7 Sumy i iloczyny uogólnione

(1)

Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

7 Sumy i iloczyny uogólnione

Dla dowolnych liczb ak, a_k+1, a_k+2, ..., a_l okre±lamy sum¦ uogólnion¡ i iloczyn uogólniony:

l

X

j=k

a_j = a_k+ a_k+1+ a_k+2+ ... + a_l,

l

Y

j=k

a_j = a_k· a_k+1· a_k+2· ... · a_l.

Formalna denicja jest indukcyjna:

k−1

X

j=k

aj = 0,

l

X

j=k

aj =

l−1

X

j=k

aj

! + al,

k−1

Y

j=k

a_j = 1,

l

Y

j=k

a_j =

l−1

Y

j=1

a_j

!

· a_l,

dla dowolnych k oraz n ≥ k. Sumy i iloczyny uogólnione pozwalaj¡ zast¡pi¢ nieprecyzyjny zapis z wielokropkiem jednoznacznym wyra»eniem.

Przykªad 1. Zapis a1+ a₂+ ... + a₂ⁿ mo»e oznacza¢ zarówno

2ⁿ

X

j=1

a_j, jak

n

X

j=0

a₂^j.

Wªasno±ci sum uogólnionych i iloczynów uogólnionych s¡ bardzo podobne. Poniewa» sumy spotykane s¡ cz¦±ciej, nimi zajmiemy si¦ w dalszej cz¦±ci. Wiele wªasno±ci iloczynów mo»na uzyska¢ z odpowiednich wªasno±ci sum poprzez to»samo±¢

log₂

l

Y

j=k

aj

!

=

l

X

j=k

log₂aj,

prawdziw¡ dla dowolnych liczb dodatnich ak, a_k+1, a_k+2, ..., a_l. Twierdzenie. Zachodzi

l

X

j=k

c a_j = c

l

X

j=k

a_j,

l

X

j=k

(a_j+ b_j) =

l

X

j=k

a_j +

l

X

j=k

b_j,

l

X

j=k

c = (l − k + 1) c.

Ponadto je±li k ≤ n oraz n + 1 ≤ l, to

l

X

j=k

a_j =

n

X

j=k

a_j +

l

X

j=n+1

a_j,

l

X

j=k

a_j =

l−m

X

j=k−m

a_j+m.

Dowód. Indukcja wzgl¦dem l.

Twierdzenie. Je±li aj ≤ b_j dla wszystkich j, to

l

X

j=k

a_j ≤

l

X

j=k

b_j.

Dowód. Indukcja wzgl¦dem l.

(2)

Twierdzenie. Zachodzi

l

X

i=k n

X

j=m

a_i,j

!

=

n

X

j=m l

X

i=k

a_i,j

! ,

l

X

i=k

a_i

!

·

n

X

j=m

b_j

!

=

l

X

i=k n

X

j=m

a_ib_j.

Dowód. Indukcja wzgl¦dem l (albo n).

Twierdzenie. Je±li σ, τ s¡ funkcjami ró»nowarto±ciowymi na zbiorze {k, k + 1, k + 2, ..., l}, maj¡cymi jednakowy zbiór warto±ci T , za± at, t ∈ T , s¡ dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to:

l

X

j=k

a_σ(j) =

l

X

j=k

a_{τ (j)}.

Dowód. Ustalmy k. Gdy l = k − 1 obie strony s¡ równe 0. Zaªó»my, »e równo±¢ zachodzi dla pewnego l i wszystkich funkcji σ, τ speªniaj¡cych warunki twierdzenia oraz dowolnych liczb at. Niech σ, τ b¦d¡ okre±lone na {k, k + 1, k + 2, ..., l + 1}i zaªó»my, »e zbiory warto±ci σ i τ s¡ sobie równe. Niech σ(l + 1) = τ(n) i okre±lmy τ^∗ tak, by τ^∗(j) = τ (j)dla j /∈ {n, l + 1}, τ^∗(n) = τ (l + 1), τ^∗(l + 1) = τ (n) = σ(l + 1). Wówczas σ i τ^∗ zaw¦»one do zbioru {k, k + 1, k + 2, ..., l} maj¡ jednakowe obrazy, a wi¦c:

l+1

X

j=k

a_σ(j)=

l

X

j=k

a_τ∗(j)+ a_τ∗(l+1).

Je±li n = l + 1, to τ = τ^∗ i otrzymujemy tez¦ indukcyjn¡. Je±li n ≤ l, to

l

X

j=k

a_τ∗(j)+ a_τ∗(l+1)=

n−1

X

j=k

a_τ∗(j)+ a_τ∗(n)+

l

X

j=n+1

a_τ∗(j)+ a_τ∗(l+1)

=

n−1

X

j=k

a_{τ (j)}+ a_{τ (l+1)}+

l

X

j=n+1

a_{τ (j)}+ a_{τ (n)} =

l+1

X

j=k

a_{τ (j)},

i równie» otrzymujemy tez¦ indukcyjn¡. Na mocy zasady indukcji teza prawdziwa jest zawsze.

Powy»sze twierdzenie pozwala dla dowolnego sko«czonego zbioru T zdeniowa¢ sum¦ liczb a_t, t ∈ T , jako

X

t∈T

a_t=

l

X

j=k

a_σ(j)

dla dowolnej funkcji ró»nowarto±ciowej i na σ : {k, k + 1, k + 2, ..., l} → T . Zauwa»my, »e

X

t∈{k, k+1, ..., l}

a_t =

l

X

j=k

a_j

Twierdzenie. Je±li zbiory Ak, A_k+1, A_k+2, ..., A_l s¡ sko«czone i parami rozª¡czne, za± A oznacza sum¦ tych zbiorów, to

l

X

j=k

X

t∈A_j

a_t=X

t∈A

a_t.

Dowód. Indukcja wzgl¦dem l; jedyna trudno±¢ to równo±¢

X

t∈B

a_t+X

t∈C

a_t= X

t∈B∪C

a_t

dla dowolnych rozª¡cznych zbiorów sko«czonych B oraz C. Aby j¡ udowodni¢, wystarczy rozwa»y¢ do- wolne funkcje ró»nowarto±ciowe i na σB : {1, 2, 3, ..., n} → B oraz σC : {1, 2, 3, ..., m} → C, okre±li¢

σ : {1, 2, 3, ..., n + m} → B ∪ C wzorem σ(j) = σB(j) dla j ≤ n, σ(j) = σC(j − n) dla j > n i skorzysta¢

z wªasno±ci sum uogólnionych.

(3)

Twierdzenie. Zachodzi

l

X

i=k i

X

j=k

a_i,j =

l

X

j=k l

X

i=j

a_i,j = X

(i,j)∈T

a_i,j,

gdzie T = {(i, j) : k ≤ i ≤ j ≤ l}.

Dowód. Teza wynika wprost z poprzedniego twierdzenia.

Przykªad 2. Wykorzystuj¡c powy»sze twierdzenie, mo»emy wyznaczy¢ warto±¢ sumy:

n

X

i=1

i 2ⁱ =

n

X

i=1 i

X

j=1

2ⁱ =

n

X

j=1 n

X

i=j

2ⁱ =

n

X

j=1

(2ⁿ⁺¹− 2^j)

= n 2ⁿ⁺¹−

n

X

j=1

2^j = n 2ⁿ⁺¹− 2ⁿ⁺¹+ 2 = (n − 1) 2ⁿ⁺¹+ 2.

Twierdzenie (sumy teleskopowe). Zachodzi

n

X

j=1

(a_j+1− a_j) = a_n+1− a₁. Dowód. Indukcja wzgl¦dem n.

Przykªad 3. Zachodzi

n

X

j=1

1 j (j + 1) =

n

X

j=1

1 j − 1

j + 1

= 1 − 1

n + 1 = n n + 1.

Twierdzenie (wzór sumacyjny Abela, sumowanie przez cz¦±ci). Zachodzi

l

X

j=k

aj(bj+1− bj) = (al+1bl+1− akbk) −

l

X

j=k

(aj+1− aj) bj+1. Dowód. Indukcja wzgl¦dem l.

8 Szeregi liczbowe

Denicja. Niech (an) b¦dzie dowolnym ci¡giem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach a_n (oznaczenie P_na_n) nazywamy ci¡g sum cz¦±ciowych

An =

n

X

j=1

aj.

Szereg oznaczamy P_na_n. Szereg P_na_nnazywamy zbie»nym, je±li ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu jest zbie»ny. W takim przypadku granic¦ nazywamy sum¡ szeregu:

∞

X

n=1

a_n= lim

n→∞A_n = lim

n→∞

n

X

j=1

a_j, a ci¡g (rn) dany wzorem

r_k =

∞

X

n=1

a_n

!

− A_k=

∞

X

j=k+1

a_n nazywamy ci¡giem reszt szeregu P_na_n.

Je±li zbie»ny jest szereg P_n|a_n|, to szereg P_na_n nazywamy bezwzgl¦dnie zbie»nym.

Je±li zbie»ny jest szereg P_na_n, ale szereg P_n|a_n| jest rozbie»ny, to mówimy, »e P_na_n jest warunkowo zbie»ny.

(4)

Uwaga. Tak jak w przypadku ci¡gów, mo»emy rozwa»a¢ szeregi P_nan, gdzie (an)jest ci¡giem o indeksach n = k, k + 1, k + 2, ... dla pewnego k.

Przykªad 4. Szereg P_n1 jest rozbie»ny, bowiem jego n-ta suma cz¦±ciowa wynosi n.

Przykªad 5. Szereg harmoniczny P_n_n¹ jest rozbie»ny. W istocie, niech Hn b¦dzie ci¡giem sum cz¦±ciowych P_n_n¹. Wówczas H2ⁿ ≥ ⁿ₂. W istocie, wzór ten prawdziwy jest dla n = 0 i ponadto

H₂ⁿ⁺¹ =

2ⁿ⁺¹

X

j=1

1 j =

2ⁿ

X

j=1

1 j +

2ⁿ⁺¹

X

j=2ⁿ+1

1 j ≥ n

2 +

2ⁿ⁺¹

X

j=2ⁿ+1

1 2ⁿ⁺¹ = n

2 +1 2.

Zatem podci¡g (H2ⁿ)ci¡gu (Hn)jest rozbie»ny do niesko«czono±ci, przez co równie» (Hn)musi by¢ rozbie»ny.

Przykªad 6. Szereg geometryczny P_nc aⁿ jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy |a| < 1.

Mamy bowiem (dla a 6= 1):

n

X

j=1

c a^j = a c1 − aⁿ 1 − a (dowód indukcja wzgl¦dem n). Gdy |a| < 1, to

∞

X

n=1

c a^j = a c 1 − a. W tym przypadku szereg jest te» bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Przykªad 7. W rozdziale o ci¡gach dowiedli±my, »e szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n²

jest zbie»ny. Jest on te» bezwzgl¦dnie zbie»ny, bowiem ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu P_n¹² jest oczywi±cie rosn¡cy i ponadto wobec nierówno±ci:

n

X

j=1

1

j² ≤ 1 +

n

X

j=2

1

j(j − 1) = 2 − 1 n ≤ 2 jest ograniczony z góry przez 2.

Przykªad 8. Niech a1 = −1, an = ⁽⁻¹⁾_n(n−1)ⁿ⁽²ⁿ⁻¹⁾. Wówczas:

n

X

j=1

a_n = (−1)ⁿ n

(dowód indukcja wzgl¦dem n), a wi¦c szereg P_na_n jest zbie»ny. Z drugiej strony

|a_n| = 2n − 1 n(n − 1) ≥ 1

n,

zatem sumy cz¦±ciowe P_n|a_n| s¡ wi¦ksze od sum cz¦±ciowych P_n_n¹. Wobec tego P_na_n nie jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

(5)

Twierdzenie. Je±li szeregi P_nan i P_nbn s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te» szeregi P_nc an, P

n(a_n+ b_n) oraz P_n(a_n− b_n), i zachodzi

∞

X

n=1

c an = c

∞

X

n=1

an,

∞

X

n=1

(an+ bn) =

∞

X

n=1

an+

∞

X

n=1

bn,

∞

X

n=1

(an− bn) =

∞

X

n=1

an−

∞

X

n=1

bn.

Dowód. Wystarczy skorzysta¢ z wªasno±ci granic ci¡gów oraz sum uogólnionych.

Twierdzenie. Je±li szereg P_na_n jest zbie»ny, to (an) oraz ci¡g reszt (rn) szeregu P_na_n s¡

zbie»ne do zera.

Dowód. Niech (An)b¦dzie ci¡giem sum cz¦±ciowych P_na_n. Zbie»no±¢ rndo zera wynika wprost z denicji zbie»no±ci szeregu. Ponadto

n→∞lim a_n = lim

n→∞(A_n− A_n−1) =

n→∞lim A_n

−

n→∞lim A_n−1

= 0.

To dowodzi twierdzenia.

Twierdzenie (warunek Cauchy'ego zbie»no±ci szeregu). Szereg P_na_n jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy

dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e je±li l ≥ k ≥ N, to

l

X

j=k

aj

< ε.

Dowód. Jest to warunek Cauchy'ego dla ci¡gu sum cz¦±ciowych.

Wniosek (kryterium porównawcze, cz. 1). Je±li |an| ≤ b_n dla prawie wszystkich n oraz szereg P

nb_n jest zbie»ny, to szereg P_na_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Dowód. Wystarczy zauwa»y¢, »e

l

X

j=l

aj

≤

l

X

j=k

|bj|

i skorzysta¢ z warunku Cauchy'ego zbie»no±ci szeregu.

Przykªad 9. Szereg P_n_n!¹ jest zbie»ny, bowiem _n!¹ ≤ 2¹⁻ⁿ, a szereg geometryczny P_n2¹⁻ⁿ jest zbie»ny.

Wniosek. Je±li szereg P_na_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to jest zbie»ny.

Twierdzenie. Je±li an ≥ 0, to P_na_n jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g sum cz¦±ciowych jest ograniczony z góry.

Twierdzenie (kryterium porównawcze, cz. 2). Je±li an ≥ b_n≥ 0 dla prawie wszystkich n oraz P

nb_n jest rozbie»ny (do niesko«czono±ci), to równie» P_na_n jest rozbie»ny.

Przykªad 10. Szereg P_n ^√¹_n jest rozbie»ny, bowiem ^√¹_n ≥ ¹_n, a szereg harmoniczny P_n ¹_n jest rozbie»ny.

Twierdzenie (kryterium o zag¦szczaniu). Dla ka»dego nierosn¡cego ci¡gu liczb nieujemnych (an)i dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ 2 zachodzi

X

n

an jest zbie»ny ⇐⇒ X

n

kⁿakⁿ jest zbie»ny.

(6)

Dowód. Zachodzi bj ≤ aj ≤ cj, gdzie bj= a_kn+1, cj = akⁿgdy kⁿ≤ j < kⁿ⁺¹. Wystarczy zastosowa¢ kryterium porównawcze i to»samo±ci

kⁿ−1

X

j=1

b_j=

n

X

i=1

(kⁱ− kⁱ⁻¹) a_ki =k − 1 k

n

X

i=1

kⁱa_ki,

kⁿ−1

X

j=1

c_j=

n−1

X

i=0

(kⁱ⁺¹− kⁱ) a_ki = (k − 1)

n−1

X

i=0

kⁱa_ki,

które ªatwo udowodni¢ indukcyjnie.

Przykªad 11. Szereg P_n_n¹K jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy K > 1, bowiem szereg zag¦szczony P

n2ⁿ· ₂Kn¹ ma t¦ wªasno±¢.

Przykªad 12. Szereg Pn 1

n(log₂n)^K jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy K > 1, bowiem równowa»nym warunkiem jest zbie»no±¢ zag¦szczonego szeregu Pn2ⁿ₂n(log¹₂2ⁿ)^K =P

n 1 n^K.

Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego). Je±li lim supn→∞

p|an n| < 1, to szereg P_nan jest bezwzgl¦dnie zbie»ny. Je±li lim supn→∞

p|an n| > 1, to szereg P_na_n jest rozbie»ny.

Dowód. Je±li lim supn→∞

p|an _n| < 1, to istnieje K < 1 takie, »e p|aⁿ _n| < K dla prawie wszystkich n. St¡d |an| < Kⁿ dla prawie wszystkich n i z kryterium porównawczego P_na_n jest zbie»ny.

Je±li lim supn→∞

p|an _n| > 1, to ci¡g (an) nie jest zbie»ny do zera, a wi¦c P_na_n nie mo»e by¢ zbie»ny.

Przykªad 13. Szereg P_n ⁿ₂^Kn jest zbie»ny dla dowolnego K ∈ R. Wynika to z równo±ci limn→∞

√n

n^K· 2⁻ⁿ= ¹₂.

Twierdzenie (kryterium d'Alemberta). Je±li lim supn→∞

|a_n+1|

|an| < 1, to szereg P_na_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny. Je±li lim infn→∞

|a_n+1|

|an| > 1, to szereg P_nan jest rozbie»ny.

Dowód. Wobec twierdzenia z cz¦±ci dotycz¡cej ci¡gów, warunki kryterium d'Alemberta impli- kuj¡ odpowiednie warunki z kryterium Cauchy'ego.

Przykªad 14. Szereg P_n²_n!ⁿ jest zbie»ny, bowiem limn→∞ 2ⁿ⁺¹·n!

2ⁿ·(n+1)! = 0.

Twierdzenie (kryterium Abela). Je±li ci¡g (an) jest nierosn¡cy i zbie»ny do zera, a ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu P_nb_n jest ograniczony, to szereg P_na_nb_n jest zbie»ny.

Dowód. Niech (Bn)b¦dzie ci¡giem sum cz¦±ciowych Pnbn, B0= 0. Zaªó»my, »e |Bn| ≤ K. Zachodzi:

n

X

j=1

ajbj =

n

X

j=1

aj(Bj− Bj−1) = an+1Bn−

n

X

j=1

(aj+1− aj) Bj.

Ci¡g an+1Bn jest zbie»ny do zera, natomiast szereg P_n(an+1− an) Bn jest bezwzgl¦dnie zbie»ny:

n

X

j=1

|(aj+1− aj) Bj| ≤ K

n

X

j=1

(aj− aj+1) = K(a1− an+1) ≤ Ka1.

To dowodzi zbie»no±ci P_na_nb_n. Przykªad 15. Szereg Pn

cos n

n jest zbie»ny, bowiem ci¡g sum cz¦±ciowych

n

X

j=1

cos j = sinⁿ⁺¹₂ cosⁿ₂ sin¹₂

jest ograniczony. Dowód indukcyjny powy»szej to»samo±ci wykorzystuje równo±¢

sinⁿ₂cos ⁿ₂−¹₂ + cos ⁿ₂ +ⁿ₂ sin¹₂ = sin ⁿ₂ +¹₂ cosⁿ₂, któr¡ ªatwo mo»na dowie±¢ rozwijaj¡c funkcje trygonometryczne sum i ró»nic k¡tów.

(7)

Wniosek (twierdzenie Leibniza). Je±li (an)jest nierosn¡cym ci¡giem zbie»nym do zera, to szereg Pn(−1)ⁿan

jest zbie»ny.

Przykªad 16. Szereg anharmoniczny P_n⁽⁻¹⁾_nⁿ jest zbie»ny.

Twierdzenie. Suma szeregu bezwzgl¦dnie zbie»nego nie zale»y od porz¡dku wyrazów. Inaczej mówi¡c, je±li bn = a_σ(n) dla pewnej bijekcji σ : N → N, a szereg P_na_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to równie» P_nb_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i oba szeregi maj¡ t¦ sam¡ sum¦.

Dowód. Oznaczmy przez A sum¦ szeregu P_na_n. Ustalmy ε > 0 i niech N b¦dzie tak du»e, »e P∞

n=N +1|a_n| < ε. Niech M b¦dzie najwi¦ksz¡ z liczb σ⁻¹(n) dla n = 1, 2, ..., N. Wówczas dla n ≥ M zachodzi

n

X

j=1

b_j − A

≤

N

X

j=1

a_j − A

+

∞

X

j=N +1

|a_j| < 2ε.

To dowodzi tezy twierdzenia.

Twierdzenie (wersja twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej). Je±li |an,k| ≤ cn

dla wszystkich n, k oraz pewnego zbie»nego szeregu P_nc_n, i ponadto limk→∞a_n,k = b_n, to

lim

k→∞

∞

X

n=1

a_n,k =

∞

X

n=1

b_n.

Dowód. Poniewa» |an,k− bn| ≤ |an,k| + |bn| ≤ 2cn, wi¦c:

|f (x) − f (x_k)| ≤

∞

X

n=0

|a_n,k− b_n| ≤

N

X

n=0

|a_n,k− b_n| + 2

∞

X

n=N +1

c_n.

Przechodz¡c do granicy k → ∞ otrzymujemy

lim sup

k→∞

|f (x) − f (xk)| ≤ 2

∞

X

n=N +1

cn.

Poniewa» szereg P_ncn jest zbie»ny, liczba po prawej stronie mo»e by¢ dowolnie maªa. To dowodzi twierdzenia.