Pokazać, że w przestrzeni metrycznej X rodzina kul otwartych B = {B(x0

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 6 - Topologia słaba i *-słaba

1. Pokazać, że w przestrzeni metrycznej X rodzina kul otwartych B = {B(x₀, ) : x₀ ∈ X,  > 0}

tworzy bazę otoczeń punktu x₀ dla każdego x₀ ∈ X, a co za tym idzie, definiuje topologię T na tej przestrzeni (jest to topologia wyznaczona przez metrykę).

2. Pokazać, że rodzina zbiorów postaci

U_x1,...,xm; = {ψ ∈ X^∗ : |ψ(x_k) − ϕ(x_k)| < , k = 1, . . . , m}

gdzie x₁, . . . , x_m ∈ X, m ∈ N, oraz  > 0, tworzy bazę otoczeń Bϕ punktu ϕ w przestrzeni X^∗ dla każdego ϕ ∈ X^∗, a co za tym idzie, definiuje topologię T = σ(X^∗, X), zwaną topologią *-słabą. Zauważyć analogię między topologią słabą na X i topologią *-słabą na X^∗.

3. Mówimy, że ciąg (ϕn) elementów przestrzeni X^∗jest zbieżny do ϕ ∈ X^∗ w topologii

*-słabej σ(X^∗, X) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego  > 0 istnieje liczba naturalna n₀ taka, że dla każdego n ≥ n₀ mamy ϕ_n∈ U_x1,...,xm;∈ B_ϕ, gdzie zbiór ten jest dowolnym elementem bazy otoczeń punktu ϕ. Pokazać, że ciąg (ϕn) elementów przestrzeni X^∗ jest zbieżny do punktu ϕ ∈ X^∗ w topologii *-słabej wtedy i tylko wtedy gdy lim_n→∞ϕ_n(x) = ϕ(x) dla każdego x ∈ X. Mówimy, że ciąg ϕn jest *-słabo zbieżny do ϕ i piszemy w^∗ − lim_n→∞ϕ_n = ϕ.

4. Uzasadnić, że jeżeli H jest przestrzenią Hilberta, to zachodzi następujący związek między zbieżnością w normie oraz zbieżnością słabą:

n→∞lim x_n= x ⇐⇒ w − lim

n→∞x_n= x ∧ lim

n→∞k x_nk=k x k gdzie x_n, x ∈ H.

5. Uzasadnić, że w skończenie wymiarowej UPL ciąg (xn) jest zbieżny w normie wtedy i tylko wtedy gdy jest słabo zbieżny.

6. Stosując twierdzenie Banacha-Steinhausa, uzasadnić, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zbieżny ciąg w przestrzeni X^∗ jest ograniczony.

7. Pokazać, że w przestrzeni X = `^p, gdzie 1 ≤ p ≤ ∞, zachodzi następujący warunek konieczny zbieżności słabej: jeżeli w − lim_n→∞x_n = y, gdzie x_n = (xn(k))_k∈N oraz y = (y(k))_k∈N, to limn→∞xn(k) = y(k) dla każdego k ∈ N.

Innymi słowy, zbieżność słaba implikuje zbieżność punktową (po współrzędnych).

8. Pokazać, że w przestrzeni X = `^p, gdzie 1 < p < ∞, następujące 2 warunki są równoważne

(a) w − lim_n→∞x_n= y

1

(b) lim_n→∞x_n(k) = y(k) ∀k oraz sup_nk x_nk_p< ∞

Jest to więc warunek konieczny i wystarczający zbieżności słabej w takich `^p. Czy taka równoważność zachodzi także dla p = 1 oraz p = ∞?

9. Niech X^∗ = `¹. Wiemy, że X^∗ jest przestrzenią dualną do c₀, możemy więc poszukać warunków koniecznych i wystarczających na *-słabą zbieżność ciągu (x_n) z przestrzeni X^∗ do y. Pokazać, że następujące 2 warunki są równoważne

(a) w^∗− lim_n→∞x_n= y

(b) lim_n→∞x_n(k) = y(k) ∀k oraz sup_nk x_nk₁< ∞

10. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i niech T ∈ L(X, Y ) będzie operatorem liniowym, który jest ciągły względem słabych topologii w X oraz Y (innymi słowy, jeżeli w − lim_n→∞x_n = x, to w − lim_n→∞T (x_n) = T (x)). Stosując twierdzenie o wykresie domkniętym i fakt, że topologia słaba jest typu Hausdorffa (rozdziela punkty), pokazać, że T ∈ B(X, Y ).

R. Lenczewski

2