowolnego I ⊂ (a, b) mamy Φ(x) = η +

Z _x

ξ

F (t, Φ(t))dt x ∈ I.

Wobec dowolno´sci I dostajemy, ˙ze Φ spe lnia w (a, b) uk lad r´owna´n ca lkowych (3).

Jednoznaczno´s´c wynika z twierdzenia 2, bowiem F spe lnia lokalnie warunek Lip- schitza ze wzgle

‘du na y.

To ko´nczy dow´od twierdzenia.

Cwiczenie´

1. Stosuj¸ac metod¸e kolejnych przybli˙zeń, znale´zć rozwi¸azania nast¸epuj¸acych równa´n przechodz¸acych przez zadany punkt (ξ, η):

a) y⁰ = 2xy − 2x³, (ξ, η) = (0, 0), b) y⁰ = 2xy, (ξ, η) = (0, 1),

c) y⁰ = _1−x¹ y, (ξ, η) = (0, 1), d) y⁰ = y − x + 1, (ξ, η) = (0, 1).

(7)

§8. Uk lady równań ró˙zniczkowych liniowych

Niech A = [a_kl]_1≤k,l≤n, b = [b_l]_1≤l≤n be

‘da

‘ odpowiednio cia

‘g lym polem macierzowym i cia

‘g lym polem wektorowym na przedziale (p, q) ⊂ R. Uk ladem r´owna´n r´o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze‘du nazywamy uk lad

y₁⁰ = a₁₁(x)y₁+ . . . + a_1n(x)y_n+ b₁(x), . . . . y_n⁰ = a_n1(x)y₁+ . . . + a_nn(x)y_n+ b_n(x) lub kr´ocej

(1) y⁰ = A(x)y + b(x).

Niech G = {(x, y) : p < x < q, y ∈ Rⁿ}.

Twierdzenie 1. Przez ka˙zdy punkt zbioru G przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘za- nie integralne uk ladu (1) okre´slone w przedziale (p, q).

D o w ´o d. Na mocy twierdzenia 7.3 wystarczy sprawdzi´c tylko, ˙ze prawa strona (1) dla ka˙zdego przedzia lu domknie‘tego I ⊂ (p, q) spe lnia warunek Lipschitza na I × Rⁿ ze wzgle

‘du na y.

Niech |A(x)| := max1≤k,l≤n|akl(x)|. Z cia

‘g lo´sci akl na I wynika, ˙ze istnieje sta la dodatnia L, ˙ze |A(x)| ≤ L/n dla x ∈ I. Sta

‘d dla dowolnych (x, y^∗), (x, y^∗∗) ∈ I ×Rⁿ mamy

|(A(x)y^∗+ b(x)) − (A(x)y^∗∗+ b(x))| = |A(x)(y^∗ − y^∗∗)|

≤ n|A(x)||y^∗− y^∗∗| ≤ L|y^∗ − y^∗∗|.

Wobec powy˙zszego twierdzenia ogranicza´c sie

‘ be

‘dziemy tylko do rozwia

‘za´n integralnych uk ladu (1).

Gdy b jest zerowym polem wektorowym na (p, q), to uk lad (1) ma posta´c y₁⁰ = a₁₁(x)y₁+ . . . + a_1n(x)y_n,

. . . . y_n⁰ = a_n1(x)y₁+ . . . + a_nn(x)y_n lub kr´ocej

(2) y⁰ = A(x)y.

Uk lad (2) nazywa´c be

‘dziemy jednorodnym uk ladem równań ró˙zniczkowych linio- wych pierwszego rze

‘du.

Niech V be

‘dzie og´o lem rozwia

‘za´n integralnych uk ladu (2).

(8)

§8. UK LADY R ´OWNA ´N R ´O ˙ZNICZKOWYCH LINIOWYCH 33

W lasno´s´c 1. Zbi´or V tworzy przestrze´n liniowa

‘ nad R.

D o w ´o d. Niech Φ1, Φ2 ∈ V i c1, c2 ∈ R. W´owczas

(c1Φ1+ c2Φ2)⁰ = c1Φ⁰₁+ c2Φ⁰₂ = c1AΦ1+ c2AΦ2

= A(c1Φ1) + A(c2Φ2) = A(c1Φ1+ c2Φ2),

czyli c1Φ1+ c2Φ2 ∈ V .

Niech Φ1, . . . , Φm ∈ V.

W lasno´s´c 2. Je´sli istnieje taki punkt ξ ∈ (p, q), ˙ze wektory Φ1(ξ), . . . , Φm(ξ) sa

‘ liniowo zale˙zne w Rⁿ, to Φ1, . . . , Φm sa

‘ liniowo zale˙zne w V . D o w ´o d. W my´sl za lo˙zenia istnieja

‘ sta le c₁, . . . , c_m ∈ R nie znikaja

‘ce jed- nocze´snie takie, ˙ze c1Φ1(ξ) + . . . + cmΦm(ξ) = 0. Na mocy w lasno´sci 1, Φ = c₁Φ₁+ . . . + c_mΦ_m jest rozwia

‘zaniem integralnym uk ladu (2) i Φ(ξ) = 0. R´ownie˙z odwzorowanie Φ0 okre´slone wzorem Φ0(x) = 0 dla x ∈ (p, q) jest integralnym rozwia‘zaniem (2) i Φ(ξ) = Φ₀(ξ). Zatem na mocy twierdzenia 1 mamy Φ = Φ₀, czyli

c1Φ1+ . . . + cmΦm= 0.

W lasno´s´c 3. Zachodzi r´owno´s´c dimRV = n.

D o w ´o d. Poka˙zemy najpierw, ˙ze dim_RV ≤ n. Przypu´s´cmy przeciwnie, ˙ze dimRV = m > n. Niech Φ1, . . . , Φm be

‘da

‘baza

‘V . W´owczas na mocy w lasno´sci 2 dla dowolnego ξ ∈ (p, q) wektory Φ1(ξ), . . . , Φm(ξ) sa‘liniowo niezale˙zne w Rⁿ. To jednak przeczy temu, ˙ze dimRRⁿ = n.

Poka˙zemy teraz, ˙ze dimRV ≥ n. Niech ξ be‘dzie ustalonym punktem przedzia lu (p, q) oraz η1, . . . , ηn baza

‘w przestrzeni Rⁿ. Na mocy twierdzenia 1 dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} istnieje rozwia‘zanie integralne Φi uk ladu (2) takie, ˙ze Φi(ξ) = ηi. Twierdzimy, ˙ze Φ1, . . . , Φn sa

‘ liniowo niezale˙zne w V . Istotnie dla dowolnych c1, . . . , cn ∈ R takich, ˙ze c1Φ1+ . . . + cnΦn= 0 mamy

0 = c1Φ1(ξ) + . . . + cnΦn(ξ) = c1η1+ . . . + cnηn. Sta‘d c1 = . . . = cn = 0, czyli Φ1, . . . , Φnsa

‘liniowo niezale˙zne w V i w konsekwencji dimRV ≥ n.

Ka˙zda

‘baze

‘ przestrzeni V nazywa´c be

‘dziemy fundamentalnym uk ladem rozwia

‘- za´n uk ladu (2).

Z w lasno´sci 3 otrzymujemy natychmiast

Twierdzenie 2. Je˙zeli Φ₁, . . . , Φ_n jest fundamentalnym uk ladem rozwia

‘za´n uk la- du (2), to og´o l rozwia

‘za´n integralnych uk ladu (2) wyra˙za sie

‘ wzorem (3) Φ(x) = c₁Φ₁(x) + . . . + c_nΦ_n(x), x ∈ (p, q), gdzie c1, . . . , cn sa‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przejd´zmy teraz do uk ladu r´owna´n (1).

(9)

Twierdzenie 3. Niech Φ0 be

‘dzie rozwia

‘zaniem integralnym uk ladu (1) oraz Φ1, . . . , Φn fundamentalnym uk ladem rozwia‘zań uk ladu (2). Wówczas ogó l rozwia‘- zań integralnych uk ladu (1) wyra˙za sie

‘ wzorem

(4) Φ(x) = Φ0(x) + c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x), x ∈ (p, q), gdzie c1, . . . , cn sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

D o w ´o d. Niech Φ be‘dzie integralnym rozwia‘zaniem uk ladu (1). W´owczas (Φ(x) − Φ0(x))⁰ = Φ⁰(x) − Φ⁰₀(x) = A(x)Φ(x) + b(x) − A(x)Φ0(x) − b(x)

= A(x)(Φ(x) − Φ0(x)) dla x ∈ (p, q).

Zatem Φ − Φ0 jest rozwia

‘zaniem uk ladu (2) i na mocy twierdzenia 2 istnieja

‘sta le rzeczywiste c1, . . . , cn takie, ˙ze

Φ(x) − Φ0(x) = c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x) dla x ∈ (p, q).

Sta‘d Φ jest postaci (4).

Odwrotnie, za l´o˙zmy, ˙ze Φ jest postaci (4). W´owczas mamy Φ⁰(x) = Φ⁰₀(x) + (c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x))⁰

= A(x)Φ0(x) + b(x) + A(x)(c1Φ1(x) + . . . + cnΦn(x))

= A(x)(Φ₀(x) + c₁Φ₁(x) + . . . + c_nΦ_n(x)) + b(x) = A(x)Φ(x) + b(x) dla x ∈ (p, q). Zatem Φ jest integralnym rozwia

‘zaniem uk ladu (1).

Z powy˙zszego twierdzenia wida´c, ˙ze gdy znamy uk lad fundamentalny rozwia

‘za´n uk ladu (2), to znalezienie og´o lu rozwia

‘za´n uk ladu (1) sprowadza sie

‘ do znalezienia jednego integralnego rozwia

‘zania uk ladu (1). Spos´ob znalezienia takiego rozwia

‘zania podamy w dalszym cia

‘gu. Wprowadzimy najpierw poje

‘cie wro´nskianu i jego zwia‘zki z uk ladem fundamentalnym.

Niech Φ₁, . . . , Φ_n be

‘da

‘integralnymi rozwia

‘zaniami uk ladu (2) i Φ_k = [ϕ_lk]_1≤l≤n, k = 1, . . . , n. Wyznacznik

W (x) = det[ϕ_lk(x)]_1≤l,k≤n nazywamy wro´nskianem* uk ladu Φ1, . . . , Φn.

W lasno´s´c 4. Je˙zeli W (ξ) 6= 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q), to Φ₁, . . . , Φ_n jest uk ladem fundamentalnym rozwia

‘za´n uk ladu (2).

D o w ´o d. Przypu´s´cmy przeciwnie, ˙ze Φ₁, . . . , Φ_n sa

‘ liniowo zale˙zne w V . W´owczas ze znanego twierdzenia z algebry o uk ladach n r´owna´n liniowych jed- norodnych o n niewiadomych dostajemy W (x) = 0 dla dowolnego x ∈ (p, q), co jest

sprzeczne z za lo˙zeniem.

* J´ozef Hoene Wro´nski (1776–1853) – polski matematyk i filozof.

(10)

§9. METODA REDUKCJI Z n DO n − 1 35

W lasno´s´c 5. Je´sli W (ξ) = 0 dla pewnego ξ ∈ (p, q), to Φ1, . . . , Φn sa

‘ liniowo zale˙zne w V .

D o w ´o d. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze wektory Φ1(ξ), . . . , Φn(ξ) sa

‘liniowo zale˙zne w Rⁿ. Zatem na mocy w lasno´sci 2, rozwia

‘zania Φ₁, . . . , Φ_n sa

‘liniowo zale˙zne w V .

Udowodnimy teraz zapowiedziane twierdzenie o rozwia

‘zaniu szczeg´olnym. Niech b = [b_l]_1≤l≤n. Przez W_k oznaczmy wyznacznik macierzy, kt´ora powstaje z macierzy [ϕlk]1≤l,k≤n przez zasta

‘pienie k-tej kolumny przez b.

Twierdzenie 4. Niech Φ1, . . . , Φn be‘dzie uk ladem fundamentalnym uk ladu (2).

W´owczas rozwia

‘zaniem integralnym uk ladu (1) jest okre´slone na (p, q) pole wek- torowe Φ0 = [ϕ0l]1≤l≤n postaci

(5) Φ0 = g1Φ1+ . . . + gnΦn, gdzie gk : (p, q) → R jest ustalona

‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji Wk/W , k = 1, . . . , n.

D o w ó d. Z okre´slenia uk ladu Φ1, . . . , Φn i w lasno´sci 5 wynika, ˙ze W (x) 6= 0 dla x ∈ (p, q). Sta‘d i ze wzorów Cramera dla uk ladów równań liniowych mamy (6)

Xn k=1

(Wk/W )Φk = b.

R´o˙zniczkuja

‘c teraz Φ₀, korzystaja

‘c z w lasno´sci 1 i wzoru (6) dostajemy Φ⁰₀(x) = g₁(x)Φ⁰₁(x) + . . . + g_n(x)Φ⁰_n(x) + g₁⁰(x)Φ₁(x) + . . . + g_n⁰(x)Φ_n(x)

= A(x)(g₁(x)Φ₁(x) + . . . + g_n(x)Φ_n(x))

+ (W1(x)/W (x))Φ1(x) + . . . + (Wn(x)/W (x))Φn(x)

= A(x)Φ0(x) + b(x).

Uwaga 1. Poszukiwanie rozwia

‘za´n uk ladu (1) w postaci (5) nazywane jest metoda uzmienniania sta lych lub wariacji sta lych . Polega bowiem na poszukiwaniu roz-‘ wia‘za´n uk ladu (1) w postaci (3), gdzie wyste

‘puja

‘ce tam sta le c1, . . . , cnzaste

‘pujemy odpowiednio przez funkcje r´o˙zniczkowalne g₁, . . . , g_n.

§9. Metoda redukcji z n do n − 1

W paragrafie tym poka˙zemy jak mo˙zna sprowadzić znalezienie ogó lu rozwia‘zań jednorodnego uk ladu n równa´n ró˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘du o n niewiadomych funkcjach do og´o lu rozwia‘za´n takiego samego uk ladu o n − 1 rozwia‘- zaniach i n − 1 niewiadomych funkcjach.

Niech analogicznie jak w poprzednim paragrafie A = [akl]1≤k,l≤n be

‘dzie cia

‘g lym polem macierzowym na przedziale (p, q) ⊂ R, y = [yl]1≤l≤n. Niech dany be

‘dzie jednorodny uk lad równań ró˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘du postaci y₁⁰ = a11(x)y1+ . . . + a1n(x)yn,

. . . . y_n⁰ = an1(x)y1+ . . . + ann(x)yn, lub kr´ocej

(1) y⁰ = A(x)y.