• Nie Znaleziono Wyników

Interpretacja geometryczna pochodnej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Interpretacja geometryczna pochodnej"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Tw.( Warunek wystarczający różniczkowalności) Jeżeli funkcja

f : R

n

 D  R

(

D

- otwarty,

x  D

) ma pochodne cząstkowe : x (x)

j

j x

D f x

f

 

 

 (j 1,...,n) w D, ciągłe w x, to f

jest różniczkowalna w sensie Frecheta w x. Dow: dla n=2

) , ( x

1

x

2

x

h(h1,h2)

 ) ( ) ( , ) ( , )

( f f x

1

h

1

x

2

h

2

f x

1

x

2

f x h x

 , ) ( , ) ( , ) ( , )

( x

1

h

1

x

2

h

2

f x

1

x

2

h

2

f x

1

x

2

h

2

f x

1

x

2

f

z tw. Lagrange’a o wartości średniej

 

 

 

 

 

  2

2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1

) ( )

( )

, ( )

,

( h

x h f x h f c x x h f h x x c

f x x

2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1

) ( ) , ( )

( ) ,

( h

x c f x x h f x h f x x c

f 

 

 

 



 

 

 

  x x

Wystarczy pokazać, że r( hx, )o(||h||) czyli, że

0 )

( )

, ( )

( ) ,

(

lim

2

2 2 1 2 2

2 2 1 1 2

1 2

2 1 2 1

2 2 1 ) 1 0 , 0 ( ) ,

(

 

 

 

 

h h

h h

h h h

h

x

c f x x

f x

h f x x c

f x x

.

Jest to prawda, gdyż

0 ) ( ) ,

( lim

1 2 2 1 ) 1 0 , 0 ( ) , (1 2

 

 

 

x

x h f x x c

f

h

h i

lim ( , ) ( ) 0

2 2 1 ) 2

0 , 0 ( ) , (1 2

 

 

x

x c f x x

f

h

h z ciągłości

pochodnych cząstkowych w x a wyrażenia 2

2 2 1 1

h h

h

i 2

2 2 1 2

h h

h

są ograniczone,

Interpretacja geometryczna pochodnej

Niech f:X DY. Zbiór punktów W{(x,f(x))XY:xDX} nazywamy wykresem funkcji f:X DY.

Fakt. Jeżeli funkcja f :X DY jest różniczkowalna w punkcie aD to wektor sXY jest styczny do wykresu W funkcji f w punkcie (a,f(a)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor hX taki, że

s=(h, f '(a)h)

Tw. Jeżeli funkcja f :X EYjest różniczkowalna w punkcie aE, to hiperpłaszczyzna w XY o równaniu y f(a) f'(a)(xa) jest hiperpłaszczyzną styczną do wykresu funkcji f w punkcie

)) ( ,

(a f a . Jej wykresem jest Wast {(x,f(a) f'(a)(xa))XY:xX}

(2)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

2 Przypadki szczególne

 

3

) (

) (

) ( ) ( ,

: R

t z

t y

t x t

t 

 

 

 r

r  

jest funkcją wektorową, którą interpretujemy jako opis

parametryczny krzywej w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie t0[,]

Pochodna r'(t0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R w R3 reprezentowanym przez

macierz





 ) (

) (

) ( ) (

0 '

0 '

0 '

0 '

t z

t y

t x t

r . Prosta o równaniu parametrycznym

r  r ( t

0

)  r

'

( t

0

)( t  t

0

)

jest

styczną do krzywej rr(t) w punkcie

r

0

 r ( t

0

)

.

 

3

) , (

) , (

) , ( ) , ( ) , ( ] , [ ,

: R

v u z

v u y

v u x v u v

u d c b

a 

 

 

 r

r

jest funkcją wektorową, którą

interpretujemy jako opis parametryczny powierzchni w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie (u0,v0)

Pochodna r'(u0,v0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R2 w R3 reprezentowanym przez

macierz

u v

v v u z u

z v

y u

y v

x u x

v

u r r

r 





) , ( 0

0 '

0 0

) ,

( .

(3)

Płaszczyzna o równaniu parametrycznym 

 

 

0 0 0

0 ' 0

0, ) ( , )

( v v

u v u

u v

u r

r

r , które można także

zapisać w postaci:

) ( ) ( ) ,

(u0 v0u uu0v vv0

r r r

r ,

gdzie

r

ui

r

voznaczają kolumny macierzy reprezentującej pochodną

r

'

( u

0

, v

0

)

jest płaszczyzną styczną do powierzchni rr( vu, ) w punkcie r0r(u0,v0).

Po rozpisaniu na współrzędne w postaci równanie płaszczyzny stycznej przybiera postać

) ( )

( 0 0

0 0 0

v v u

u z

y x

z y x

v vz vy x

u uz uy x

 





 













.

Po przemnożeniu obu stron równania rr0 ru(uu0)rv(vv0) skalarnie przez wektor

v

u r

r

n  ortogonalny do ru i rv rugujemy parametry u i v i otrzymujemy ogólną postać równania płaszczyzny stycznej

0 ) (r r0

n  , gdzie nrurv.

W szczególności jeśli powierzchnia jest wykresem funkcji 2 zmiennych z f(x1,x2), to można ją zapisać parametrycznie przyjmując u=x1 i v=x2. Wówczas





u f

u 0

1

r ,





v f

v 1

0

r ,





1

v fu f

n . Stąd płaszczyzna o równaniu

zbA1(x1a1)A2(x2 a2), gdzie ( 1, 2)

1

1 a a

x A f

  , ( 1, 2)

2

2 a a

x A f

  b f(a1,a2) jest styczna do powierzchni o

równaniu z f(x1,x2) w punkcie (a1,a2,b).

Przykłady

1. Napisać równanie prostej stycznej do krzywej





4

) 2

(

sin 2 ) (

cos 2 ) ( ) (

t t

z

t t

y

t t

x t r

, tR w punkcie (0,2,0).

Rozw. Punktowi A(0,2,0) odpowiada parametr t02 . Ponadto







 1 0 2 ) ( ' 2 r

. Wobec tego

poszukiwane równanie stycznej jest następujące t z

y x















1 0 2 0 2 0

.

2. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z=x2+y2 w punkcie A(1,2,5).

Ogólnie ( 0, 0) ( 0, 0)( 0) ( 0, 0)(y y0) y

x z x x

y z x z

z x y x y



 



 . Odp. z-5=2(x-1)+4(y-2).

(4)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

4

Reguły różniczkowania

Tw. Jeżeli f :X DY X, Y – przestrzenie unormowane Y

D X

g:   f ,g- różniczkowalne w

x  D

, R, to f g i g są różniczkowalne w x i

) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( x x xx x

g

g g f g

f      

Jeżeli

Y  R

, to dodatkowo (f g) i

g

f

są różniczkowalne w

x

i

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( )

(f g  x  f x g x  f x g x

) (

)) ( ' ) ( ) ( ) ( ) '

( 2

x g

g f g f g

f x x x x

x   



 

 ; g(x)0

Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)

Def. Mówimy, że funkcja f jest klasy

C

1D jeżeli posiada w każdym punkcie zbioru D wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe w D , czyli jest F- różniczkowalna w każdym punkcie zbioru D.

RÓŻNICZKOWANIE ZŁOŻENIA

 Z Y

X, , przestrzenie unormowane , X Df otwarty xDf f[Df]Dg Y

D X

f :  f g:Y Dg Z

Tw. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie xDf (D – otwarty) i g jest różniczkowalna w f punkcie f(x), to złożenie g  f jest funkcją różniczkowalną w punkcie xDf i

) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )

(gf x g f x  f x g f x f x .

Jeżeli f jest funkcją klasyC i g jest funkcją klasy 1D C1f[ D], to g  f też jest klasy C1D. Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)

 ) ( )( ) ( ( )) ( ( ))

)(

(g f x h g f x g f x h g f x

       

 g ' ( f ( x )) f ( x h ) f ( x ) r

1

( f ( x ), f ( x h ) f ( x ))

      

 g ' ( f ( x )) f ' ( x ) h r

2

( x , h ) r

1

( f ( x ), f ( x h ) f ( x ))

(5)

( ' ) ( ' )) ( (

' f x f x h g f

g 

Trzeba pokazać, że

|| g ' ( f (

jak dla funkcji jednej zmiennej)

I przypadek szczególny (norma euklidesowa)





 :

:

1 1

m m m

n

f y

f y f R E R

f 

k

n E R

R f

g  

  :





k x

x x x x

f g

) (

) ( )

( )' (

1 1

Dla przykładu

( ,..., )

,...,

( 1 n i 1 1

i x x g f x

Stąd

( ,..., ) 

1 1

m

p p

i n

j

i

f

y x g

x x 

 

 

II-gi przypadek szczególny

)) ( ),..., ( ( )

(x g y1 x yn x

 R

  

 

 

n

x y f x g

y f x g

1

( ,...,

) ( )

 (

(dlatego „zwykłe” fi'(x), bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne) ))

( ) ( ), ( ( ) , ( ))

(x r2 x h r1 f x f x h f x

f   

(||

||

)) ( ) ( ), ( ( ) , ( ))

( x r

2

x h  r

1

f x f x  h  f x  o

jak dla funkcji jednej zmiennej)

(norma euklidesowa)

) ,..., (

) ,..., (

1 1

n m

n

x x f

x x



( ( :

:

1 1 1

k k k

m

y g z

y g z g R D R

g 





n n k

k n

x x x x

) (

) (

m m k

k k

m

x y f x g

x f g

x y f x g

y f g









)) ( ( ))

( (

)) ( ( ))

( (

1 1

m x

x f x x f





( (

1 1

) ,..., ( ),...,

,...,xn fm x1 xn

 ( ,..., ) )

,..., ( ),..., ,...,

(

1 1 1

1 n

j p n m

n

x x

x x f x f x x

f 

; i=1,...,

R

   

 

 

 

 

 

n

i i

i n

x f x y f g x

f x f x

1 1

) ( ) ( )

( ) (

) 

, bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne)

||)

h

- dokładnie tak

) ,...,

) ,...,

1 1

m m

y y

y

n n m

m n

x x x f

x x x f





) ( )

) ( )

=1,...,k; j=1,...,n

, bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne)

(6)

Automatyka i Robotyka –Analiza

Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej Tw. Niech

f : R

n

 D  R

różniczkowalną w każdym punkcie odcinka )

)(

( ) ( )

(b  f a  fc ba f

Dow. Parametryzujemy odcinek

Funkcja (t) f(x(t)) jest funkcją

różniczkowalną w (0,1), czyli spełnia założenia tw. Lagrange’a, więc

b a

b   

 

))(

( ( ) ( ) (

) 0 1 )(

( ) 0 ( ) 1 (

||

||

x f f f

Tw.(o różniczkowaniu funkcji odwrotnej

oraz macierz f (a) jest odwracalna dla pewnego Rn

E

U   i V Rn takie, że Ponadto funkcja g odwrotna do odwrotna.

Komentarz zamiast dowodu:

Istnienie zbiorów U ,V i funkcji odwrotnej

stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu funkcji złożonej:

 

)) ( (

' )) ( (

) (

 

x x

x x

f g

f f g

f g

Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

6

Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej

(D– otwarty, a,bD, odcinek

ab  D

różniczkowalną w każdym punkcie odcinka ab . Wówczas istnieje

. [int – interior – wnętrze]

. Parametryzujemy odcinek ab : x(t)at(ba) t[0,1]

jest funkcją R ciągłą na R [0,1] (jako złożenie funkcji ciągłych) oraz , czyli spełnia założenia tw. Lagrange’a, więc

c x a

b 

 ) ( )

) 1 , 0 ( )

- tw. Lagrange’a dla

(jednej zmiennej)

o różniczkowaniu funkcji odwrotnej). Jeżeli

f : R

n

 E  R

n jest klasy

jest odwracalna dla pewnego aE, to wówczas istnieją zbiory otwarte takie, że aU, b f(a)V i f :U - bijekcja. 1:1V

odwrotna do f (czyli

g  f

1) jest klasy

C

V1 oraz g b( )

i funkcji odwrotnej g wymaga dowodu np. z twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu

1

1

)) ( (

)) ( ( )

( '

  x

x x

x

f

f I

nn

cmiel@agh.edu.pl

D

) będzie funkcją . Wówczas istnieje c int ab takie, że

(jako złożenie funkcji ciągłych) oraz

(jednej zmiennej)

jest klasy

C

1E (E – otwarty) , to wówczas istnieją zbiory otwarte

( )

1

 f a - macierz

wymaga dowodu np. z twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu

Cytaty

Powiązane dokumenty

Mniej znany jest fakt, że nośnik bywa też nazywany znakiem (signe) w drugim, węższym rozumieniu słowa, a znaczenie ideą (idee) 4. Znak związany z referencyjnie «bezwładną»

Uwaga: Na ogół w tego typu zadaniu nie badalibyśmy znaku pochodnej, a jedy- nie porównalibyśmy wartości funkcji na końcach przedziału i w miejscach zerowania się

Przy mnożeniu liczb zespolonych moduły się mnożą, zaś argumenty

Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej (zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich)I.

Obliczy¢

W przypadku gdy ośrodek poza soczewkami jest różny, punkty węzłowe nie pokrywają się z punktami głównymi... Soczewka gruba –

• Każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej...

Jakie powinny być jego wymiary, by pole powierzchni (całkowitej, bocznej) było