Czy wartość, mimo że bezwzględna, może
być przystępna?
Wstęp
Niniejsze opracowanie prezentuje zagadnienia związane z wartością bez-względną, która zazwyczaj sprawia wiele problemów uczniom. Wydaje się, że bazowanie na pierwszym etapie uczenia na interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, zamiast jej definicji, może pomóc w oswojeniu uczniów z tym pojęciem i przełamaniu często występującego lęku. Wyobrażenia geo-metryczne, które można wspierać sporządzaniem odpowiednich rysunków, pozwalają na natychmiastowe (lub niemalże natychmiastowe) ustalenie roz-wiązań określonego typu równań i nierówności z wartością bezwzględną, ich przykłady zostały podane.
Rozpoczniemy jednak od definicji wartości bezwzględnej. W tym miejscu warto podkreślić, że właściwie dobrane zadania pozwalają nie tylko zrozu-mieć i utrwalić definicję, ale również kształcić umiejętność ustalania znaku wyrażenia arytmetycznego bez wykonywania zapisanych w nim działań, porównywania niecałkowitych liczb rzeczywistych bez użycia kalkulatora, mnożenia sum przez −1 (lub ogólniej, przez dowolną liczbę ujemną), czy też operowania liczbami niewymiernymi.
Opracowanie zawiera również część poświęconą własnościom wartości bez-względnej. W przypadku klas realizujących nauczanie matematyki w zakresie podstawowym należy ją pominąć, jak również wszystkie przykłady i zadania, w rozwiązaniach których korzysta się z własności. Nie zostały w opracowaniu uwzględnione treści dotyczące interpretacji geometrycznej sumy dwóch war-tości bezwzględnych (dot. zakresu rozszerzonego). Wyczerpujące opracowanie tego zagadnienia można znaleźć w poradniku dla nauczycieli Rozszerzony program matematyki w gimnazjum Wojciecha Guzickiego.
Definicja wartości bezwzględnej
Dla danej liczby rzeczywistej a wartość bezwzględną tej liczby ozna-czamy przez |a| i definiujemy następująco
|a| =
(
a dla a> 0, −a dla a < 0.
Wprost z definicji wynika, że wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest tą samą liczbą, np. |1,5| = 1,5 i |0| = 0, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej powstaje poprzez usunięcie znaku minus („dwa znaki minus dają plus”), przykładowo | − 3| = −(−3) = 3. Odnotujmy jeszcze, że 0 moglibyśmy równie dobrze dołączyć do liczb ujemnych w definicji wartości bezwzględnej, bo −0 = 0. Zadanie 1. Oblicz. (a) −3 5 (b) |14,(298)| (c) −1 √ 2 (d) 11 7 π
Przykład 1.Oblicz bez użycia kalkulatora |√71 +√3
17|. Rozwiązanie. Obie liczby√71 i √3
17 są oczywiście dodatnie. Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, skąd wynika równość |√71 +√317| = √
71 +√3
17. To wystarczy. Wykonanie dodawania nie jest konieczne.
Zadanie 2. Oblicz. (a) −15 + π√4 3 (b) − 5 √ −2 √ 5 (c) (−π) 2+ 1 (d) 1 − (−19) 19 Przykład 2.Oblicz |47 −35|.
Rozwiązanie. Wystarczy obliczyć wartość wyrażenia spod wartości bez-względnej i zastosować definicję.
4 7− 3 5 = 20 35 − 21 35 = − 1 35 = 1 35.
Zadanie 3.Oblicz. (a) 1 3 − 2 7 (b) 5 7− 8 11 (c) 3 7 − 4 9 (d) 4 9− 5 11
Przykład 3.Oblicz bez użycia kalkulatora |3√2 −√17| oraz |317 −√20|. Rozwiązanie. Tym razem, żeby rozwiązać zadanie, nie będziemy wykonywać odejmowania, ale określimy znak każdego z wyrażeń arytmetycznych znajdu-jących się pod wartością bezwzględną. W tym celu zauważmy na początek, że 3√2 =
√
32· 2 =√18. Oczywista nierówność√18 >√17 implikuje
|3√2 −√17| = 3√2 −√17.
Teraz porównamy ze sobą liczy 317 i√20, a właściwie ich kwadraty:
31 7 2 = 961 49 = 19 30 49, √ 202 = 20. Ponieważ 31 7 2 <√202, więc 31 7 < √ 20, czyli 31 7 − √ 20 < 0. Stąd wynika, że 31 7 − √ 20 = − 31 7 − √ 20 = √ 20 −31 7 .
Przykład 4.Oblicz |3,1 − π| oraz |π −√10|.
Rozwiązanie. Ponownie musimy zbadać znaki wyrażeń spod wartości bez-względnej. W pierwszym przypadku jest łatwo. Skoro π = 3,14159 . . ., to
3,1 − π < 0 i |3,1 − π| = π − 3,1. W drugim przypadku musimy pokazać, że π2 < 10. Korzystając z faktu, że π < 3,15 otrzymujemy
π2 < (3,15)2= 9,9225 < 10.
Stąd wynika, że π <√10, co oznacza, że π −√10 < 0. Zatem
π − √ 10 = − π −√10=√10 − π.
Przykłady 1, 3 i 4 prezentują inny sposób pozbywania się symbolu wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, niż ten polegający jedynie na mechanicznym jego pominięciu i ewentualnie usunięciu znaku minus. Wy-kształcenie umiejętności radzenia sobie z tego typu zadaniami, osiągnięcie przez uczniów tego wyższego stopnia wtajemniczenia, bardzo przydaje się na etapie uczenia metody algebraicznego rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.
Zadanie 4. Oblicz bez użycia kalkulatora (w ppkt. e skorzystaj z poprze-dzającego zadanie przykładu).
(a) |√23 − 5| (b) √ 3 −7 4 (c) |2√2 − 3| (d) |5π − 17| (e) √ 39 − 2π (f) 5 3 − 3 √ 5 (g) |√2 − 3 √ 3| (h) |π − 4| − |3 − π| (i) |3 − π| − π (j) | √ 6 − 2√2| − | −√3| · |√2 −√3|
Własności wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna ma wiele ciekawych własności, przykładowo |(−3) + 5| = |2| = 2 6= 8 = 3 + 5 = | − 3| + |5|, ale
|(−3) · 5| = | − 15| = 15 = 3 · 5 = | − 3| · |5|. W ogólności można sformułować następujące twierdzenie
Własności wartości bezwzględnej Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:
(a) |a + b|6 |a| + |b| (b) |a · b| = |a| · |b|.
Nierówność (a) nazywamy nierównością trójkąta. Wykażemy jej praw-dziwość. Najpierw zauważmy, że wartość bezwzględną można zdefiniować również w inny, niż podany wcześniej, sposób.
Definicja wartości bezwzględnej Dla danej liczby rzeczywistej a
|a| = max(a, −a).
Innymi słowy, aby obliczyć wartość bezwzględną pewnej liczby, bierze-my tę liczbę oraz liczbę do niej przeciwną i wybierabierze-my większą z nich (w istocie wybieramy nieujemną), np. |π| = max(π, −π) = π;
−
√ 2
=
max(−√2,√2) =√2.
Teraz jest oczywiste, że a6 |a| i −a 6 |a| dla dowolnej liczby rzeczywistej a. Korzystając z tych dwóch nierówności, łatwo już jest wykazać nierówność trójkąta. Rozważmy dwa przypadki:
(1) a + b> 0, wtedy
|a + b| = a + b 6 |a| + |b|, (2) a + b < 0, wtedy
|a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) 6 |a| + |b|.
Opisując słownie własność (b) używamy sformułowania – wartość bez-względna iloczynu równa jest iloczynowi wartości bezwzględnych. By jej dowieść musimy przeanalizować kilka przypadków. Po pierwsze zauważamy, że jeśli a = 0 lub b = 0, to równość jest prawdziwa w sposób oczywisty. Natomiast, gdy a 6= 0 i b 6= 0, to możliwe są następujące, istotnie różne sytuacje:
(1) a > 0, b > 0,
(2) a < 0, b > 0 lub a > 0, b < 0, (3) a < 0, b < 0.
Dla przykładu uzasadnimy równość (b) przy założeniu a < 0, b > 0. Wówczas |a| = −a, |b| = b i |a · b| = −a · b, ponieważ a · b < 0. To kończy dowód. Uzasadnienie w pozostałych przypadkach jest równie proste.
Przykład 5.Pokaż, że |a| = | − a| dla dowolnej liczby rzeczywistej a. Rozwiązanie. Dzięki własności (b) możemy zapisać poniższy ciąg równości
| − a| = |(−1) · a| = | − 1| · |a| = 1 · |a| = |a|.
Zadanie 5. Pokaż, że
(a) |a − b| = |b − a| dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, (b) a b = |a|
|b| dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich, że b 6= 0.
W ten sposób dowiedzione zostały kolejne własności wartości bezwzględ-nej.
Własności wartości bezwzględnej Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b:
(a) |a| = | − a| (b) |a − b| = |b − a|.
Własność wartości bezwzględnej
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b 6= 0
a b = |a| |b|.
Najbardziej podstawową własność wartości bezwzględnej wyraża zdanie: wartość bezwzględna każdej liczby rzeczywistej jest równa co najmniej zero (lub równoważnie, wartość bezwzględna żadnej liczby rzeczywistej nie może
Własność wartości bezwzględnej Dla dowolnej liczby rzeczywistej a
|a| > 0.
Interpretacja geometryczna
Zaznajomimy się teraz z prostą, a zarazem bardzo ważną, interpretacją wartości bezwzględnej. Wiemy, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada na osi liczbowej pewien punkt. Począwszy od tego miejsca opracowania, będziemy utożsamiać liczby rzeczywiste z odpowiadającymi im punktami na osi liczbowej.
Przy tej umowie pytanie „W jakiej odległości od zera leży na osi liczbowej liczba 3, a w jakiej liczba −4?” ma sens. Sporządzenie odpowiedniego rysunku może pomóc w znalezieniu odpowiedzi.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
3 jednostki 4 jednostki
Rysunek 1.1.
Okazuje się, że liczba 3 jest oddalona od liczby 0 o 3 jednostki, a liczba −4 o 4 jednostki. Kolejny krok, to zauważenie, że 3 = |3| i że 4 = | − 4|, a następnie uogólnienie tego spostrzeżenia na przypadek dowolnej liczby rzeczywistej a i podanie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej.
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna danej liczby rzeczywistej a to odległość tej liczby od zera.
0 a
|a| jednostek
Teraz zastanowimy się, jak policzyć odległość pomiędzy dwiema dowol-nymi liczbami rzeczywistymi. Rozpocznijmy od narysowania kilku punktów na osi liczbowej i znalezienia odległości między nimi.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
2 jednostki 4 jednostki 3 jednostki 7 jednostek
6 jednostek
9 jednostek
Rysunek 1.3.
Po uważnej obserwacji powyższego rysunku widzimy, że jeśli a i b są dowolnymi liczbami spełniającymi warunek a < b, to odległość między nimi równa jest różnicy b − a. Formułę tę najłatwiej jest odgadnąć w przypadku, gdy obie liczby są dodatnie. Potem wystarczy tylko przekonać się, że wzór działa niezależnie od tego, czy a i b są liczbami dodatnimi czy ujemnymi, np 4 − 1 = 3, 1 − (−3) = 4, −3 − (−5) = 2, itd. Co ciekawe, okazuje się, że gdybyśmy się pomylili i wykonali odejmowanie w odwrotnej kolejności, tj. od mniejszej liczby odjęli większą, to otrzymalibyśmy wyniki różniące się od poprzednich jedynie znakiem (1 − 3 = −4, −5 − (−3) = −2).
Zdecydowanie, która spośród dwóch danych liczb jest mniejsza, a która większa nie zawsze jest łatwe (np. w przypadku liczb 47 i 35 lub√2 i√3
3). Zapi-sanie wzoru na odległość pomiędzy liczbami a i b z wykorzystaniem wartości bezwzględnej uwalnia nas od konieczności rozstrzygania tego problemu.
Odległość dwóch dowolnych liczb rzeczywistych a i b jest równa |a − b|.
a b
|a − b| jednostek
Rysunek 1.4.
Interpretacja geometryczna może posłużyć do potwierdzenia prawdzi-wości niektórych własności wartości bezwzględnej. Jeśli myślimy o |a| jak o odległości liczby a od zera, nie mamy wątpliwości, że |a| ≥ 0, bo przecież
odległość nie może być ujemna. Podobnie, |a| = | − a|, ponieważ liczba a i liczba do niej przeciwnej −a są jednakowo oddalone od zera.
Zadanie 6.Znajdź odległość pomiędzy liczbami a i b, gdy
(a) a = 1, b = 1000 (b) a = 100, b = −100 (c) a = −9, b = −13 (d) a = 1 + √ 2, b = 1 − √ 2 (e) a =√2 + 1, b =√2 − 1 (f) a = π − 10, b = 1 (g) a = −4 7, b = − 3 5 (h) a = 4 9, b = 5 11.
Zadanie 7.Znajdź liczbę c położoną na osi w tej samej odległości od liczb a i b, jeśli
(a) a = 0, b = 10 (b) a = −3, b = 3
(c) a = −9, b = −1 (d) a = 1 +√2, b = 1 −√2
(e) a =√2 + 1, b =√2 − 1 (f) a = 1, b = 1000.
Równania i nierówności – część I
Spróbujmy ustalić rozwiązanie równania |x| = 3. Można łatwo to zrobić, jeśli skorzysta się z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej. Równanie czytamy następująco: „Jakie liczby rzeczywiste znajdują się na osi w odle-głości trzech jednostek od liczby 0?”. Nie jest trudno znaleźć takie liczby, są nimi 3 i −3.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
3 jednostki 3 jednostki
Rysunek 1.5.
Następnie rozważmy równanie |x| = 0. Tym razem szukamy liczb odda-lonych o 0 jednostek od liczby 0. Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 0.
Na koniec postaramy się znaleźć rozwiązanie równania |x| = −3. Ponieważ odległość jest zawsze liczbą nieujemną, więc to równanie nie ma rozwiązań. Podsumujmy
• Jeśli a > 0, to |x| = a wtedy i tylko wtedy, gdy x = −a lub x = a.
• |x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.
• Jeśli a < 0, to równanie |x| = a nie ma rozwiązań.
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej pozwala też na szyb-kie ustalanie rozwiązań prostych nierówności. Np. pytanie o rozwiązanie nierówności |x| < 3 jest tożsame z pytaniem o liczby rzeczywiste, których odległość od zera jest mniejsza od 3. Zbiór tych liczb jest przedstawiony na rysunku poniżej. Są to wszystkie liczby rzeczywiste położone na osi liczbowej pomiędzy liczbami −3 i 3. Ponieważ nierówność jest ostra, liczby −3, 3 nie należą do rozwiązania.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.6.
W przypadku nierówności |x| 6 3 trzeba dołączyć do rozwiązania po-przedniej nierówności liczby −3 i 3, by otrzymać jej rozwiązanie.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.7.
Z kolei, gdy szukamy rozwiązań nierówności |x| > 3, to szukamy liczb oddalonych o więcej niż 3 jednostki od liczby 0. Warunek ten spełniają liczby znajdujące się na osi na prawo od liczby 3 i na lewo od liczby −3. Poniżej zamieszczono graficzne przedstawienie rozwiązania tej nierówności.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.8.
Rozwiązanie nierówności nieostrej |x|> 3 otrzymujemy, podobnie jak wcześniej, uzupełniając rozwiązanie odpowiadającej jej nierówności ostrej |x| > 3 o liczby −3 i 3 (rys. 9).
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.9.
By dokonać pełnej klasyfikacji, należy rozważyć jeszcze kilka możliwych wariantów nierówności z wartością bezwzględną i ich rozwiązań. I tak np. nierówność |x| < −3 nie ma rozwiązań (nie ma takiej liczby rzeczywistej, której odległość od zera jest mniejsza od −3, a więc jest ujemna), a rozwią-zaniem nierówności |x| > −3 są wszystkie liczby rzeczywiste (bo odległość każdej liczby od zera jest liczbą nieujemną). Podobna sytuacja ma miejsce dla nieostrych wersji tych nierówności. Przypadek, gdy po prawej stronie nierówności stoi 0 pozostawiamy do analizy czytelnikowi. Podsumowując
• Jeśli a > 0, to
|x| < a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−a, a).
|x| 6 a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ h−a, ai.
|x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞).
|x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞, −ai ∪ ha, +∞). • Mamy:
nierówność |x| < 0 nie ma rozwiązań.
|x| 6 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. |x| > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 6= 0.
|x| > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R. • Jeśli a < 0, to
nierówność |x| < a nie ma rozwiązań.
nierówność |x|6 a nie ma rozwiązań.
|x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R. |x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R.
Przykład 6.Rozwiąż równanie 4|x| = 6√2 + |x|.
Rozwiązanie. Równanie rozwiązujemy tak jak zwykłe równanie liniowe trak-tując |x| jak niewiadomą, tj. wyznaczamy z równania |x|, wykonując prze-kształcenia równoważne. Prześledźmy cały proces:
4|x| = 6 √
3 + |x| 4|x| − |x| = 6√3
3|x| = 6√3 | : 3 |x| = 6 √ 3 3 |x| = 2√3.
Teraz już wiemy, że rozwiązaniami równania są liczby odległe od zera o 2√3, tzn. liczby 2√3 i −2√3.
Przykład 7.Rozwiąż nierówność | − 34x| − 1 > 12.
Rozwiązanie. Korzystając z własności wartości bezwzględnej, możemy nie-równość przekształcić następująco:
− 3 4 · |x| − 1 > 1 2 3 4 · |x| − 1 > 1 2.
Następnie rozwiązujemy nierówność jak zwykłą nierówność pierwszego stop-nia, z tą różnicą, że za niewiadomą uważamy |x|, a nie x. Wykonujemy poniższe operacje: 3 4 · |x| > 1 2 + 1 3 4 · |x| > 3 2 | · 4 3 |x| > 32 · 4 3.
Ich wynikiem jest nierówność równoważna |x|> 2, której rozwiązaniem jest zbiór liczb położonych na osi w odległości nie mniejszej niż 2 od zera, tzn. zbiór (−∞, −2i ∪ h2, +∞).
Zadanie 8. Rozwiąż równania i nierówności
(a) |x| − 1 = 3 (b) |x| + 3 = 1
(c) √2|x| = 0 (d) 1 − |x|6 π
(e) 2 + 3|x| > 2 − |x| (f) 2|x| − 3 < 4 (g) 5 − 2|x|
Zadanie 9.Rozwiąż równania i nierówności, korzystając z własności wartości bezwzględnej (a) | −√3x| = 1 (b) 1 3+ x 2 6 1 2 (c) |3x| > 7 −1 2|x| (d) 3 · |2x| − π = 4 · | − x|.
Zadanie 10.Jakiego równania i jakiej nierówności z wartością bezwzględną rozwiązaniem jest zbiór
(a) ∅ (b) (−∞, −√311) ∪ (√311, +∞)?
Równania i nierówności – część II
Przyjrzyjmy się równaniu |x − 1| = 4 i jego rozwiązaniu. Przypomnijmy, że wyrażenie |x−1| jest odległością liczby x od liczby 1. Z równania wnioskujemy, że odległość ta ma być równa 4. To oznacza, że interesują nas liczby oddalone od 1 o 4 jednostki. Łatwo je zaznaczyć na osi liczbowej, jedną na prawo, drugą na lewo od liczby 1.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
4 jednostki 4 jednostki
Rysunek 1.10.
Z rysunku odczytujemy rozwiązanie równania: x = −3 lub x = 5. Następnie rozważmy równanie |x − 1| = 0, z którego wynika, że szukamy liczb oddalonych o 0 jednostek od liczby 1. Jest tylko jedna taka liczba. Rozwiązaniem równania jest liczba 1.
Wreszcie spróbujmy znaleźć rozwiązanie równania |x − 1| = −3. Ponieważ odległość jest zawsze liczbą nieujemną, więc to równanie nie ma rozwiązań. Podsumujmy
• Jeśli b > 0, to |x − a| = b wtedy i tylko wtedy, gdy x = a + b lub x = a − b.
• |x − a| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = a.
Przykład 8.Rozwiąż równanie |3 + x| = 2.
Rozwiązanie. Najpierw należy sprowadzić równanie do postaci |x − a| = b, tzn. do postaci, w której wartość bezwzględna brana jest z różnicy i odjemną w tej różnicy jest niewiadoma x. W tym celu zapiszmy następujące prawdziwe równości
|3 + x| = |x + 3| = |x − (−3)|.
Wykonanie tego przekształcenia lewej strony równania jest najważniejszym i najtrudniejszym etapem rozwiązywania omawianego przez nas równania. Kłopotliwa dla uczniów jest operacja zastępowania sumy różnicą.
Za to kolejny krok nie sprawia trudności. Otrzymaliśmy równanie |x − (−3)| = 2,
którego rozwiązaniem są liczby oddalone od −3 o 2 jednostki. Łatwo jest je wskazać: x = −3 − 2 = −5 lub x = −3 + 2 = −1.
Przykład 9.Rozwiąż równanie |3 − 2x| − 7 = 0.
Rozwiązanie. Przekształcamy równanie w sposób równoważny do postaci |x − a| = b, wykorzystując przy tym jedną z własności wartości bezwzględnej (wartość bezwzględna iloczynu jest równa iloczynowi wartości
bezwzględ-nych). |3 − 2x| − 7 = 0 | − 2x + 3| = 7 (−2) x −32 = 7 |−2| · x − 3 2 = 7 2 · x − 3 2 = 7 | : 2 x − 3 2 = 7 2
Teraz można już wyznaczyć rozwiązanie równania: x = 32 − 72 = −2 lub x = 32 +72 = 5.
Przykład 10. Rozwiązaniem jakiego równania z wartością bezwzględną jest zbiór {−7π, 3π}, a jakiego {√3}?
Rozwiązanie. By móc udzielić odpowiedzi na postawione pytanie, w przy-padku pierwszego zbioru rozwiązań, musimy wyznaczyć odległość między liczbami −7π i 3π oraz liczbę położoną na osi w równej od nich odległo-ści. Interesująca nas odległość między danymi w zadaniu liczbami wynosi
|3π −(−7π)| = |3π +7π| = 10π, a interesująca nas liczba odpowiada środkowi odcinka o końcach w punktach, z którymi utożsamiamy liczby −7π i 3π. Liczba ta jest położona na osi liczbowej na prawo od −7π w odległości
1
2· 10π = 5π jednostek (jak również na lewo od 3π w odległości 5π jednostek)
i jest nią −2π. To co już wiemy wystarcza do zapisania odpowiedniego równania
|x − (−2π)| = 5π lub równoważnie |x + 2π| = 5π.
Z kolei w przypadku drugiego zbioru zauważamy, że jest on jednoelementowy, a więc jest rozwiązaniem pewnego równania z wartością bezwzględną typu |x − a| = 0. Szukanym równaniem jest
|x −√3| = 0.
Teraz dokonamy jeszcze analizy określonego rodzaju nierówności z war-tością bezwzględną. Zaczniemy od nierówności |x − 1| < 4. Przy pomocy tej nierówności w sposób symboliczny zostało zapisane pytanie o liczby oddalone o mniej niż 4 jednostki od liczby 1. Liczby o tej własności prezentuje rys. 11.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.11.
W przypadku nierówności nieostrej |x − 1| 6 4 należy dołączyć do rozwiązania poprzedniej nierówności liczby −3 i 5.
Rozważmy następnie nierówność |x − 1| > 4. Jej rozwiązaniem są liczby oddalone o więcej niż 4 jednostki od liczby 1. Rys. 12. jest graficzną ilustracją tego rozwiązania.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Rysunek 1.12.
Podobnie jak wcześniej, w przypadku nierówności nieostrej musimy do rozwiązania dołączyć końce przedziałów. Zbadanie przypadków dla b6 0 pozostawiamy czytelnikowi. Przedstawimy tylko podsumowanie.
• Jeśli b > 0, to
|x − a| < b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (a − b, a + b).
|x − a| 6 b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ ha − b, a + bi.
|x−a| > b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞, a−b)∪(a+b, +∞).
|x−a| > b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ (−∞, a−bi∪ha+b, +∞). • Mamy:
nierówność |x − a| < 0 nie ma rozwiązań.
|x − a| 6 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = a. |x − a| > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 6= a.
|x − a| > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R. • Jeśli b < 0, to
nierówność |x − a| < b nie ma rozwiązań.
nierówność |x − a|6 b nie ma rozwiązań.
|x − a| > b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R. |x − a| > b wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ R.
Przykład 11. Rozwiąż nierówność |2x + 4| < 5 + |x + 2|.
Rozwiązanie. Nierówność przekształcamy równoważnie następująco: |2x + 4| < 5 + |x + 2|
|2(x + 2)| − |x + 2| < 5 2|x + 2| − |x + 2| < 5 |x + 2| < 5
|x − (−2)| < 5.
Teraz możemy już podać rozwiązanie nierówności, jest nim przedział (−2 − 5, −2 + 5) = (−7, 3).
Przykład 12. Rozwiązaniem jakiej nierówności jest zbiór (−∞, −4√2i ∪ h0, ∞)?
Rozwiązanie. W celu wskazania właściwej nierówności zauważamy, że połowa odległości między liczbami −4√2 i 0 jest równa 12· 4√2 = 2√2 oraz że liczbą położoną na osi w równej od nich odległości jest −2√2. Ponadto zwracamy uwagę na to, że zbiór rozwiązań jest sumą przedziałów i że liczby −4√2 oraz 0 do niego należą. To wystarcza, by odgadnąć postać szukanej nierówności
Zadanie 11.Rozwiąż równania i nierówności (a) |x −√3 3| = √33 (b) |x + π| = −π (c) |2x + 1| = 3 (d) 3 4|x − π| − 1 < 1 2 (e) x − 3 2 − |6 − 2x| ≤ 6 (f) 3|1 − x| + x − 1 3 ≤ 5 3π.
Zadanie 12.Jakiego równania lub jakiej nierówności z wartością bezwzględ-ną rozwiązaniem jest zbiór
(a) −1 5, 3 5 (b) (−13, −9) (c) {√2 − 1,√2 + 1} (d) {100} (e) {1 −√2, 1 + √ 2} (f) 0,π 2 (g) (∞, −2πi ∪ h30π, +∞) (h) R \ {0,2}.
Odpowiedzi do zadań
1. (a) 35 (b) 14, (298) (c) √1 2 (d) 11 7π 2. (a) 15+π 4 √ 3 (b) 5 √ 2 √ 5 (c) π 2 + 1 (d) |1 + 1919| 3. (a) 211 (b) 771 (c) 631 (d) 991 4. (a) 5 −√23 (b) 74−√3 (c) 3 − 2√2 (d) 17 − 5π (e) 2π −√39 (f) √3 5 −53 (g)√3 3 −√2 (h) 7 − 2π (i) 3 (j) 2√2 − 3 5. (a) |b − a| = | − (a − b)| (b) |a| = ab· b = ab · |b| 6. (a) 999 (b) 200 (c) 4 (d) 2√2 (e) 2 (f) 11 − π (g) 351 (h) 991 7. (a) 5 (b) 0 (c) −5 (d) 1 (e)√2 (f) 5001 2 8. (a) {−4, 4} (b) ∅ (c) {0} (d) R (e) R \ {0} (f) (−7 2, 7 2) (g) (−∞, −1) ∪ (1, +∞) (h) h−1, 1i 9. (a) {− √ 3 3 , √ 3 3 } (b) h− 1 3, 1 3i (c) (−∞, −2) ∪ (2, +∞) (d) {− π 2, π 2} 10. (a) |x| = −√3 11 (b) |x| >√3 11 11. (a) {0, 2√3 3} (b) ∅ (c) {−2, 1} (d) (π − 2, π + 2) (e) (−∞, −1i ∪ h7, +∞) (f) h1 −π2, 1 +π2i 12. (a) |x −1 5| = 2 5 (b) |x + 11| < 2 (c) |x − √ 2| = 1 (d) |x − 100| ≤ 0 (e) |x − 1| =√2 (f) |x −π4| ≤ π 4 (g) |x − 14π| ≥ 16π (h) |x − 0,2| > 0Bibliografia
[1] Guzicki W., Rozszerzony program matematyki w gimnazjum, Ośrodek Rozwoju Edukacji, Warszawa 2013, http://scholaris.pl/zasob/110642.
