SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 8, 2013-12-06
Twierdzenie: Niech dana będzie funkcja f : (a, b) → R różniczkowalna na (a, b) taka, że f0(x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy funkcja f jest stała: f (x) = C , ∀x ∈ (a, b) .
Uwaga 1: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste: ( C0 = 0).
Uwaga 2: Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego przedziału. W końcach przedziału wy- starczy założyć ciągłość. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem twierdzenie nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja o dziedzinie D = (−1, 0) ∪ (0, 1) zdefiniowana:
f (x) =
( 1 dla x ∈ (0, 1)
−1 dla x ∈ (−1, 0)
Ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą zero, a nie jest to funkcja stała.
Przykład: Pokazać, że: arc sin x + arc cos x = π Niech f (x) = arc sin x + arc cos x 2
Dziedzina funkcji D =< −1 , 1 > , funkcja jest ciągła.
Obliczamy pochodną:
f0(x) = 1
√1 − x2 + −1
√1 − x2 = 0 dla x ∈ (−1 , 1) Wynika stąd, że f jest stała na przedziale (−1 , 1) .
Ponieważ f jest ciągła na przedziale < −1 , 1 > więc jest stała na przedziale < −1 , 1 >
f (x) = C
Obliczamy stałą:
C = f (0) = arc sin 0 + arc cos 0 = 0 + π 2 = π Stąd: 2
f (x) = π
2 dla x ∈< −1 , 1 >
Definicja: Funkcja f : D → R jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy:
(∀x1, x2 ∈ D) x2 > x1 =⇒ f (x2) > f (x1)
Definicja: Funkcja f : D → R jest słaborosnąca (lub niemalejąca) wtedy i tylko wtedy, gdy:
(∀x1, x2 ∈ D) x2 > x1 =⇒ f (x2) f (x1)
Uwaga 1: Analogicznie definiujemy funkcję malejącą i słabomalejącą (nierosnącą)
Uwaga 2: Funkcje rosnące i malejące nazywamy funkcjami monotonicznymi. Funkcje sła- borosnące i słabomalejące nazywmamy funkcjami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: Badanie monotoniczności
Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na (a, b) taka, że f0(x) > 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy funkcja f jest rosnąca na < a, b >.
Dowód: Weźmy dowolone x1, x2 ∈< a, b > takie, że x1 < x2 . Z twierdzenia Lagrange’a na przedziale < x1, x2 > mamy:
f (x2) − f (x1) = f0(c)(x2− x1) dla pewnego c ∈< x1, x2 >
Widać, że prawa strona jest dodatnia. Wynika stąd:
f (x2) > f (x1)
Wobec dowolności x1, x2 oznacza to, że funkcja f jest rosnąca na < a, b >
Uwaga 1: Jeżeli warunek f0(x) > 0 zastąpimy warunkiem f0(x) 0 to funkcja f będzie słaborosnąca. Ale jeżeli zbiór punktów zerowych pochodnej nie będzie zawierał żadnego przedziału to funkcja f będzie rosnąca.
Uwaga 2: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste. Jeśli funkcja jest słaborosnąca to f0(x) 0.
Uwaga 3: Bardzo ważnym założeniem jest to, że dziedzina funkcji jest przedziałem. Dla innych dziedzin teza nie musi być prawdziwa.
1
Uwaga 4: Analogiczne twierdzenie można sformułować dla f0(x) < 0 . Wtedy funkcja jest malejąca.
Przykład: Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x3− 3x Dziedziną funkcji f jest D = (−∞, ∞)
Obliczamy pochodną f0(x) = 3x2 − 3 . Pochodna istnieje na całej dziedzinie, czyli f jest różniczkowalna.
Rozwiązujemy nierówność f0(x) > 0 3x2− 3 > 0
(x − 1)(x + 1) > 0 x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) Wniosek:
f jest rosnąca na przedziale: (−∞, −1 >
f jest rosnąca na przedziale: < 1, −∞)
Uwaga: Funkcja nie musi być (i zwykle nie jest) rosnąca na sumie tych przedziałów!
Nierówność f0(x) < 0 jest prawdziwa dla x ∈ (−1, 1) a więc funkcja jest malejąca na prze- dziale < −1, 1 >
Ekstrema funkcji
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ D minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x0 takie, że:
∀(x ∈ O ∩ D) f (x) f (x0)
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ D minimum lokalne właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x0 takie, że:
∀(x ∈ O ∩ D) x 6= x0 =⇒ f (x) > f (x0)
Uwaga 1: Analogicznie definiujemy maksimum lokalne i maksimum lokalne właściwe.
Uwaga 2: Ekstremum lokalne jest to minimum lokalne lub maksimum lokalne.
Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ int D ekstremum lokalne i istnieje f0(x0) to f0(x0) = 0 .
Uwaga: Punkt x0 ∈ int D taki, że f0(x0) = 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f (x).
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 1: Jeżeli funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ int D drugą pochodną oraz f0(x0) = 0 i f00(x0) > 0 to funkcja f ma w x0 minimum lokalne właściwe.
Jeśli f0(x0) = 0 i f00(x0) < 0 to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 2: Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ int D oraz ma pochodną f0(t) dla t ∈ O \ {x0} dla pewnego otoczenia O punktu x0 oraz dla t ∈ O zachodzi
f0(t) < 0 dla t < x0 oraz f0(t) > 0 dla t > x0 to funkcja f ma w x0 minimum lokalne właściwe.
f0(t) > 0 dla t < x0 oraz f0(t) < 0 dla t > x0 to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne właściwe.
Uwaga: Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z badania przedziałów monotoniczno- ści funkcji.
Przykład 1: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x3− 3x
2
Z badania przedziałów monotoniczności tej funkcji (przykład poprzedni) wynika, że funkcja ta ma maksimum lokalne w punkcie x = −1 i minimum lokalne w punkcie x = 1.
Przykład 2: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = xe−2x2 Dziedzina f : D = (−∞, ∞) jest zbiorem otwartym.
f0(x) = e−2x2− 4x2e−2x2 = (1 − 4x2)e−2x2 Pochodna istnieje na całej dziedzinie.
Rozwiązujemy równanie f0(x) = 0 (1 − 4x2)e−2x2 = 0
x = ±1 2
Z warunku koniecznego wynika, że dla x 6= ±1
2 funkcja nie ma ekstremów. Badamy, czy funkcja ma ekstremum w punkcie x = 1
2 korzystając z warunku dostatecznego. Obliczamy:
f00(x) = −8xe−2x2 − 4x(1 − 4x2)e−2x2 = −4x(3 − 4x2)e−2x2 druga pochodna istnieje na całej dziedzinie.
f00(1
2) = −2 · 2 · e−12 < 0
a więc funkcja f ma w punkcie x = 1
2 maksimum lokalne.
Badamy punkt x = −1 2 f00(−1
2) = 2 · 2 · e−12 > 0
a więc funkcja f ma w punkcie x = −1
2 minimum lokalne.
Przykład 3: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x√ 2 − x2 Dziedzina f : D =< −√
2,√ 2 >
f0(x) =√
2 − x2+ x −2x 2√
2 − x2 = 2(1 − x2)
√2 − x2 D = (−√
2,√ 2)
W punktach x ∈ D \ D0 = {−√ 2,√
2} funkcja jest ciągła.
Badamy znak pierwszej pochodnej:
f0(x) > 0 2(1 − x2)
√2 − x2 > 0 1 − x2 > 0 x ∈ (−1, 1)
Analogicznie: f0(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−√
2, −1) ∪ (1,√ 2) Stąd f jest:
malejąca na przedziale < −√
2, −1 >
rosnąca na przedziale < −1, 1 >
malejąca na przedziale < 1,√ 2 >
Wniosek: f ma minimum lokalne w punktach x = −1 oraz x =√
2, oraz maksimum lokalne w punktach x = −√
2 oraz x = 1
3
