• Nie Znaleziono Wyników

Pokazać, że w przestrzeni metrycznej X rodzina kul otwartych B = {B(x0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pokazać, że w przestrzeni metrycznej X rodzina kul otwartych B = {B(x0"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 6 - Topologia słaba i *-słaba

1. Pokazać, że w przestrzeni metrycznej X rodzina kul otwartych B = {B(x0, ) : x0 ∈ X,  > 0}

tworzy bazę otoczeń punktu x0 dla każdego x0 ∈ X, a co za tym idzie, definiuje topologię T na tej przestrzeni (jest to topologia wyznaczona przez metrykę).

2. Pokazać, że rodzina zbiorów postaci

Ux1,...,xm; = {ψ ∈ X : |ψ(xk) − ϕ(xk)| < , k = 1, . . . , m}

gdzie x1, . . . , xm ∈ X, m ∈ N, oraz  > 0, tworzy bazę otoczeń Bϕ punktu ϕ w przestrzeni X dla każdego ϕ ∈ X, a co za tym idzie, definiuje topologię T = σ(X, X), zwaną topologią *-słabą. Zauważyć analogię między topologią słabą na X i topologią *-słabą na X.

3. Mówimy, że ciąg (ϕn) elementów przestrzeni Xjest zbieżny do ϕ ∈ X w topologii

*-słabej σ(X, X) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego  > 0 istnieje liczba naturalna n0 taka, że dla każdego n ≥ n0 mamy ϕn∈ Ux1,...,xm;∈ Bϕ, gdzie zbiór ten jest dowolnym elementem bazy otoczeń punktu ϕ. Pokazać, że ciąg (ϕn) elementów przestrzeni X jest zbieżny do punktu ϕ ∈ X w topologii *-słabej wtedy i tylko wtedy gdy limn→∞ϕn(x) = ϕ(x) dla każdego x ∈ X. Mówimy, że ciąg ϕn jest *-słabo zbieżny do ϕ i piszemy w − limn→∞ϕn = ϕ.

4. Uzasadnić, że jeżeli H jest przestrzenią Hilberta, to zachodzi następujący związek między zbieżnością w normie oraz zbieżnością słabą:

n→∞lim xn= x ⇐⇒ w − lim

n→∞xn= x ∧ lim

n→∞k xnk=k x k gdzie xn, x ∈ H.

5. Uzasadnić, że w skończenie wymiarowej UPL ciąg (xn) jest zbieżny w normie wtedy i tylko wtedy gdy jest słabo zbieżny.

6. Stosując twierdzenie Banacha-Steinhausa, uzasadnić, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zbieżny ciąg w przestrzeni X jest ograniczony.

7. Pokazać, że w przestrzeni X = `p, gdzie 1 ≤ p ≤ ∞, zachodzi następujący warunek konieczny zbieżności słabej: jeżeli w − limn→∞xn = y, gdzie xn = (xn(k))k∈N oraz y = (y(k))k∈N, to limn→∞xn(k) = y(k) dla każdego k ∈ N.

Innymi słowy, zbieżność słaba implikuje zbieżność punktową (po współrzędnych).

8. Pokazać, że w przestrzeni X = `p, gdzie 1 < p < ∞, następujące 2 warunki są równoważne

(a) w − limn→∞xn= y

1

(2)

(b) limn→∞xn(k) = y(k) ∀k oraz supnk xnkp< ∞

Jest to więc warunek konieczny i wystarczający zbieżności słabej w takich `p. Czy taka równoważność zachodzi także dla p = 1 oraz p = ∞?

9. Niech X = `1. Wiemy, że X jest przestrzenią dualną do c0, możemy więc poszukać warunków koniecznych i wystarczających na *-słabą zbieżność ciągu (xn) z przestrzeni X do y. Pokazać, że następujące 2 warunki są równoważne

(a) w− limn→∞xn= y

(b) limn→∞xn(k) = y(k) ∀k oraz supnk xnk1< ∞

10. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech T ∈ L(X, Y ) będzie operatorem liniowym, który jest ciągły względem słabych topologii w X oraz Y (innymi słowy, jeżeli w − limn→∞xn = x, to w − limn→∞T (xn) = T (x)). Stosując twierdzenie o wykresie domkniętym i fakt, że topologia słaba jest typu Hausdorffa (rozdziela punkty), pokazać, że T ∈ B(X, Y ).

R. Lenczewski

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokazać, że przestrzeń liniowa C[a, b] z metryką z zadania 5 nie jest zupełna, kon- struując ciąg Cauchy’ego, który nie jest zbieżny do funkcji ciągłej w tej metryce

Wykazać, znajdując odpowiedni kontrprzykład (można wybrać przestrzeń R 2 ), że minimum z dwóch norm na przestrzeni liniowej nie musi być normą.. Czy maksimum dwóch norm jest

Podać przykład bazy Hamela (bazy algebraicznej) w przestrzeni c 00 (jest to nie- skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana, która nie jest przestrzenią Ba- nacha)..

Podać przykład izometrii, która nie jest

Uzasadnić, że przestrzeń liniowa wszystkich wielomianów (rzeczywistych bądź ze- spolonych) nie jest przestrzenią Banacha w żadnej

Niech c 00 będzie przestrzenią liniową ciągów (np.. Pokazać, że przestrzeń wielomianów jednej

3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, uko±ne) oraz oblicz granice na kra«cach przedziaªu okre±lono±ci i w otoczeniu punktów nieci¡gªo±ci (granice jednostronne),.. 4)

ZI oznacza, »e ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ mo»na osi¡gn¡¢ wychodz¡c od 1 i poruszaj¡c si¦ odpowiednio dªugo w prawo z krokiem równym 1... Wykaza¢, »e mozna tak pokolorowa¢