Tw.( Warunek wystarczający różniczkowalności) Jeżeli funkcja
f : R
n D R
(D
- otwarty,x D
) ma pochodne cząstkowe : x (x)j
j x
D f x
f
(j 1,...,n) w D, ciągłe w x, to f
jest różniczkowalna w sensie Frecheta w x. Dow: dla n=2
) , ( x
1x
2
x
h(h1,h2)
) ( ) ( , ) ( , )
( f f x
1h
1x
2h
2f x
1x
2f x h x
, ) ( , ) ( , ) ( , )
( x
1h
1x
2h
2f x
1x
2h
2f x
1x
2h
2f x
1x
2f
z tw. Lagrange’a o wartości średniej
2
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1
) ( )
( )
, ( )
,
( h
x h f x h f c x x h f h x x c
f x x
2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1
) ( ) , ( )
( ) ,
( h
x c f x x h f x h f x x c
f
x x
Wystarczy pokazać, że r( hx, )o(||h||) czyli, że
0 )
( )
, ( )
( ) ,
(
lim
22 2 1 2 2
2 2 1 1 2
1 2
2 1 2 1
2 2 1 ) 1 0 , 0 ( ) ,
(
h h
h h
h h h
h
x
c f x x
f x
h f x x c
f x x
.Jest to prawda, gdyż
0 ) ( ) ,
( lim
1 2 2 1 ) 1 0 , 0 ( ) , (1 2
x
x h f x x c
f
h
h i
lim ( , ) ( ) 0
2 2 1 ) 2
0 , 0 ( ) , (1 2
x
x c f x x
f
h
h z ciągłości
pochodnych cząstkowych w x a wyrażenia 2
2 2 1 1
h h
h
i 2
2 2 1 2
h h
h
są ograniczone,
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech f:X DY. Zbiór punktów W{(x,f(x))XY:xDX} nazywamy wykresem funkcji f:X DY.
Fakt. Jeżeli funkcja f :X DY jest różniczkowalna w punkcie aD to wektor sXY jest styczny do wykresu W funkcji f w punkcie (a,f(a)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor hX taki, że
s=(h, f '(a)h)
Tw. Jeżeli funkcja f :X EYjest różniczkowalna w punkcie aE, to hiperpłaszczyzna w XY o równaniu y f(a) f'(a)(xa) jest hiperpłaszczyzną styczną do wykresu funkcji f w punkcie
)) ( ,
(a f a . Jej wykresem jest Wast {(x,f(a) f'(a)(xa))XY:xX}
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2 Przypadki szczególne
3) (
) (
) ( ) ( ,
: R
t z
t y
t x t
t
r
r
jest funkcją wektorową, którą interpretujemy jako opisparametryczny krzywej w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie t0[,]
Pochodna r'(t0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R w R3 reprezentowanym przez
macierz
) (
) (
) ( ) (
0 '
0 '
0 '
0 '
t z
t y
t x t
r . Prosta o równaniu parametrycznym
r r ( t
0) r
'( t
0)( t t
0)
jeststyczną do krzywej rr(t) w punkcie
r
0 r ( t
0)
.
3) , (
) , (
) , ( ) , ( ) , ( ] , [ ,
: R
v u z
v u y
v u x v u v
u d c b
a
r
r
jest funkcją wektorową, którąinterpretujemy jako opis parametryczny powierzchni w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie (u0,v0)
Pochodna r'(u0,v0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R2 w R3 reprezentowanym przez
macierz
u v
v v u z u
z v
y u
y v
x u x
v
u r r
r
) , ( 0
0 '
0 0
) ,
( .
Płaszczyzna o równaniu parametrycznym
0 0 0
0 ' 0
0, ) ( , )
( v v
u v u
u v
u r
r
r , które można także
zapisać w postaci:
) ( ) ( ) ,
(u0 v0 u uu0 v vv0
r r r
r ,
gdzie
r
uir
voznaczają kolumny macierzy reprezentującej pochodnąr
'( u
0, v
0)
jest płaszczyzną styczną do powierzchni rr( vu, ) w punkcie r0r(u0,v0).Po rozpisaniu na współrzędne w postaci równanie płaszczyzny stycznej przybiera postać
) ( )
( 0 0
0 0 0
v v u
u z
y x
z y x
v vz vy x
u uz uy x
.
Po przemnożeniu obu stron równania rr0 ru(uu0)rv(vv0) skalarnie przez wektor
v
u r
r
n ortogonalny do ru i rv rugujemy parametry u i v i otrzymujemy ogólną postać równania płaszczyzny stycznej
0 ) (r r0
n , gdzie nrurv.
W szczególności jeśli powierzchnia jest wykresem funkcji 2 zmiennych z f(x1,x2), to można ją zapisać parametrycznie przyjmując u=x1 i v=x2. Wówczas
u f
u 0
1
r ,
v f
v 1
0
r ,
1
v fu f
n . Stąd płaszczyzna o równaniu
zbA1(x1a1)A2(x2 a2), gdzie ( 1, 2)
1
1 a a
x A f
, ( 1, 2)
2
2 a a
x A f
b f(a1,a2) jest styczna do powierzchni o
równaniu z f(x1,x2) w punkcie (a1,a2,b).
Przykłady
1. Napisać równanie prostej stycznej do krzywej
4
) 2
(
sin 2 ) (
cos 2 ) ( ) (
t t
z
t t
y
t t
x t r
, tR w punkcie (0,2,0).
Rozw. Punktowi A(0,2,0) odpowiada parametr t0 2 . Ponadto
1 0 2 ) ( ' 2 r
. Wobec tego
poszukiwane równanie stycznej jest następujące t z
y x
1 0 2 0 2 0
.
2. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z=x2+y2 w punkcie A(1,2,5).
Ogólnie ( 0, 0) ( 0, 0)( 0) ( 0, 0)(y y0) y
x z x x
y z x z
z x y x y
. Odp. z-5=2(x-1)+4(y-2).
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
4
Reguły różniczkowania
Tw. Jeżeli f :X DY X, Y – przestrzenie unormowane Y
D X
g: f ,g- różniczkowalne w
x D
, R, to f g i g są różniczkowalne w x i) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( x x xx x
g
g g f g
f
Jeżeli
Y R
, to dodatkowo (f g) ig
f
są różniczkowalne wx
i) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( )
(f g x f x g x f x g x
) (
)) ( ' ) ( ) ( ) ( ) '
( 2
x g
g f g f g
f x x x x
x
; g(x)0
Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)
Def. Mówimy, że funkcja f jest klasy
C
1D jeżeli posiada w każdym punkcie zbioru D wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe w D , czyli jest F- różniczkowalna w każdym punkcie zbioru D.RÓŻNICZKOWANIE ZŁOŻENIA
Z Y
X, , przestrzenie unormowane , X Df otwarty xDf f[Df]Dg Y
D X
f : f g:Y Dg Z
Tw. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie xDf (D – otwarty) i g jest różniczkowalna w f punkcie f(x), to złożenie g f jest funkcją różniczkowalną w punkcie xDf i
) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )
(gf x g f x f x g f x f x .
Jeżeli f jest funkcją klasyC i g jest funkcją klasy 1D C1f[ D], to g f też jest klasy C1D. Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)
) ( )( ) ( ( )) ( ( ))
)(
(g f x h g f x g f x h g f x
g ' ( f ( x )) f ( x h ) f ( x ) r
1( f ( x ), f ( x h ) f ( x ))
g ' ( f ( x )) f ' ( x ) h r
2( x , h ) r
1( f ( x ), f ( x h ) f ( x ))
( ' ) ( ' )) ( (
' f x f x h g f
g
Trzeba pokazać, że
|| g ' ( f (
jak dla funkcji jednej zmiennej)I przypadek szczególny (norma euklidesowa)
:
:
1 1
m m m
n
f y
f y f R E R
f
k
n E R
R f
g
:
k x
x x x x
f g
) (
) ( )
( )' (
1 1
Dla przykładu
( ,..., ),...,
( 1 n i 1 1
i x x g f x
Stąd
( ,..., )
1 1
m
p p
i n
j
i
f
y x g
x x
II-gi przypadek szczególny
)) ( ),..., ( ( )
(x g y1 x yn x
R
n
x y f x g
y f x g
1
( ,...,
) ( )
(
(dlatego „zwykłe” fi'(x), bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne) ))
( ) ( ), ( ( ) , ( ))
(x r2 x h r1 f x f x h f x
f
(||
||
)) ( ) ( ), ( ( ) , ( ))
( x r
2x h r
1f x f x h f x o
jak dla funkcji jednej zmiennej)(norma euklidesowa)
) ,..., (
) ,..., (
1 1
n m
n
x x f
x x
( ( :
:
1 1 1
k k k
m
y g z
y g z g R D R
g
n n k
k n
x x x x
) (
) (
m m k
k k
m
x y f x g
x f g
x y f x g
y f g
)) ( ( ))
( (
)) ( ( ))
( (
1 1
m x
x f x x f
( (
1 1
) ,..., ( ),...,
,...,xn fm x1 xn
( ,..., ) )
,..., ( ),..., ,...,
(
1 1 11 n
j p n m
n
x x
x x f x f x x
f
; i=1,...,R
ni i
i n
x f x y f g x
f x f x
1 1
) ( ) ( )
( ) (
)
, bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne)
||)
h
- dokładnie tak) ,...,
) ,...,
1 1
m m
y y
y
n n m
m n
x x x f
x x x f
) ( )
) ( )
=1,...,k; j=1,...,n
, bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne)
Automatyka i Robotyka –Analiza
Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej Tw. Niech
f : R
n D R
różniczkowalną w każdym punkcie odcinka )
)(
( ) ( )
(b f a fc ba f
Dow. Parametryzujemy odcinek
Funkcja (t) f(x(t)) jest funkcją
różniczkowalną w (0,1), czyli spełnia założenia tw. Lagrange’a, więc
b a
b
))(
( ( ) ( ) (
) 0 1 )(
( ) 0 ( ) 1 (
||
||
x f f f
Tw.(o różniczkowaniu funkcji odwrotnej
oraz macierz f (a) jest odwracalna dla pewnego Rn
E
U i V Rn takie, że Ponadto funkcja g odwrotna do odwrotna.
Komentarz zamiast dowodu:
Istnienie zbiorów U ,V i funkcji odwrotnej
stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu funkcji złożonej:
)) ( (
' )) ( (
) (
x x
x x
f g
f f g
f g
Analiza – Wykład 11 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
6
Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej
(D– otwarty, a,bD, odcinek
ab D
różniczkowalną w każdym punkcie odcinka ab . Wówczas istnieje. [int – interior – wnętrze]
. Parametryzujemy odcinek ab : x(t)at(ba) t[0,1]
jest funkcją R ciągłą na R [0,1] (jako złożenie funkcji ciągłych) oraz , czyli spełnia założenia tw. Lagrange’a, więc
c x a
b
) ( )
) 1 , 0 ( )
- tw. Lagrange’a dla
(jednej zmiennej)o różniczkowaniu funkcji odwrotnej). Jeżeli
f : R
n E R
n jest klasyjest odwracalna dla pewnego aE, to wówczas istnieją zbiory otwarte takie, że aU, b f(a)V i f :U - bijekcja. 1:1V
odwrotna do f (czyli
g f
1) jest klasyC
V1 oraz g b( )i funkcji odwrotnej g wymaga dowodu np. z twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu
1
1
)) ( (
)) ( ( )
( '
x
x x
x
f
f I
nncmiel@agh.edu.pl
D
) będzie funkcją . Wówczas istnieje c int ab takie, że(jako złożenie funkcji ciągłych) oraz
(jednej zmiennej)
jest klasy
C
1E (E – otwarty) , to wówczas istnieją zbiory otwarte
( )
1 f a - macierz
wymaga dowodu np. z twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o różniczkowaniu