Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Krzywe i płaty Béziera

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Krzywe i płaty Béziera

Aleksander Denisiuk

Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski

Olsztyn, ul. Słoneczna 54

denisjuk@matman.uwm.edu.pl

Krzywe i płaty Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm

Krzywe Béziera

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Krzywe Béziera

◦ Pierre Bézier — Renault: 1968, 1974

◦ Paul de Casteljau — Citroën: 1959, 1963

• B-splajny (Isaac Jacob Schoenberg 1946)

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

q(u)

p

0

p

1

p

2

p

3

Figure VII.1: A degree three Bezier urve q(u). The urve is parametri ally

dened with 0  u  1, and it interpolates the rst and last ontrol points with

q(0) = p

0

and q(1) = p

3

. The urve is \pulled towards" the middle ontrol

points p

1

and p

2

. At p

0

, the urve is tangent to the line segment joining p

0

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0 p

1

p

2 p

3

p

0

p

1

p

2

p

3

Figure VII.2: Two degree three Bezier urves, ea h dened by four ontrol

points. The urves interpolate only their rst and last ontrol points, p

0

and

p

3

. Note that, just as in gure VII.1, the urves start o, and end up, tangent

to line segments joining ontrol points.

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• q(u) = B ₀ (u)p ₀ + B ₁ (u)p ₁ + B ₂ (u)p ₂ + B ₃ (u)p ₃ , ^gdzie

◦ B i (u) = ³ _i
u ⁱ (1 − u) ³⁻ⁱ — wielomiany Bernsteina,

◦ _m ⁿ

= C _n ^m = _{m !(n−m)!} ^n! — symbol Newtona

◦ B ₀ (u) = (1 − u) ³ , B ₁ (u) = 3u(1 − u) ²

◦ B ₂ (u) = 3u ² (1 − u), B ₃ (u) = u ³

◦

P 3 i =0

B i (u) = ^{P 3}

i =0 3

i

u ⁱ (a − u) ³⁻ⁱ = u + (1 − u)
³ = 1

Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

B

0

B

1

B

2 B

3 1

1 0

y

u

Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

B ₀ ^′ (0) = −3, B ₁ ^′ (0) = 3, B ₂ ^′ (0) = 0, B ₃ ^′ (0) = 0 B ₀ ^′ (1) = 0, B ₁ ^′ (1) = 0, B ₂ ^′ (1) = −3, B ₃ ^′ (1) = 3

q ^′ (0) = 3(p ₁ − p ₀ ),

q ^′ (1) = 3(p ₃ − p ₂ )

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0

p

1

p

2

p

3 r

0

r

1

r

2

s

0

s

1

t

0

Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve. This illustrates the u = 1=3 ase.

r i = (1 − u) · p i + u · p _i+1 , s i = (1 − u) · r i + u · p i +1 ,

t = (1 − u) · s + us

Algorytm de Casteljau ( u = ¹ ₂ ⁾

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0

p

1

p

2

p

3 r

0

r

1

r

2 s

0

s

1 t

0

q

1

(u) q

2 (u)

Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive

subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p

0

;r

0

;s

0

;t

0

are the

ontrol points for the Bezier urve q

1

(u) whi h is equal to the rst half of the

urve q(u), i.e., starting at p

0

and ending at t

0

. The points t

0

;s

1

;r

2

;p

3 are

the ontrol points for the urve q

2

(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,

starting at t

0

and ending at p

3 .

r i = p i + p _i+1

2 , s i = r i + r _i+1

2 , t ₀ = s ₀ + s ₁ 2 , q(1/2) = t ₀ = 1

8 p ₀ + 3

8 p ₁ + 3

8 p ₂ + 1

8 p ₃

Podział krzywej

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0

p

1

p

2

p

3 r

0

r

1

r

2 s

0

s

1 t

0

q

1

(u) q

2 (u)

Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive

subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p

0

;r

0

;s

0

;t

0

are the

ontrol points for the Bezier urve q

1

(u) whi h is equal to the rst half of the

urve q(u), i.e., starting at p

0

and ending at t

0

. The points t

0

;s

1

;r

2

;p

3 are

the ontrol points for the urve q

2

(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,

starting at t

0

and ending at p

3 .

Twierdzenie 1. Niech q(u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p ₀ ^, p ₁ ^, p ₂ ^, p ₃ ^{. Wtedy} q ₁ (u) = q(u/2) b ˛edzie Krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p ₀ ^, r ₀ , s ₀ ^, t ₀ ^,

q ₂ (u) = q((u + 1)/2) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach t ₀ ^, s ₁ , r ₂ ^,

p ₃ ^.

Zag ˛eszczanie (recursive subdivision)

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0 p

1

p

2

p

3 r

0

r

1

r

2

s

0

s

1

t

0

Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve. This illustrates the u= 1=3 ase.

Twierdzenie 2. Niech q(u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p ₀ ^, p ₁ ^, p ₂ ^, p ₃ ^{. Wtedy} q ₁ (u) = q(u ₀ u) b ˛edzie Krzyw ˛ a Béziera o punktach kontrolnych p ₀ ^, r ₀ , s ₀ ^, t ₀ ^,

q ₂ (u) = q(u ₀ + (1 − u ₀ )u) b ˛edzie krzyw ˛ a Béziera o punktach t ₀ ^,

s ₁ , r ₂ ^, p ₃ ^.

Renderowanie krzywych Béziera w postaci odcinków

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• kq( ¹ ₂ ) − ¹ ₂ (p ₀ + p ₃ )k < ε ^,

• kp ₀ − p ₁ − p ₂ + p ₃ k ² < (8ε/3) ^{2 ,}

• p ₁ , p ₂ ≈∈ p ₀ p ₃

Wła ´sciwo ´s ´c otoczki wypukłej

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Krzywa Béziera zawiera si ˛e w otoczce wypukłej swoich punktów

kontrolnych

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

q

1 (u)

q

2 (u)

p

1;0 p

1;1

p

1;2 p

1;3

= p

2;0 p

2;1

p

2;2

p

2;3

(a)

q

1 (u)

q

2 (u)

p

1;0 p

1;1

p

1;2

p

1;3

= p

2;0 p

2;1

p

2;2

p

2;3

(b)

Figure VII.7: Two urves, ea h formed from two Bezier urves, with ontrol

points as shown. The urve in part (a) is G 1

- ontinuous, but not C 1

-

ontinuous. The urve in part (b) is neither C 1

- ontinuous nor G 1

- ontinuous.

Compare these urves to the urves of gures VII.5 and VII.6 whi h are both

C 1

- ontinuous and G 1

- ontinuous.

q ₁ ^′ (1) = q ₂ ^′ (0) ⇒ p _1,3 − p _1,2 = p _2,1 − p _2,0

Krzywe Béziera dowolnego stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

q(u) =

k

X

i =0

B _i ^k (u)p i

B _i ^k (u) = k i

!

u ⁱ (1 − u) ^k−i ,

k

X

i=0

B _i ^k (u) =

k

X

i=0

k i

!

u ⁱ (1 − u) ^k−i = u + (1 − u)
^k = 1, q ^′ (0) = k(p ₁ − p ₀ ),

q ^′ (1) = k(p k − p k− 1 ).

Krzywe Béziera dowolnego stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

p

0

p

1

(a) Degree one

p

0

p

2 p

1

(b) Degree two

p

0

p

1

p

2

p

3

p

4

p

5

p

6

p

7

p

8

( ) Degree eight

Podwy˙zszenie stopnia

Krzywe Béziera

• ^Splajny

• Krzywe Béziera

• Algorytm de Casteljau

• Krzywe Béziera sklejane

• Krzywe Béziera dowolnego stopnia Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

P ˆ ₀ = P ₀ P ˆ _k+1 = P _k P ˆ i = i

k + 1 P i− 1 + k − i + 1

k + 1 P i

Interpolacja Krzywymi Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC}

Płaty Béziera

Zagadnienie interpolacji

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• ^{Dane s ˛ a punkty} p ₀ , . . . , p m i w ˛ezły u ₀ , . . . , u m .

• Okre´sli´c parametryzowan ˛ a krzyw ˛ a q(u) ^{tak, ˙zeby} q(u i ) = p i

dla i = 0, . . . , m ^.

• Krzywa odcinkowo-wielomianowa (trzeciego stopnia).

• Sklejanie krzywych Béziera.

Splajny Catmulla-Roma

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Dane s ˛ a punkty P ₀ , . . . , P m i w ˛ezły u i = i ^dla i = 0, . . . , m ^.

• Okre´sli´c parametryzowan ˛ a krzyw ˛ a q(u) ^{tak, ˙zeby} q(i) = P i

dla i = 1, . . . , m − 1 ^.

• Krzywa Catmull-Rom składa si ˛e z m − 2 krzywych Béziera.

• Punkty kontrolne wybiera si ˛e tak, ˙zeby krzywa była klasy C ^{1 .}

Splajny Catmulla-Roma

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

p

i 1 p

i p

i

p +

i

p

i+1

p

i+1

p +

i+1

p

i+2 2l

i+1

2l

i

Figure VII.22: Dening the Catmull-Rom spline segment from the point p

i

to the point p

i+1

. The points p

i , p

i

, and p +

i

are ollinear and parallel to

p

i+1 p

i 1

. Thepoints p

i , p

+

i , p

i+1

, and p

i+1

form the ontrol points of a

degree threeBezier urve, whi hisshown asadotted urve.

l i = 1

2 (p i +1 − p i− 1 ), p ^± _i = p i ± 1

3 l i

Syngularno ´s ´c splajnu Catmulla-Roma

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

p

0 p

1

p

2

p

3

p

4

p

5

p

0

p

1

p

2 p

3 p

4 p

5

p

6

p

7

Figure VII.23: Two examples of Catmull-Rom splines with uniformly spa ed

knots.

Splajny Bessela-Overhausera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Parameter u ≈ długo´sci ci ˛eciwy.

• u _i+1 − u i = kp _i+1 − p i k ^.

Metoda Bessela-Overhausera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• v _{i +} ¹

2 = _u ^{p i +1 − p i}

i +1 − u i , i = 0, . . . , m − 1 ^.

• v i = ^(u

i +1 − u i )v

i− 1 2

+(u ⁱ − u _i−1 )v _{i + 1}

2

u i +1 − u _i−1 , i = 1, . . . , m − 1 ^.

• p ⁻ _i = p i − ¹ ₃ (u i − u i− 1 )v i , i = 1, . . . , m − 1 ^.

• p ⁺ _i = p i + ¹ ₃ (u i +1 − u i )v i , i = 1, . . . , m − 1 ^.

• Krzywa Béziera o punktach kontrolnych p i , p ⁺ _i ^, p ⁻ _{i +1} ^, p _i+1 ^,

i = 1, . . . , m − 1 ^.

Splajn Bessela-Overhausera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

p

0 p

1

p

2

p

3

p

4

p

5

p

0

p

1

p

2 p

3 p

4 p

5

p

6

p

7

Figure VII.24: Two examples of Overhauser spline urves. The knot positions

were set by hord-length parameterization. These are dened from exa tly the

same ontrolpoints as the Catmull-Rom urves in gureVII.23.

Przykład

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• p ₀ = p ₁ = (0, 0) ^, p ₂ = (10, 0) ^, p ₃ = p ₄ = (10, 1) ^,

• u ₀ = 0 ^, u ₁ = 1 ^, u ₂ = 2 ^, u ₃ = 2,1 ^, u ₄ = 3,1 ^.

p

0

=p

1

p

2 p

3

=p

4 y

x

Figure VII.25: The Overhauser spline whi h is the solution to exer ise VII.24.

Splajn Bessela-Overhausera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

Twierdzenie 3. Splajn Bessela-Overhausera jest krzyw ˛ a klasy C ^{1 .}

Twierdzenie 4. Niech dane b ˛ed ˛ a punkty p ₀ , . . . , p m i w ˛ezły

u ₀ , . . . , u m . Niech f i (u) b ˛edzie wielomianem kwadratowym, taklim

˙ze f i (u i− 1 ) = p i− 1 , f i (u i ) = p i , f i (u i +1 ) = p i +1 dla

i = 1, . . . , m − 1 ^.

Wtedy

q i (u) = (u i +1 − u)f i (u) + (u − u i )f i +1 (u) u i +1 − u i

zgadza si ˛e ze splajnem Bessela-Overhausera na odcinku [u i , u _i+1 ] ^.

Splajn TBC

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Tension-Bias-Continuity, (Napi ˛ecie-Skos-Gładko´s´c).

• Wpływ na punkty kontrolne p ^± _i ^.

• Pochodne w ko ´ncach przedziału:

Dq _i ⁻ = lim u→u i − q (u ⁱ )−q(u)

u i − u = 3(p i − p ⁻ _i ) ^, Dq _i ⁺ = lim u→u i + q(u)−q(u ⁱ )

u−u i = 3(p ⁺ _i − p i ) ^.

• p ⁺ _i = p i + ¹ ₃ Dq _i ^{+ ,} p ⁻ _i = p i − ¹ ₃ Dq _i ^{− .}

• Catmull-Rom: Dq _i ⁻ = Dq _i ⁺ = ¹ ₂ v _i− ¹

2 + ¹ ₂ v _i+ ¹

2

, gdzie

v _i− ¹

2 = p i − p i− 1 .

Napi ˛ecie t

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• t < 1 , (Catmull-Rom t = 0 ^).

• Dq _i ⁻ = Dq _i ⁺ = (1 − t) ^{ 1} ₂ v _i− ¹

2 + ¹ ₂ v _{i +} ¹

2



, gdzie

v _i− ¹

2 = p i − p i− 1 .

t = 1=2 t = 1=2

t = 0 p

0

p

1

p

5

p

6

Figure VII.26: The ee ts of the tension parameter.

Gładko ´s ´c c

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Dla krzywej klasy C ^{1 parametr} c = 0 ^.

• ^Dla −1 6 c < 0 pochodnia w u i nie jest ci ˛ agła.

• Dq _i ⁻ = ^1−c ₂ v _i− ¹

2 + ^1+c ₂ v _{i +} ¹

2

, Dq _i ⁺ = ^1+c ₂ v _i− ¹

2 + ^1−c ₂ v _{i +} ¹

2

, gdzie v _i− ¹

2 = p i − p i− 1 .

= 1=2

= 1

= 0 p

0

p

1

p

5

p

6

Figure VII.27: The ee ts of the ontinuity parameter.

Skos b

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Dq _i ⁻ = Dq _i ⁺ = ^1+b ₂ v _i− ¹

2 + ^1−b ₂ v _{i +} ¹

2

,

• gdzie v _i− ¹

2 = p i − p _i−1 ^.

b = 1=2 b= 1=2

b = 0 p

0

p

1

p

5

p

6

Figure VII.28: The ee ts of the bias parameter.

TCB

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

• Bessel-Overhauser

• ^{Splajn TBC} Płaty Béziera

• Dq _i ⁻ = (1−t)(1−c)(1+b)

2 v _i− ¹

2 + (1−t)(1+c)(1−b)

2 v _i+ ¹

2

,

• Dq _i ⁺ = (1−t)(1+c)(1+b)

2 v _i− ¹

2 + (1−t)(1−c)(1−b)

2 v _{i +} ¹

2

,

• ^gdzie v _i− ¹

2 = p i − p _i−1 ^.

Płaty Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

Powierzchnie Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p

0;0

p

3;0 p

0;3

p

3;3

Powierzchnie Béziera trzeciego stopnia

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

q(u, v) =

3

X

i=0 3

X

j =0

B i (u)B j (v)p i,j =

=

3

X

i=0



 B i (u)

3

X

j =0

B j (v)p i,j



 =

=

3

X

j=0

B j (v)

3

X

i=0

B i (u)p i,j

!

,

(u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1]

Przekrój powierzchni Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

Figure VII.12: A degree three Bezier pat h and some ross se tions. The ross

se tions are Bezier urves.

• q(u, v) = ^{P 3}

i=0

B i (u) ^{P 3}

j =0

B j (v)p i,j

!

• r i = ^{P 3}

j =0

B j (v)p i,j , s j = ^{P 3}

i =0

B i (u)p i,j

Graniczne linie powierzchni Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p

0;0

p

3;0 p

0;3

p

3;3

Figure VII.11: A degree three Bezier pat h and its ontrol points. The ontrol

points are shown joined by straight line segments.

• v = 0, u ∈ [0, 1] : granica „przednia”, p i, 0

• u = 0, v ∈ [0, 1] : granica „lewa”, p _0,j

Pochodne cz ˛ astkowe powierzchni Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

∂q

∂v (u, 0) =

3

X

i=0

3B i (u)(p i, 1 − p i, 0 )

∂q

∂v (u, 1) =

3

X

i =0

3B i (u)(p i, 3 − p i, 2 )

∂q

∂u (0, v) =

3

X

i =0

3B j (v)(p _1,j − p _0,j )

∂q

∂v (1, v) =

3

X

i =0

3B j (v)(p _3,j − p _3,j )

Sklejane powierzchnie Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p

0;0 p

0;3

p

3;0

= r

0;0 p

3;3

= r

0;3

r

3;0 r

3;3

q

1

q

2

Wymierne krzywe Béziera

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p i = (x : y : z : w) ^,

q(u) = ^X

i

B _i ^k (u)p i

• współrz ˛edna w pozwala na powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego

• modelowanie krzywych sto˙zkowych

• rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzyw ˛ a wymiern ˛ a

• punkty kontrolne mog ˛ a by´c umieszczone w niesko ´nczono´sci

Powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

43 / 49

q(u) = ^X

i

B _i ^k (u)(w i p i : w i ) ∼ ^X

i

w i B _i ^k (u)

P

j w j B _i ^k (u) p i

hp

0

;1i h3p

1

;3i

h 1

3 p

2

; 1

3 i hp

3

;1i

Figure VII.16: A degree three, rational Bezier urve. The ontrol points are

the same as in the left-hand side of gure VII.2 on page 156, but now the

Okr ˛ ag

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p

0

= h0;1;1i

p

2

= h0; 1;1i

p

1

= h1;0;0i q(u)

Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is

a tually a point at innity, and the dotted lines joining it to the other ontrol

points are a tually straight and are tangent to the ir le at p

0

and p

2

q(u) = (1 − u) ² p ₀ + 2u(1 − u)p ₁ + u ² p ₂ =

= 2u(1 − u) : (1 − u) ² − u ² : (1 − u) ² + u ²
∼

∼ 2u(1 − u)

(1 − u) ² + u ² , (1 − u) ² − u ² (1 − u) ² + u ²

!

Krzywe sto˙zkowe

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

Twierdzenie 5. Niech T ₀ ⁱ T ₂ ^{b ˛ed ˛} a stycznymi do krzywej

sto˙zkowej C ^{w punktach} p ₀ ⁱ p ₂ ^, p ₁ b ˛ezie punktem przeci ˛ecia T ₀

i T ₂ . Wtedy istnieje waga w > 0 taka, ˙ze wymierna krzywa Béziera o punktach kontrolnych (p ₀ : 1) ^, (p ₁ : w) ^, (p ₂ : 1) generuje odcinek krzywej C ^{pomi ˛edzy} p ₀ ^a p ₂ ^.

p

0

p

1

p

2 T

0

T

2

Krzywe sto˙zkowe

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

p

2

= h0;1i;

w

2

= 1

p

1

= h1;1i;

w

1

= p

2

2

p

0

= h1;0i;

w

0

= 1

p

2

= h p

3

2

; 1

2 i;

w

2

= 1

p

0

= h p

3

2

; 1

2 i;

w

0

= 1 p

1

= h0;2i;

w

1

= 1

2

Figure VII.19: Two ways to dene ir ular ar s with rational Bezier urves

without ontrol points at innity.

Półokr ˛ ag jako krzywa trzeciego stopnia

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

Okr ˛ ag o promieniu 2

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

(p ₀ , p ₁ , p ₂ ) 7→ (p ^∗ ₀ = M p ₀ , p ^∗ ₁ = M p ₁ , p ^∗ ₂ = M p ₂ )

p

0

= h0;1;1i

p

2

= h0; 1;1i

p

1

= h1;0;0i q(u)

Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is

a tually a point at innity, and the dotted lines joining it to the other ontrol

points are a tually straight and are tangent to the ir le at p

0

and p

2 .

Bryła obrotowa

Krzywe Béziera Interpolacja Krzywymi Béziera

Płaty Béziera

• Powierzchnie Béziera

• Wymierne krzywe Béziera

• Bryła obrotowa

h2; 1;0i

h3;0;0i h

3

2

; 1

2

;0i

h2;1;0i

(a) (b)

Figure VII.21: (a) A silhouette of a surfa e of revolution (the ontrol points

are in x;y;z- oordinates). (b) The front half of the surfa e of revolution. This

example is implemented in the SimpleNurbs progam.

(−2 : 1 : 0 : 1) (0 : 0 : 2 : 0) (2 : 1 : 0 : 1) (− ³ ₂ : ¹ ₂ : 0 : 1) (0 : 0 : ₂ ³ : 0) ( ³ ₂ : ¹ ₂ : 0 : 1)

(−3 : 0 : 0 : 1) (0 : 0 : 3 : 0) (3 : 0 : 0 : 1)

(−2 : −1 : 0 : 1) (0 : 0 : 2 : 0) (2 : −1 : 0 : 1)