2. Podstawowe informacje o stosowanych modelach materiałów

143

Rozdział XII

Deformacje hipersprężystej kuli obciążonej ciężarem własnym jako test numeryczny zadania kontaktowego

Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI, Cezary AJDUKIEWICZ

1. Wstęp

Hipersprężystość materiałów izotropowych, uzupełniona o prawo kontaktu deformujących się ciał, jest obecnie teorią dość dobrze ugruntowaną teoretycznie.

Odpowiednie sformułowanie wariacyjne tego zadania nie jest zagadnieniem wypukłym, co prowadzi do możliwości wieloznacznych rozwiązań. W pewnych szczególnych przypadkach istnieją dowody o istnieniu rozwiązań zadania kontaktowego, por. [5] i literaturę tam cytowaną. Nie ma jednak w ramach tej teorii rozwiązań analitycznych i konieczne jest stosowanie metod numerycznych.

Podstawowym celem pracy jest zastosowanie wyników teoretycznych zamieszczonych w pracach [3,5] oraz programu metody elementów skończonych (MES) ABAQUS/Standard [1,2]. Stosowane modele materiałów hipersprężystych krótko opisujemy w pkt.2. W pkt.3 podajemy wyniki MES zadania kontaktowego, które proponujemy jako zadanie testowe.

Kulka, wykonana z różnych materiałów hipersprężystych, spoczywa na sztywnym podłożu i deformuje się w wyniku monotonicznie rosnącego obciążenia siłami masowymi.

Dodatkowo, w stosunku do podstawowych równań mechaniki kontinuum i teorii hipersprężystości z uwzględnieniem kontaktu, stosujemy model tarcia Coulomba, tzw. tarcie suche aby opisać interakcje stykających się powierzchni. W ostatnim punkcie pracy formułujemy podstawowe wnioski i program dalszych badań.

2. Podstawowe informacje o stosowanych modelach materiałów

hipersprężystych i ich implementacji numerycznej w programie MES ABAQUS

W pracy [3] podano sposób implementacji numerycznej szerokiej klasy izotropowych materiałów hipersprężystych, które wymagają podania identycznych stałych materiałowych jak w klasycznym liniowym związku Hooke’a. Relacje konstytutywne tych modeli materiałów, w aproksymacji liniowej względem miary odkształcenia Lagrange’a,

144

sprowadzają się do związku Saint-Venanta-Kirchhoffa oraz spełniają podstawowe wymagania teoretyczne hipersprężystości. W celu implementacji zaproponowanych w [3] modeli materiałów zastosowano tzw. procedury użytkownika UHYPER programu ABAQUS/Standard. Podane w [3] modele ściśliwych i mało ściśliwych materiałów hipersprężystych mogą być stosowane dla dowolnie dużych deformacji, czyli także w zadaniach kontaktowych.

Najprostszą klasę ściśliwych izotropowych materiałów hipersprężystych otrzymamy przyjmując założenie upraszczające, że funkcja jednostkowej energii swobodnej (energii sprężystości W (JES)) jest niezależna od drugiego niezmiennika podstawowego tensorów deformacji Cauchy’ego-Greena C i B. Dodatkowo zakładając, że funkcja W jest liniowo zależna od pierwszego niezmiennika podstawowego o postaci, I₁ trCtrB, bez sprzężenia z niezmiennikiemJ  detC detB, otrzymamy następujący potencjał JES:



I

  

J

W _{0 1}3 /2 , (2.1) gdzie 

 

J jest funkcją różniczkowalną względem J i spełniającą wymagania sformułowane w pracy [3]. W funkcji (2.1) ₀ const, jest modułem ścinania oraz ₀ 0. Szczegółową dyskusję modeli o potencjale (2.1) zamieszczono w części II pracy [3]. Modele te mają wspólną cechę, tzn. prowadzą do identycznej funkcji JES w przypadkach deformacji izochorycznej, która jest funkcją JES nieściśliwego materiału neo-Hooke’a (NH) o postaci



1 ³



^/2

0 



 I

W , (2.2) gdzie w (2.2) występuje pierwszy niezmiennik tensorów deformacji izochorycznej Cauchy’ego-Greena. Niezmiennik I₁ trC tr B, wynika z multiplikatywnej dekompozycji tensora gradientów deformacji na część objętościową i izochoryczną. W przypadku materiału nieściśliwego JES nie jest potencjałem i konieczne jest zastosowanie w MES sformułowania hybrydowego (z mnożnikiem Lagrange’a i więzami nieściśliwości J 1).

Przyjmując w potencjale (2.1) różne funkcje 

 

J otrzymamy modele stosowane w literaturze, por. [3]. Na przykład w modelu Simo i Pistera z 1984 roku (SP) podstawiamy funkcję

 

0 ⁰

 

ln ² lnJ 2 J

J 









 , (2.3) gdzie ₀ jest stałą Lamego. Pomiędzy stałymi sprężystości zachodzą identyczne zależności jak w klasycznym związku Hooke’a. W przypadku zerowej funkcji Poissona otrzymamy model idealnej gąbki (IG) (co odpowiada ₀ 0 w (2.3))

 

^J 0^lnJ

 . (2.4) Odpowiednie relacje konstytutywne (zarówno w opisie Lagrange’a jak i Eulera) modeli materiałów NH, SP i IG podane są w pracy [3]. Zamieszczona jest tam także analiza modeli SP i IG oraz potencjalny obszar ich zastosowań w zagadnieniach mechaniki dużych deformacji.

W celu implementacji numerycznej w MES tych modeli, potencjał sprężystości zapisuje się w postaci

 

I J J I

 

J U

W 



 



 

 

 3

, 2 ³ ₁

2 0

1 . (2.5)

145

Struktura procedur UHYPER podana jest w pracy [3], por. także [2], gdzie programuje się w języku FORTRAN tylko odpowiednie pochodne funkcji (2.5) względem niezmienników.

Nie jest konieczne programowanie generatorów tensorowych obiektywnego związku przyrostowego gdyż rozpatrywane modele materiałów mieszczą się w klasie ściśliwych hipersprężystych materiałów izotropowych i sformułowania wariacyjnego stosowanego w programie ABAQUS/Standard.

3. Analiza wybranych wyników MES

W punkcie tym podajemy wyniki zadania, które proponujemy jako test MES zaimplementowanych modeli materiałów hipersprężystych [3] i algorytmów zagadnienia kontaktowego programu ABAQUS/Standard [1,2]. Kulka, wykonana z różnych materiałów hipersprężystych o funkcjach ES podanych w pkt.2, spoczywa na sztywnym podłożu i obciążona jest ciężarem własnym (siłami masowymi). Przyjmujemy jednostkowe wymiary kulki i jednostkową gęstość materiału w konfiguracji początkowej.

W algorytmie przyrostowym parametrem definiującym kolejne konfiguracje zdeformowanej kulki jest monotoniczny przyrost sił masowych. Poszukujemy rozwiązania symetrycznego i zakładamy siatkę modelu MES zdefiniowaną elementami skończonymi o osiowej symetrii (powierzchnia kontaktu jest kołem, ze względu na założoną osiowo symetryczną deformację). Algorytm zadania kontaktowego wymaga zdefiniowania potencjalnych powierzchni kontaktu stykających się ciał. W tym zadaniu są to dwie powierzchnie, tzn. powierzchnia podłoża (modelowana jako nieodkształcalna) oraz powierzchnia odkształcalnej kulki (część brzegu kulki). Stosowaną siatkę (identyczną dla wszystkich rozpatrywanych modeli materiałów) zamieszczono na rys. 3.1.a. Siatka złożona jest z 50 elementów RAX2 (modelujących podłoże), jednego elementu CAX3 i 593 elementów CAX4. Na rys. 3.1.b zamieszczono przykładowo zdeformowaną siatkę MES w konfiguracji końcowej, która odpowiada modelowi materiału NH. W przypadku modeli materiałów PS i IG deformacje kulki są podobne i dlatego ich nie zamieszczamy. Istotnie różne wyniki otrzymujemy w przypadku składowych stanu naprężenia i odkształcenia, co pokazujemy w dalszej części pracy.

a) b)

Rysunek 3.1. Model materiału nieściśliwego NH. Konfiguracje: a) początkowa, b) końcowa

Model materiału NH jest standardowo dostępny w programie ABAQUS. Zauważmy, że zadanie kontaktowe MES jest poprawnie rozwiązane gdyż żaden z elementów nie doznaje niedopuszczalnych deformacji. W danych definiujących materiał NH (oraz SP i IG) przyjęto

0 1

 , przy jednostkowej gęstości w konfiguracji początkowej oraz prostopadłym do

146

sztywnej powierzchni jednorodnym polem przyśpieszenia równym 9.81

 

1 s (skierowanym ^{/ 2} w dół rysunku, przypominamy, że zadanie jest statyczne ze względu na wybór parametru s sterującego algorytmem), co oznacza, że wyniki w naprężeniach są przeskalowane przez moduł ścinania. Dane materiałowe wprowadzamy zgodnie z opcją HYPERELASTIC,NEO HOOKE w przypadku modelu NH oraz opcją HYPERELASTIC,USER,TYPE w sytuacji gdy stosujemy procedurę UHYPER z zaprogramowanymi modelami SP i IG. Tarcie opisujemy stosując opcję FRICTION. W podanych poniżej wynikach testów założono brak możliwości poślizgu stykających się powierzchni.

Przykładowo na rys. 3.2 zamieściliśmy wykresy naprężeń zastępczych Hubera-Misesa w przypadku kulki wykonanej z materiału nieściśliwego NH. W początkowych konfiguracjach ciała największe naprężenia zastępcze występują w pobliżu powierzchni kontaktu, zaś później, ze wzrostem kontaktujących się powierzchni ekstremalne naprężenia zastępcze występują w pewnej odległości od powierzchni kontaktu, por. rys. 3.2.b. Wykresy warstwicowe przemieszczeń w konfiguracji końcowej zamieściliśmy na rys. 3.3.

a) b)

Rysunek 3.2. Model materiału nieściśliwego NH. Wykresy naprężeń zastępczych wg hipotezy Hubera-Misesa w wybranych konfiguracjach zdeformowanej kulki

a) b)

Rysunek 3.3. Model materiału nieściśliwego NH. Wykresy warstwicowe przemieszczeń w konfiguracji końcowej: a) przemieszczenie poziome, b) przemieszczenie pionowe Wyniki numeryczne w naprężeniach są istotnie jakościowo różne dla materiału nieściśliwego NH, ściśliwego SP i modelu idealnej gąbki IG, pomimo, że charakter deformacji jest podobny. Funkcja 

 

^J występująca w modelu SP nie jest funkcją wypukłą

147 i ma dwa miejsca zerowe dla J 1 i ⁰

1 0







e

J , por. [3]. W konsekwencji potencjał tego modelu nie jest funkcją poliwypukłą. Model ten jednak może być z powodzeniem stosowany dla umiarkowanie dużych wydłużeń i skróceń na co wskazują liczne aplikacje MES i przykłady podane w pracy [3]. Tego typu deformacje występują w tym zadaniu. Dlatego poniżej przedyskutujemy podstawowe, charakterystyczne wyniki numeryczne omawianego zadania kontaktowego, także w przypadku materiału ściśliwego SP. Ponieważ funkcja 

 

J może być interpretowana jako funkcja kary w potencjale ES materiału nieściśliwego, to także stosując ten model dla bardzo dużych wartości początkowego modułu ściśliwości objętościowej (w stosunku do modułu ścinania w modelu NH) otrzymujemy rozwiązanie aproksymacyjne dla materiału nieściśliwego bez stosowania sformułowania hybrydowego MES.

a) b)

Rysunek 3.4. Modele materiału ściśliwego. Wykresy naprężeń zastępczych wg hipotezy Hubera-Misesa w końcowych konfiguracjach zdeformowanej kulki: a) model SP K₀ 100₀, b) model IG

a) b)

Rysunek 3.5. Wykresy warstwicowe naprężenia stycznego w konfiguracji końcowej:

a) model NH, b) model idealnej gąbki IG

Przykładowo na rys. 3.4 zamieściliśmy wykresy naprężeń zastępczych Hubera-Misesa w przypadku modelu SP i IG. Rys. 3.4.a obrazuje wyniki dla modelu SP o bardzo małej ściśliwości (wyniki są praktycznie identyczne jak w przypadku modelu NH). W przypadku modelu IG (patrz rys. 3.4.b) ekstremalne naprężenia zastępcze są dla wszystkich rozpatrywanych konfiguracji zdeformowanej kulki w obszarze materiału będącego

148

w bezpośrednim sąsiedztwie kontaktujących się powierzchni, czyli jakościowo odmiennie niż dla materiału NH. Jakościowe różnice w rozwiązaniach widoczne są także na wykresach naprężeń stycznych, patrz rys. 3.5.

Nie podajemy analizy wszystkich uzyskanych wyników dla modelu SP i możliwych danych materiałowych ponieważ przekroczyłby one objętość całego artykułu. Należy tylko zaznaczyć, że wartość współczynnika tarcia ma podobnie jak stała sprężystości ₀ istotny jakościowy wpływ na rozkład pól naprężeń w zdeformowanej kulce.

4. Uwagi końcowe

W hipersprężystości, jako teorii dowolnie dużych deformacji ciała, można poprawnie sformułować zadanie kontaktu ciał deformowalnych. W artykule zastosowano między innymi wyniki teoretyczne prac [3,5] pierwszego autora. Zaproponowano przykład testowy MES zadania kontaktowego i zastosowano program ABAQUS/Standard z zaprogramowanymi własnymi modelami izotropowych materiałów hipersprężystych.

W pracy rozpatrzono stosunkowo prosty test numeryczny, w którym kulka, obciążona monotonicznie rosnącymi siłami masowymi, spoczywa na sztywnym podłożu. Wybór tego testu pozwala na pełną jakościową analizę wyników dla różnych stosowanych modeli materiałów hipersprężystych. Wszystkie zadania przeanalizowano dla modeli materiałów ściśliwych, nieściśliwych, o małej ściśliwości i modelu idealnej gąbki. Wykazano, że jakościowe różnice w rozwiązaniach MES występują głównie w rozkładzie pól naprężeń.

Bibliografia/ References

[1] ABAQUS Theory manual, Version 5.8., Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., Pawtucket, 1998.

[2] ABAQUS/Standard User’s manual, Version 6.1., Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., Pawtucket, 2000.

[3] Jemioło S.: Najprostsze modele hipersprężystości izotropowych materiałów nieściśliwych, mało ściśliwych i nieściśliwych. Część I. Podstawowe relacje konstytutywne, Część II. Specyfikacja funkcji i parametrów materiałowych, Część III. Implementacja numeryczna w MES, Theoretical Foundations of Civil Engineering, Polish-Ukrainian Transactions, W. Szcześniak [ed.], pp. 177- 210, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2002.

[4] Le Tallec P.: Numerical methods for nonlinear three-dimensional elasticity, in: Handbook of Numerical Analysis, Vol. III, P.G. Ciarlet and J.L. Lions [eds], Elsevier Science, Amsterdam, 1994, pp. 465-622.

[5] Telega J.J, Jemioło S.: Polyconvexity for anisotropic elastic materials undergoing finite deformations. Part I. General setting and existence theorem, Part II. Incompressibility, injectivity, internal and boundary unilateral constraints, in: Polish-Ukrainian Transactions „Theoretical Foundations in Civil Engineering”, W. Szcześniak [ed.], pp. 431-450, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2002.

Rozdział w monografii:

Sprężystość i hipersprężystość. Modelowanie i zastosowania,

S. Jemioło [red.],

Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2012

ISBN: 978-83-7814-066-5

Pu­bli­ka­cje­z­serii­wydawniczej­„Mono­- gra­fie­Zakładu­Wytrzymałości­Materia­- łów,­Teorii­Sprężystości­i­Plastyczności”

są­pre­­zen­towne­w­zakładce­„Prace­nau­- ko­we”­na­stronie­internetowej­Oficyny Wy­dawniczej­Politechniki­Warszawskiej:

www.wy­daw­nic­twopw.pl

Ofi­cy­na­Wy­daw­ni­cza­Po­li­tech­ni­ki­War­- szaw­skiej­pro­­­wa­dzi­sprze­daż:

¨

sta­cjo­nar­ną­–­w­księ­gar­niach­OWPW – Gma­ch­Głów­ny­Po­li­tech­ni­ki­War­- szaw­­skiej­przy­Pla­cu­Po­li­tech­ni­ki­1 – ul.­No­a­kow­skie­go­18/20

¨

in­ter­ne­to­wą­–

http://www.wy­daw­nic­twopw.pl

¨

wy­sył­ko­wą­–­tel.­22­234-75-03 fax­22­234-70-60

e-ma­il:­ofi­cy­na@wpw.pw.edu.pl

sp rę ży st oś ć i h ipe rs pr ęż ys to ść . M od elo wa nie i z as tos ow an ia sp rę ży st oś ć i h ipe rs pr ęż ys to ść . M od elo wa nie i z as tos ow an ia

ISBN 978-83-7814-066-5

to m 1 seria Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów, teorii sprężystości i plastyczności

Monografia

pod redakcją naukową stanisława Jemioło Monografia

pod redakcją naukową stanisława Jemioło

sprężystość i hipersprężystość

Modelowanie i zastosowania

sprężystość i hipersprężystość

Modelowanie i zastosowania

seria monografie zakładu wytrzymałości materiałów, Teorii sprężystości i plastyczności

Tom 1

sprężysTość i hipersprężysTość. modelowanie i zasTosowania(pod red. nauk. stanisława Jemioło) Tom 2

zaGadnienia sTaTyKi sprężysTyCh pÓŁprzesTrzeni warsTwowyCh(stanisław Jemioło, aleksander szwed) Tom 3

deFormaCJe i wyTrzymaŁość maTeriaŁÓw i elemenTÓw KonsTrUKCJi(stanisław Jemioło, aleksander szwed) Tom 4

hipersprężysToplasTyCzność(stanisław Jemioło, marcin Gajewski) Tom 5

TermosprężysTość i przepŁyw CiepŁa w maTeriaŁaCh anizoTropowyCh((pod red. nauk. stanisława Jemioło)

Wydzia³ In¿ynierii L¹dowej Politechniki Warszawskiej

Seria wydawnicza Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów,

Teorii Sprężystości i Plastyczności

Tom 1

Warszawa 2016 Seria Monografie Zakładu

Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności

Monografia pod redakcją naukową Stanisława Jemioło

SPrężySTość

I hIPerSPrężySTość

Modelowanie i zastosowania

Publikacja jest I tomem Serii Wydawniczej

„Monografie Zakładu Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności”

Opiniodawcy

Dr hab. inż. Aniela Glinicka, prof. PW Dr hab. inż. Leszek Małyszko, prof. UWM

Redaktor naukowy Stanisław Jemioło

Projekt okładki

Danuta Czudek-Puchalska

©Copyright by Zakład Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2012, 2016

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w Internecie bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich

ISBN 978-83-7814-066-5

Druk i oprawa: Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Warszawskiej, tel. 22 234-55-93 Oficyna Wydawnicza PW, ul. Polna 50, 00-644 Warszawa. Wydanie II uzup. Zam. nr 535/2015

5

Przedmowa do wydania I

Oddana do rąk Czytelników monografia dotyczy sprężystości i hiper- sprężystości. Autorami poszczególnych rozdziałów są pracownicy Zakładu Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności, Instytutu Inżynierii Budowlanej Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej.

Cztery pierwsze rozdziały poświęcone są liniowej teorii sprężystości materiałów izotropowych i anizotropowych. Piąty rozdział dotyczy nieliniowej teorii sprężystości małych przemieszczeń i odkształceń materiałów transwersalnie izotropowych. Kolejne rozdziały od szóstego do czternastego dotyczą hipersprężystości i teorii dużych deformacji.

Zagadnienia prezentowane w monografii są od wielu lat przedmiotem zainteresowań naukowych pracowników Zakładu. Są to zarówno zagadnienia klasyczne, takie jak zagadnienie skręcania prętów pryzmatycznych, wyznaczania trajektorii pól tensorowych naprężeń i odkształceń w tarczach oraz momentów zginających w płytach, jak i implementacje numeryczne nieliniowych relacji konstytutywnych sprężystości w systemie metody elementów skończonych ABAQUS. Dalsze rozdziały dotyczą teorii hipersprężystości, której efektywne zastosowania wiążą się z rozwojem metod numerycznych i możliwości obliczeniowej komputerów. Według opinii autorów podstawową trudnością, która jest niezależna od rozwoju metod numerycznych, jest wybór adekwatnego modelu materiału, określenie parametrów i funkcji materiałowych oraz ich weryfikacja doświadczalna. Wobec tego w monografii uwypuklone są zagadnienia dotyczące teorii relacji konstytutywnych hipersprężystości.

Stanisław Jemioło

Przedmowa do wydania II

W wydaniu drugim monografii dodano pięć rozdziałów, trzy z nich dotyczą sprężystości małych odkształceń, natomiast dwa rozdziały są związane z relacjami konstytutywnymi hipersprężystości materiałów anizotropowych.

Stanisław Jemioło

7

Spis treści

Rozdział I

Swobodne skręcanie prętów pryzmatycznych o przekroju w kształcie wycinka koła albo pierścienia ... 9 Stanisław JEMIOŁO, Aleksander SZWED

Rozdział II

Tarcze i rodzaje anizotropii materiałów liniowo sprężystych ... 35 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział III

Cztery typy płaskiej anizotropii na przykładzie modelu kompozytu włóknistego ... 45 Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI

Rozdział IV

Trajektorie wartości własnych w zagadnieniach płaskich ... 57 Aleksander SZWED, Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI

Rozdział V

Niejednorodne, nieliniowe materiały transwersalnie izotropowe i ich implementacja MES ... 73 Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI

Rozdział VI

Optymalne orientacje materiału ortotropowego ... 83 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział VII

Drgania własne kamertonu jako przykład testowy MES ... 89 Marcin GAJEWSKI, Stanisław JEMIOŁO

Rozdział VIII

Zagadnienia brzegowe 2D liniowej sprężystości materiałów anizotropowych - zastosowanie systemu PDE MATLAB ... 95 Marcin GAJEWSKI, Stanisław JEMIOŁO

Rozdział IX

Najprostsze modele hipersprężystości materiałów izotropowych ... 103 Stanisław JEMIOŁO

8 Rozdział X

Przykłady modeli materiałów ściśliwych i mało-ściśliwych ... 115 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XI

Implementacja numeryczna w MES modeli CNH i MCNH ... 133 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XII

Hipersprężysta kula obciążona własnym ciężarem jako test numeryczny zadania kontaktowego ... 143 Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI, Cezary AJDUKIEWICZ

Rozdział XIII

Ortotropowy materiał Saint-Venanta-Kirchhoffa ... 149 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XIV

Szczególne przypadki ortotropowego materiału SVK ... 161 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XV

Przykłady modeli SVK ... 169 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XVI

Implementacja MES modeli konstytutywnych hipersprężystych materiałów zbrojonych włóknami ... 179 Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI

Rozdział XVII

Symulacja numeryczna i weryfikacja doświadczalna testu rozciągania płaskownika z uwzględnieniem teorii sprężysto – plastyczności dużych deformacji ... 187 Cezary AJDUKIEWICZ, Marcin GAJEWSKI, Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XVIII

Uogólnienia modeli konstytutywnych ortotropowego materiału SVK w płaskich

zagadnieniach hipersprężystości ... 199 Stanisław JEMIOŁO

Rozdział XIX

Porównanie modeli materiałów ortotropowych w zagadnieniach płaskich ... 215 Stanisław JEMIOŁO