Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczno´s´c funkcji. Regu la de l’Hospitala

Zestaw nr 6

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej.

Elastyczno´s´c funkcji. Regu la de l’Hospitala

November 12, 2009

Przyk ladowe zadania z rozwi¸

azaniami

Zadanie 1. Oblicz pochodne nast¸epuj¸acych funkcji: a) f (x) = x4+ 3x3+ 2x2+ x

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a sumy otrzymujemy

(x4+ 3x3+ 2x2+ x)0 = (x4)0+ (3x3)0+ (2x2)0+ (x)0 = 4x3+ 3 · 3x2+ 2 · 2x + 1 = 4x3+ 9x2+ 4x + 1. b)f (x) = x1/2+ 1/x

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a sumy otrzymujemy (√x + 1/x)0 = (√x)0 + (1/x)0 = _2·√1 x− 1 x2 gdy˙z ( √ x)0 = _2·√1 x oraz (1/x) 0 _{= −}1 x2.

c) f (x) = 3x · log x. Przypominamy, ˙ze logx oznacza logarytm naturalny z liczby x.

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · log x)0 = (3x) · (logx)0+ (3x)0· logx = 3x ·1

x + 3logx, gdy˙z (logx)

0 _{= 1/x oraz (3x)}0 _{= 3.}

d) f (x) = 3x · ex

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · ex)0 = 3x · (ex)0+ (3x)0· ex _{= 3xe}x_{+ 3 · e}x_{, poniewa˙z (e}x₎0 _{= e}x_.

e) f (x) = _x−33

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a ilorazu funkcji otrzymujemy (_x−33 )0= (3)0·(x−3)−3·(x−3)_(x−3)2 0 =

−3 (x−3)2

f) f (x) = _2xx22−1₊₁

Rozwi¸azanie: Korzystaj¸ac z wzoru na pochodn¸a ilorazu funkcji otrzymujemy (_2xx22−1₊₁)0 =

= (x 2_{− 1)}0_{· (2x}2_{+ 1) − (x}2_{− 1)(2x}2_{+ 1)}0 (2x2_{+ 1)}2 = 2x(2x2_{+ 1) − 4x(x}2_{− 1)} (2x2_{+ 1)}2 = 6x (2x2_{+ 1)}2

g) f (x) = (x2+ 1)1/2

Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej (g(h(x)))0 = g0(h(x)) · h0(x). Niech g(x) = √x oraz h(x) = x2 + 1 Wiadomo, ˙ze (√x)0 = ₂√1

x oraz (x

2 _{+ 1)}0 _{= 2x. W´owczas}

f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0= 1

2√x2₊₁· 2x.

h) f (x) = ln(3x2+ x − 4)

Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej (g(h(x)))0 = g0(h(x)) · h0(x) Niech g(x) = log x oraz h(x) = 3x2+ x − 4 Wiadomo, ˙ze (log x)0 = _x1 oraz (3x2+ x − 4)0 = 6x + 1. W´owczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0= _3x2_+x−41 · (6x + 1).

i) f (x) = log3(x2+ x + 1)

Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej (g(h(x)))0 = g0(h(x)) · h0(x) Niech g(x) = log₃x oraz h(x) = x2+ x + 1 Wiadomo, ˙ze (ln3x)0 = _x·log31 oraz (x2+ x + 1)0= 2x + 1.

W´owczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0= _(x2_+x+1)·log31 · (2x + 1).

j) f (x) = (2/3)1−3x2

Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej (g(h(x)))0 = g0(h(x)) · h0(x) Niech g(x) = (2/3)xoraz h(x) = 1 − 3x2Wiadomo, ˙ze ((2/3)x)0 = (2/3)x· log(2/3) oraz (1 − 3x2₎0₌

−6x. W´owczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = (2/3)1−3x2· (−6x) · log(2/3). k) f (x) = (3x4_{+ x}3_{+ x)}5

Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej (g(h(x)))0 = g0(h(x)) · h0(x) Niech g(x) = x5 oraz h(x) = 3x4 + x3 + x Wiadomo, ˙ze (x5)0 = 5x4 oraz (3x4 + x3 + x)0 = 12x3+ 3x2+ 1. W´owczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = 5(3x4+ x3+ x)4· (12x3_{+ 3x}2_{+ 1).}

Zadanie 2. Napisz r´ownanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) je´sli f (x) =

x2− 3x + 2 oraz x0 = 2

Rozwiazanie: Rownanie prostej l ma postac

y = ax + b

Je´sli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) to z geometrycznej

interpre-tacji pochodnej otrzymujemy, ˙ze a = f0(x0). Styczna oraz wykres funkcji f maj¸a wsp´olny punkt

(x0, f (x0)) co daje

f (x0) = a · x0+ b

czyli

b = f (x0) − a · x0.

Podstawiajac warto´sci liczbowe otrzymujemy: f0(x) = 2x − 3 czyli f0(2) = 1 oraz b = f (2) − 1 · 2 = −2. R´ownanie stycznej ma posta´c

Zadanie 3. Jaki k¸at z osi¸a Ox tworzy styczna do paraboli f (x) = x2− 3x + 8 w punkcie (2, 6) ? Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, ˙ze tangens k¸ata α mi¸edzy styczn¸a a osi¸a Ox wynosi f0(2) czyli f0(x) = 2x − 3 oraz f0(2) = 1 co daje α = 450.

Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f (x) = x3− 3x2_{− 9x + 2 jest r´ownoleg la}

do osi Ox?

Rozwiazanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) jest r´ownoleg la do osi Ox gdy

f0(x0) = 0. Zatem f0(x0) = 3x20− 6x0− 9 = 0. Rozwi¸azuj¸ac to r´ownanie kwadratowe otrzymujemy

odpowiednio ∆ = 144 oraz pierwiastki x1 = 3 lub x2 = −1. W punktach (3, f (3)) oraz (−1, f (−1))

styczne s¸a r´ownoleg le do osi Ox.

Zadanie 5. Wyznaczy´c elastyczno´s´c funkcji f (x) = x2+ 5x + 3 dla x0= 3.

Rozwiazanie: Z definicji elastyczno´s´c Exf funkcji f w punkcie x dana jest wzorem Exf = f

0_(x)

f (x) · x.

Zatem f0(x) = 2x + 5, f0(3) = 11 oraz f (3) = 27, co daje E3f = 11₂₇· 3 = 11/9.

Zadanie 6. Korzystaj¸ac z regu ly de l’Hospitala oblicz granice: a) limx→1x 3₋₁ x2₋₁ b) limx→0e x₋₁ x

Rozwiazanie: a) Funkcje f (x) = x3− 1 oraz g(x) = x2_{− 1 s¸a okre´slone na R oraz r´o˙zniczkowalne}

w dowolnym punkcie x ∈ R, zatem z regu ly de l’Hospitala otrzymujemy: lim x→1 x3− 1 x2_{− 1} = lim_x→1 (x3− 1)0 (x2_{− 1)}0 = lim_x→1 3x2 2x = 3/2.

b) Funkcje f (x) = ex− 1 oraz g(x) = x spe lniaj¸a za lo˙zenia tw. de l’Hospitala, mamy wi¸ec: lim x→0 ex_{− 1} x = limx→0 (ex_{− 1)}0 (x)0 = limx→0 ex 1 = 1.

1

Dodatkowe zadania z odpowiedziami

Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nastepuj¸acych funkcji: a) f (x) = x4+ 6x3+ 8x2+ x Odp. f0(x) = 4x3+ 18x2+ 16x + 1 b)f (x) = x1/3 Odp. f0(x) = 3 3·(x)2/3 c) f (x) = 3x · log(x − 1) Odp. f0(x) = _x−13x + 3 log(x − 1)

d) f (x) = 3(x + 2) · ex−2 Odp. f0(x) = 3(x + 2) · ex−2_{+ 3 · e}x−2 e) f (x) = x+3_x−3 Odp. f0(x) = _(x−3)−6 2 f) f (x) = x_x22−3₊₂ Odp. f0(x) = _(x210x₊₂₎2 g) f (x) = (x2_{+ x + 1)}1/2 Odp. f0(x) = 2x+1 2√x2_+x+1 h) f (x) = log(3x2+ 8) Odp. f0(x) = _3x6x2₊₈ i) f (x) = log3(x2+ 4x + 7) Odp. f0(x) = _(x2_+4x+7)log32x+4 j) f (x) = 3x4 Odp. f0(x) = 4x3· 3x4 · log3 k) f (x) = 5x3−7x+2 Odp. f0(x) = 5x3−7x+2· (3x2_{− 7) · log5} l) f (x) = (2x2+ 2x)(3x4+ x) Odp. f0(x) = (2x2+ 2x)(12x3+ 1) + (4x + 2)(3x4+ x) m) f (x) = (3x3+ x2+ x)5 Odp. f0(x) = 5(3x3+ x2+ x)4· (9x2_{+ 2x + 1)}

Zadanie 2. Napisz r´ownanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) je´sli

a) f (x) = x2− x + 2 oraz x₀ = 2 b) f (x) = x3− x2_{+ 2 oraz x}

0 = 1

Odpowied´z: a) y = 3x − 2 b) y=x+1

Zadanie 3. Jaki k¸at z osi¸a Ox tworzy styczna do paraboli f (x) = x2− 3x + 8 w punkcie x = 1.5 ? Odpowied´z: K¸at 00

Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f (x) = x3 − 9x + 2 jest r´ownoleg la do osi Ox? Odpowied´z: Dla x0 = √ 3 lub x0 = − √ 3. Zadanie 5. Wyznaczy´c elastyczno´s´c funkcji

a) f (x) = x2+ 5x + 3 dla x0 = 3.

b) f (x) = ex_{+ 1 dla x} 0 = 2

Odpowied´z: a) 27/17 b) _e2e2₊₁2

Zadanie 6. Korzystaj¸ac z regu ly de l’Hospitala oblicz granice: a) limx→1x 9₋₁ x2₋₁ b) limx→∞e x x c) limx→∞log(x+1)_x d) limx→0e x_−x−1 x2 e) limx→∞5 x₋₁ x2 Odpowied´z: a) 9/2, b) ∞, c) 0, d) 1/2, e) ∞.