Katarzyna Gierej
Długa pamięć w szeregach stóp
zwrotu i w szeregach zmienności
indeksów giełdowych
Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 434-445
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 10
KATARZYNA GIEREJ
DŁUGA PAM IĘĆ W SZEREGACH STÓP ZW ROTU I W SZEREGACH
ZM IENNOŚCI INDEKSÓW G IEŁDOW YCH1
Wstęp
Zjawisko długiej pamięci jest typowe dla procesów klimatyczno- przyrodniczych i zostało zaobserwowane po raz pierwszy przez hydrologa Ha rolda Hursta (Hurst, 1951). Prowadził on badania nad zależnością długookre sową pomiędzy przyrostami poziomu wody w Nilu na przestrzeni lat. Rezultaty jego badań z czasem zostały przeniesione na grunt finansów i ekonomii.
Długa pamięć w szeregach stóp zwrotu lub w szeregach zmienności świad czy o możliwości prognozowania w dalekim horyzoncie czasowym. Teoria ta ma zarówno zwolenników (Fama i French, 1988; Kwiatkowski J., 2002; Fi szeder P., 2005) jak i przeciwników (Goetzman i Jorion, 1993).
Celem tego artykułu jest porównanie wyników badań przeprowadzonych na próbie pochodzącej z rynku finansowego Stanów Zjednoczonych oraz Eu ropy Zachodniej z wynikami uzyskanymi na podstawie danych pochodzących z rynku finansowego w Polsce, pod kątem występowania długiej pamięci w sto pach zwrotu z indeksów giełdowych oraz w szeregach zmienności tych zwro tów. W artykule zastosowano narzędzia testujące istnienie długiej pamięci w wybranej próbie szeregów finansowych, takie jak przeskalowana statystyka R/S zwana inaczej statystyką Lo, semiparametryczny estymator Robinsona oraz semiparametryczny estymator Geweke i Porter-Hudak. Następnie szeregi mode lowano za pomocą modeli ARFIMA i FIGARCH, które pozwalają opisać dłu goterminową zależność danych w celu stwierdzenia występowania lub też braku
długiej pamięci w stopach zwrotu i w szeregach zmienności tych stóp zwrotu. * 33
1 Praca finansowana ze środków na naukę w latach 2007-2010 w ramach projektu NN 111 1256 33
K A T A R Z Y N A G I E R E J 435
Dł u g a p a m i ę ć w s z e r e g a c h ...
Jak już zostało wspomniane wcześniej długa pamięć może być źródłem prognozowalności w długim horyzoncie czasowym. Jest to istotne z tego powo du, że względne koszty transakcyjne w strategiach inwestycyjnych i zabezpie czających są wyższe, gdy strategie te opierają się na prognozach z krótkim ho ryzontem, niż gdy oparte są na prognozach z długim horyzontem czasowym. Procesy z długą pamięcią
Pojęcie pamięci procesu nie jest jednoznaczne w literaturze. W tym artyku le, pod pojęciem procesów z długą pamięcią rozumie się procesy, których funk
cja autokorelacji p ( k) z czasem zanika w tempie hiperbolicznym, a szereg
¥
2 \ p ( k)| jest rozbieżny. To oznacza, że obserwacje występujące w szeregu są k = —¥
ze sobą istotnie skorelowane w długim horyzoncie czasu.
W artykule rozważane są dwa typy procesów z długą pamięcią - proces ARFIMA (Granger i Joyeaux, 1980; Hosking, 1981) oraz FIGARCH (Baillie, 1996). Model ARFIMA jest uogólnieniem modelu ARMA. Pozwala on na opi sanie długookresowej zależności pomiędzy obserwacjami tworzącymi szereg czasowy. Model FIGARCH jest uogólnieniem modelu GARCH i pozwala na opisanie długookresowej zależności pomiędzy kwadratami obserwacji. Model ARFIMA opisuje warunkową wartość oczekiwaną, natomiast model FIGARCH opisuje warunkową wariancj ę.
Model ARFIMA(p, d , q) można przedstawić w postaci:
1(L)(1 — L )d( Rt —m) = 0 (L )s t, (1)
gdzie: L jest operatorem przesunięcia,
l( L ) = 1 — l L — l L2 —... — l Lp, 0(L) = 1 + 01L + 02L +... + 0qLq, L st = £t—s, 1 2 p
d e (— 1, 1), e jest białym szumem.
Proces ARFIM A(p,d , q)jest procesem stacjonarnym, gdy | d |< ^ oraz
pierwiastki równania f ( L ) = Oleżą poza kołem jednostkowym. Jeżeli d e (0,-2-),
to proces ten ma długą pamięć. Funkcja autokorelacji maleje w tym przypadku do zera w tempie hiperbolicznym.
W sytuacji gdy, d = 0 , proces ARFIMA(p, d , q) przyjmuje postać proce
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
geometrycznym. Taki proces charakteryzuje się krótką pamięcią. Jeżeli
d e ( - jr,0) , to proces ma średnią pamięć.
Model FIGARCH zwany inaczej zintegrowanym ułamkowo modelem GARCH został stworzony, aby modelować długookresowe zależności (długą pamięć) w procesach zmienności. Wariancj ę warunkową w modelu FIGARCH można przedstawić w następujący sposób:
= ® [ 1 - b ( L) ] -1 + [l- [ 1 - b ( L) ] -1 f ( L) ( 1 - L )d je2, (2)
gdzie: p(L) = P1L +... + bpLp, f(L ) = 1 - f L - f L 2- . . . - f ^ d e [0,1).
Jeśli d = 0 , to f (L ) = a ( L ) + b(L ) +1 oraz = w + a ( L ) e 2t + f l ( L ) a 2 . Jeśli
d = 1, to a(L ) + b(L ) = 1. Zatem jeżeli d = 0 , to proces jest procesem
GARCH. W przypadku gdy d = 1 mamy do czynienia z procesem IGARCH, w
tej sytuacji występuje własność persystencji, co oznacza że wartości bieżące nieskończenie długo wpływają na prognozy zmienności. Jeżeli mamy do czy nienia z procesem GARCH, który jest stacjonarny w szerszym sensie, to wpływ wartości bieżących (przeszłych) na wartości prognozowane w szeregach zmien ności maleje w tempie wykładniczym, szereg zmienności posiada krótką pa mięć. W procesach FIGARCH wpływ wartości bieżących (przeszłych) zmien ności na wartości prognozowane maleje do zera w tempie hiperbolicznym, a procesy zmienności charakteryzuj ące się tą własnością posiadaj ą długą pamięć.
Procesy opisuj ące średnią i wariancj ę warunkową, których cechy charakte rystyczne zostały opisane powyżej, pozwalają przy użyciu modelowania poka zać czy da się do wybranych szeregów czasowych dopasować istotny model ARFIMA oraz FIGARCH. Możliwość dopasowania takich modeli pozwala przypuszczać że w wybranej próbie danych występuje długa pamięć w szere gach stóp zwrotu i szeregach zmienności.
Do badania istotności długiej pamięci używa się różnego rodzaju narzędzi i testów. W tym artykule przedstawiono wyniki osiągnięte za pomocą takich narzędzi jak przeskalowana statystyka R/S inaczej zwana statystyką Lo, staty styka GPH oraz semiparametryczny estymator Robinsona.
Do wykrywania długookresowej zależności w szeregach czasowych, Lo użył zmodyfikowanej statystyki R/S. Statystyka ta testuje hipotezę zerową o braku długiej pamięci przeciwko alternatywie stwierdzającej jej istnienie. Wzór określający statystykę Lo wygląda następująco:
KATARZYNA GIEREJ Dł u g a p a m i ę ć w s z e r e g a c h ... 437 1 r k — k — 1 (3) QT(q) = ---j= max Z (R, - R) - min Z (R, - R) . ( ) T ST VT L 1£k£Tj=l J 1£k£Tj=r J _
Statystyka ta w literaturze stosowana jest do testowania niestacjonarności sze regów oraz do estymacji parametru integracji ułamkowej d.
Statystyka GPH została zaproponowana przez Geweke i Porter-Hudak. Przedstawili oni semiparametryczną procedurę szacowania zintegrowanego
parametru ułamkowego d opartą na nachyleniu funkcji gęstości spektralnej wo
kół częstości zerowej. Funkcja gęstości spektralnej użyta do oszacowania para
metru d przybiera następującą formę:
f l . ó (4)
ln l ( lj) = p 0 + b iln s in 2 - 2 + h j, ( )
V 2 ) gdzie:. i = 2 p j , j = 1,..., T - 1 .
j T
Oszacowanie współczynnika b , który jest współczynnikiem nachylenia
w równaniu przedstawionym powyżej, jest jednocześnie oszacowaniem para
metru d . Wartość oszacowania parametru integracji ułamkowej otrzymywana
jest z równości d = 1 + d *.
Semiparametryczny estymator parametru d zaproponowany został przez
Robinsona. Estymator ten jest obliczany w oparciu o aproksymację spektrum
procesu. Otrzymywany jest jako rozwiązanie zadania minimalizacji
{C, d} = argm in{L(C , d)} gdzie:
C,d
T(C d) 1 -Z iln(C7-2d) . I(1 j) ] (5)
L(C-d ) = m Z| ln<C1j ) + c i f } ’
aI ( 1 j) jest wartością periodogramu szeregu R t szacowaną dla częstości 2p
harmonicznej 1 j = —- , j = 1,..., m < [ T /2]. Po dokonaniu serii przekształceń
T
postać d wygląda następująco:
3 • [ f 1 ,^ I(1 j) ^ 2 d ^ , ^ ) (6)
d = argmini ln — Z — }--- Z ln 1 } .
d I V mj=1 1 j ) m j=1 j I
Wzory stosowane w części teoretycznej można odnaleźć w pracy Osińskiej M. (2006).
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
Część empiryczna
Do badań przyjęty został okres od 1 stycznia 2004 roku do 30 grudnia 2007 roku. Wybrano 5 indeksów giełdowych. Dwa z tych indeksów, WIG oraz WIG20, reprezentują Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie. Dwa inne, francuski indeks CAC 40 oraz niemiecki DAX, reprezentują giełdy Euro py Zachodniej. Wśród badanych indeksów znalazł się również reprezentant giełdy ze Stanów Zjednoczonych - S&P 500. Wszystkie indeksy były notowane w ciągu okresu, który został przyjęty do badań. Badane szeregi miały około 1000 obserwacji. Długości szeregów mogą się różnić, bowiem poszczególne giełdy na świecie działają według zasad uzależnionych od kalendarza obowią zującego w danym kraju. Badaniom zostały poddane logarytmiczne stopy zwro
tu, które zostały obliczone na podstawie wzoru: R t = 100(ln P t - ln Pt _ 1 ).
Aby badania mogły być przeprowadzone wymagane było założenie, że szeregi logarytmicznych stóp zwrotu są stacjonarne. W celu wyeliminowania jakichkolwiek wątpliwości co do braku istnienia kowariancyjnej stacjonarności w szeregach, przeprowadzono testy Phillipsa-Perrona oraz KPPS. Podobny zestaw testów badających kowariancyjną stacjonarność szeregów został zasto sowany u Doman M., Doman R. (2004). Wszystkie wyniki były jednakowe dla szeregów indeksów giełdowych zarówno w przypadku testu PP, jak i testu KPPS. W przypadku testu PP odrzucona została hipoteza zerowa o niestacjo- narności spowodowana istnieniem pierwiastka jednostkowego, natomiast test KPPS wskazał na brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że szereg jest kowariancyjnie stacjonarny.
Badania empiryczne składaj ą się z dwóch części. Pierwsza część polega na testowaniu zależności długookresowej za pomocą statystyk takich jak: semipa-
rametryczny estymator Robinsona parametru d , statystyka Lo oraz statystyka
GPH. Natomiast druga część polega na zbudowaniu modeli autoregresyjnych
ARFIMA(p , d, q) ze składnikiem losowym opisanym przez proces
FIGARCH(p, d, q) lub IGARCH(p, q ) .
Wyniki testowania istnienia długiej pamięci zostały przedstawione w tabelach 1 i 2. W pierwszej tabeli zaprezentowano wartość estymatora Robin
sona parametru d oraz wartość statystyki Lo dla poszczególnych szeregów. W
drugiej tabeli przedstawiono oszacowania parametru d otrzymane metodą GPH
K A T A R Z Y N A G I E R E J 439
Dł u g a p a m i ę ć w s z e r e g a c h ...
Wyniki przeskalowanej analizy R/S pokazują, że otrzymane wartości staty styk nie są istotne dla stóp zwrotów, o czym świadczą /»-wartości umieszczone w nawiasach. Żadna z /-w artości nie jest niższa od 0,05. Można więc powie dzieć, że według testu Lo w szeregach stóp zwrotu indeksów nie występuje długookresowa zależność. Test Lo odrzucił hipotezę o zależności długookreso
wej we wszystkich przypadkach, natomiast estymator Robinsona parametru d
przyj ął tą hipotezę w trzech przypadkach, w których znacznie różnił się od zera
( |d > 0,07). Indeksy, w których według estymatora parametru d Robinsona
występuje pamięć procesu, to S&P 500, CAC 40, DAX. Wartości estymatora
parametru d są ujemne, co oznacza, że w szeregach występuje „średnia pa
mięć” zgodnie z definicją pamięci procesu przedstawioną w części teoretycznej. Wyniki otrzymane dla kwadratów stóp zwrotu, które reprezentuj ą zmienność szeregów, różnią się od wyników otrzymanych dla zwykłych logarytmicznych stóp zwrotu.
Tabela 1. Wyniki statystyki Lo i oszacowania semiparametrycznego estymatora Robin
sona parametru d (w nawiasach klamrowych podane są /-wartości)
INDEKS Wartość statystyki Lo dla stóp zwrotu Estymator parametru d dla stóp zwrotu Wartość statystyki Lo dla kwadratów stóp zwrotu Estymator parametru d dla kwadratów stóp zwrotu WIG 1,1698 {<0,6} -0,0312 1,7642 {<0,05} 0,1819 WIG20 0,9871 {<0.9} -0,0423 3,6141 {<0,005} 0,3276 S&P 500 0,9192 {<0.95} -0,2191 2,0378 {<0,03} 0,2364 CAC 40 1,0651 {<0.8} -0,128 2,2019 {<0,005} 0,2489 DAX 1.0742 {<0.8} -0,1456 2.0481 {<0.025} 0,1798
Źródło: Opracowanie własne
Wartości statystyki Lo wskazują na istnienie zależności długookresowej dla każdego z indeksów. Wyniki otrzymane za pomocą testu Lo potwierdzone są przez estymator parametru d, którego oszacowania znacznie różnią się od zera. Oszacowania parametru integracji ułamkowej dla każdego z indeksów
zawiera-(0 x)
ją się w przedziale v ’ 2>, co oznacza występowanie długiej pamięci procesu. Obie statystyki wykazuj ą istnienie zależności długookresowej (autokorelacji) w kwadratach stóp zwrotu, co świadczy o występowaniu efektu ARCH. Co praw da literatura opisuje inne testy badające istnienie efektu ARCH takie, jak test Engle’a czy test McLeoda-Li [2], jednak występowanie długookresowej zależ
ności w kwadratach stóp zwrotu pozwala na wnioskowanie o istnieniu efektu ARCH.
Tabela 2. Oszacowanie parametru integracji ułamkowej d metodą GPH (w nawiasach
klamrowych podane są p-wartości)
_________R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E ___________________
INDEKSY Oszacowanie parametru d
dla stóp zwrotu
Oszacowanie parametru d
dla kwadratów stóp zwrotu
WIG -0,0912 {0,2411} 0,0613 {0,055}
WIG20 - 0,0654 {0,3425} 0,0197 {0,5641}
S&P 500 -0,1123 {0,1413} 0,0432 {0,0123}
CAC 40 -0,1198 {0,1091} 0,3124 {0.0000}
DAX -0,1212 {0,0921} 0,0732 {00491}
Źródło: Opracowanie własne.
Metoda Geweke i Porter-Hudak wskazuje, że żadna z oszacowanych war tości parametru integracji ułamkowej nie jest istotna w szeregach stóp zwrotu indeksów giełdowych. Świadczą o tym p-wartości umieszczone w nawiasach, które są większe niż 0,05. Testując kwadraty stóp zwrotu za pomocą statystyki GPH otrzymano bardzo podobne wyniki dla szeregów zmienności jak w przy padku testu Lo i estymatora Robinsona. Jedynie w przypadku WIG20 parametr integracji okazał się nieistotny, p-wartość dla tego szeregu była bardzo wysoka. Rezultaty badań świadczą o tym, że we wszystkich szeregach kwadratów stóp
zwrotu indeksów poza WIG2 0 występuje pamięć procesu, a ponieważ istotne
wartości parametru d są z przedziału (0, 2), mamy do czynienia z długą pamię
cią.
Patrząc na otrzymane wyniki można stwierdzić, że testy nie wykazuj ą ist nienia pamięci procesu w szeregach stóp zwrotu, natomiast wykazuj ą istnienie długookresowej zależności w szeregach zmienności, czyli w kwadratach stóp zwrotu.
Pomimo otrzymanych wyżej wyników świadczących o braku występowa nia pamięci procesu w stopach zwrotu, przeprowadzone modelowanie szeregów doprowadziło do wyłonienia istotnych modeli charakteryzuj ących się długą pamięcią dla średniej warunkowej.
Każdemu z indeksów dopasowano model z długą pamięcią dla średniej
oraz dla wariancji warunkowej. Estymowaną postać modelu ARFIMA( p , d , q)
K A T A R Z Y N A G I E R E J 441
Dł u g a p a m i ę ć w s z e r e g a c h ...
W artykule do modelowania zmienności wykorzystana została specyfikacja modelu FIGARCH Chunga (1999). Przedstawia ona wariancję warunkową w następujący sposób:
f (L)(1 - L )d(et2 - a 2) = [1 - b(L)](et2 - a t2) (7)
Podsumowując, do modelowania średniej użyto modelu ARFIMA(p , d , q ) ,
a do modelowania wariancji warunkowej, czyli zmienności, użyto modelu
FIGARCH(p, d , q) z parametrem d e (0,1) lub IGARCH(p, q) . Pod uwagę
wzięte zostały wszystkie kombinacje tych modeli dla wartości całkowitych p oraz q i wartości rzeczywistych parametru d.
Do modelowania szeregów finansowych użyty został pakiet G@RCH pro gramu OxMetrics 4. Aby dopasować do każdego szeregu stóp zwrotu model najlepiej opisuj ący badany szereg, oparto się na dwóch rodzajach kryteriów. Pierwszym kryterium była istotność oszacowań wszystkich parametrów mode lu. Oszacowanie parametr modelu uważano za istotne, jeżeli jego błąd standar dowy nie przekraczał 5%. Jeżeli wszystkie oszacowania parametrów modelu spełniały ten warunek, to oznaczało to, że model przechodził przez pierwszą weryfikację. Następnie brano pod uwagę kryteria informacyjne Akaike, Schwa rza, Shibaty i Hannana-Quinna. Przy wyborze najlepszego modelu na podstawie kryteriów informacyjnych kierowano się minimalizacją tych kryteriów. W arty kule przedstawione zostały ostateczne wyniki, czyli najlepsze modele dla każ dego z indeksów giełdowych.
Tabela 3. Modele najlepiej dopasowane dla poszczególnych indeksów giełdowych
INDEKSY Średnia warunkowa Wariancja warunkowa
WIG ARFIMA(0,0,0) FIGARCH(1,d,1)
WIG 20 ARFIMA(1,0,1) FIGARCH(1,d,1)
S&P500 ARFIMA(0,ai,0) IGARCH(1,1)
CAC 40 ARFIMA(0,d,0) IGARCH(1,1)
DAX ARFIMA(0,rf,0) IGARCH(1,1)
Źródło: Opracowanie własne.
Dla indeksów CAC40, DAX, S&P500 najbardziej istotnym modelem okazał się ARFIMA(0,J,0)-IGARCH(1,1). Dopasowane modele różnią się je dynie rozkładem błędów dla poszczególnych indeksów. W przypadku indeksu S&P500 rozkładem błędu jest G.E.D., a błąd dla indeksów CAC 40 oraz DAX
opisywany jest przez skośny rozkład t Studenta. To, że najbardziej istotnym
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
szoku w szeregach zmienności nie wygasa asymptotycznie i wariancja procesu jest nieskończona.
Tabela 4. Parametry modeli dopasowanych do szeregów zwrotów indeksów giełdowych (w nawiasach klamrowych podane są p-wartości)
W I G W I G 2 0 S & P 5 0 0 D A X C A C 4 0
R o z k ł a d b ł ę d u t Studenta G.E.D. G.E.D. skośny t
Studenta t Studentaskośny 2 S l u b W 1,2827 {0,0000} {0,0000}-0,0889 {0,0001}0,0537 {0,0000}0,8735 {0,0000}0,8293 d - FIGARCH 0,4361 {0,0000} {0,0000}0,4107 - - -d - ARFIMA - - -0,0843 {0,0000} {0,0127}-0,0703 {0,0000}-0,1252 0,8052 {0,0000} {0,0000}-0,0889 - - -9,9090 {0,0000} {0,0004}0,1035 - - -f l u b a 2 0,1525 {0,0008} {0,0054}0,1773 {0,0418}0,0313 {0,0016}0,0508 {0,0138}0,0468 p {0,0000}0,8052 {0,0000}0,7318 0,9687 0,9402 0,9532 D F 3 9,9090 {0,0000} - - {0,0001}8,2911 {0,0000}8,8719 G . E . D . ( D F )4 - 1,5498 {0,000} {0.0000}1,2896 - -A S5 - - - -0,1609 {0,0000} {0,0000}-0,1713
Źródło: Opracowanie własne.
Niektórzy badacze uważają, że dopasowanie modelu IGARCH świadczy o niejednorodności procesu i występowaniu nagłych zmian dynamiki szeregu. W równaniu średniej warunkowej oszacowanie parametru integracji ułamkowej we
wszystkich trzech przypadkach jest ujemne i należy do przedziału (--2 ,0), a
więc wskazuje na średnią pamięć w stopach zwrotu. Dla indeksu WIG najistot
niejszym modelem okazał się ARFIMA(0,0,0)-FIGARCH(1,d,1) z rozkładem t
Studenta, a dla indeksu WIG20, model ARFIMA(1,0,1)-FIGARCH(1,d,1) z rozkładem G.E.D.. Rezultaty badań otrzymane dla indeksów pochodzących z giełdy polskiej świadczą o braku istnienia długiej pamięci w stopach zwrotu. W
2 D l a m o d e l u F I G A R C H s z a c u j e s i ę p a r a m e t r y f 1 o r a z Pj, a m o d e l i I G A R C H l u b G A R C H s z a c u j e s i ę a 1o r a z p 1 .
3 I l o ś ć s t o p n i s w o b o d y .
4 I l o ś ć s t o p n i s w o b o d y d l a r o z k ł a d u G . E . D .
K A T A R Z Y N A G I E R E J 443
Dł u g a p a m i ę ć w s z e r e g a c h ...
szeregach zmienności zarówno w przypadku indeksu WIG, jaki i WIG20 mamy do czynienia z długą pamięcią.
Podsumowanie
Przeprowadzona w tym artykule analiza obejmuje okres od 1 stycznia 2004 roku do 30 grudnia 2007 roku i opiera się na danych pochodzących z różnych rynków finansowych. Dość krótki okres wzięty do badania oraz skąpa próba składająca się z pięciu indeksów giełdowych miały wpływ na kształt otrzyma nych rezultatów. Porównując wyniki pochodzące z modelowania indeksów z rezultatami otrzymanymi za pomocą statystyk testuj ących istnienie długiej pa mięci w szeregach indeksów zauważyć można podobieństwa i różnice. Bardzo podobne wyniki otrzymano w przypadku indeksów CAC 40, DAX, S&P 500 za
pomocą estymatora Robinsona parametru d oraz za pomocą modelowania.
Przypuszcza się więc, że w wyżej wymienionych szeregach występuje średnia pamięć. Dla indeksów polskiej giełdy wartość testów wskazywała na brak pa mięci w stopach zwrotu. Modelowanie dla indeksu WIG nie wyłoniło istotnego modelu opisuj ącego długookresową zależność dla średniej, a więc przypuszcza
się brak pamięci w tym przypadku. Natomiast dla indeksu WIG2 0 najlepszym
modelem dla średniej okazał się model ARMA dlatego też można sądzić, że w szeregu stóp zwrotu występuje krótka pamięć. Wyniki testowania istnienia za leżności długookresowych w kwadratach stóp zwrotu reprezentuj ących zmien
ność wskazały na możliwość występowania długiej pamięci procesu dla
wszystkich indeksów. Jedynie metoda GPH wykazuje brak pamięci procesu w kwadratach stóp zwrotu indeksu WIG20. Dla wszystkich szeregów zmienności indeksów giełdowych najbardziej istotnym modelem okazał się model charakte ryzuj ący się długą pamięcią dla wariancji warunkowej co pozwala sądzić, że w szeregach istnieje długookresowa zależność pomiędzy obserwacjami, którą opisuje model FIGARCH albo model IGARCH dla wszystkich indeksów gieł dowych.
Maj ąc na uwadze charakter danych i okres którego dotyczą, można przy puszczać, że prognozowanie zmienności stóp zwrotu na podstawie odległych danych historycznych oraz wartości bieżących jest możliwe zarówno w przy padku indeksów z giełdy polskiej, jak i w przypadku indeksów z giełd bardziej dojrzałych. Natomiast w przypadku stóp zwrotu można sądzić na bazie otrzy
manych wyników, że prognozowania na podstawie odległych danych nie jest możliwe dla indeksów giełdy polskiej.
LITERATURA
1. Osińska M., E k o n o m e t r i a f i n a n s o w a . Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, War
szawa 2006.
2. Doman M., Doman R., E k o n o m e t r y c z n e m o d e l o w a n i e d y n a m i k i p o l s k i e g o r y n k u f i n a n s o w e g o . Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 2004.
3. Fiszeder P., M o d e l l i n g F i n a n c i a l P r o c e s s e s w i t h L o n g M e m o r y i n M e a n a n d V a r i a n c e , [w:] Zieliński Z. [red.], D y n a m i c E c o n o m e t r i c M o d e l s . Wyd. UMK, Toruń
2005.
4. Kwiatkowski J., Osiewalski J., M o d e l e A R F I M A : p o d s t a w o w e w ł a s n o ś c i i a n a l i z a b a y e s o w s k a . Przegląd Statystyczny 50, 2002, 105-122.
5. Laurent S., Peters J.P., G A R C H 2 . 2 : A n O x P a c k a g e f o r E s t i m a t i n g a n d F o r e c a s t i n g V a r i o u s A R C H M o d e l s . Journal of Economic Surveys 16, 2002, 447-484.
6. Doornik J.A., O b j e c t O r i e n t e d M a t r i x P r o g r a m m i n g U s i n g O x . Timberlake Con
sultants Press, London 1998.
7. Fama E.F., French K., D i v i d e n d y i e l d s a n d e x p e c t e d r e t u r n s . Journal of Financial
Economics 22, 1988, 3-25.
8. Goetzman W.N., Jorion P., T e s t i n g t h e p o w e r o f d i v i d e n d y i e l d s , Journal of Finance
48, 1993, 663-79.
9. Granger C.W.J., Joyeaux R., A n i n t r o d u c t i o n t o l o n g m e m o r y t i m e s e r i e s m o d e l s a n d f r a c t i o n a l d i f f e r e n c i n g , Journal of Time Series Analysis 1, 1980, 15-39.
10. Hosking J.R. M., F r a c t i o n a l d i f f e r e n c i n g , Biometrica 6 8, 1981, 165-176.
11. Hurst H., L o n g t e r m s t o r a g e c a p a c i t y o f r e s e r v o i r s , Transaction of the American
Society of Civil Engineers 116, 1951, 770-799. STRESZCZENIE
W artykule badano istnienie długiej pamięci w szeregach stóp zwrotu i szeregach zmienności stóp zwrotu indeksów giełdowych WIG, WIG20 CAC 40, DAX oraz S&P 500. Wykorzystano test Lo, modele ARFIMA i FIGARCH, semiparametryczny estyma
tor Robinsona oraz estymator Geweke i Porter-Hudak parametru pamięci d. Zastoso
wane metody wskazały na brak długiej pamięci procesu w przypadku stóp zwrotu oraz występowanie pamięci długookresowej w przypadku szeregów zmienności. Dla
K A T A R Z Y N A G I E R E J 445
Dłu ga p a m i ę ć ws z e r e g a c h ...
wszystkich indeksów giełdowych najlepszym modelem opisującym zmienność był model FIGARCH albo IGARCH. Natomiast najlepszym modelem opisującym stopy zwrotu okazał się model ARFIMA(0,d,0), ARFIMA(1,0,1) lub ARFIMA(0,0,0), w zależności od indeksu.
LONG M EM ORY IN STOCK INDICES RETURN AND VOLATILITY SERIES
SUMMARY
This paper investigates the existence of long memory in return and volatility series for the stock indices WIG, WIG20 CAC 40, DAX and S&P 500. We used Lo’s test, ARFIMA and FIGARCH models, Robinson’s semiparametric estimator, and the Ge-
weke and Porter-Hudak estimator of the memory parameter d . The applied methods
indicate that there is no long memory in the return series but there is evidence of long range dependence in the volatility series. For all the indices the best fitted volatility model was FIGARCH or IGARCH. The best fitted models for the conditional mean turn out to be ARFIMA(0,d,0), ARFIMA(1,0,1) or ARFIMA(0,0,0).
T r a n s l a t e d b y K . G i e r e j
M g r K a t a r z y n a G i e r e j
Akademia Ekonomiczna w Poznaniu