Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 3.

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 3.

Dariusz Wrzosek

17 pa´zdziernika 2018

(2)

Podstawy analizy matematycznej

Analiza matematyczna

Przez kilka wykładów b ˛edziemy omawia´c podstawowe poj ˛ecia analizy matematycznej.

Główne poj ˛ecia analizy to granica funkcji, ci ˛agło´s´c i pochodna funkcji oraz całka.

S ˛a one niezb ˛edne do konstruowania i analizy modeli matematycznych we wszystkich naukach przyrodniczych i społecznych.

Geneza tych poj ˛e´c wywodzi si ˛e z próby opisu zjawisk fizycznych i si ˛ega wieku XVII.

Tematy:

1 Ci ˛agi i ich granice, szeregi niesko ´nczone

2 Ci ˛agło´s´c funkcji, pochodna funkcji i jej zastosowania

3 Całka i jej zastosowania

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 3. 17 pa´zdziernika 2018 2 / 33

(3)

Dlaczego zajmujemy si ˛e ci ˛ agami liczb?

Wyobra´zmy sobie, ˙ze ´sledzimy przebieg jakiego´s procesu, którego stan jest okre´slony w ustalonych chwilach czasu np. co minut ˛e co godzin ˛e co rok itp. Mo˙ze to być st ˛e˙zenie jakiej´s substancji mierzone co godzin ˛e albo stan jakiej´s populacji mierzony co rok. Chwilom czasu przyporz ˛adkowane s ˛a zatem pewne liczby. Z matematycznego punktu widzenia to jest wła´snie ci ˛ag liczb. Jest wiele powodów by rozwa˙zać ci ˛agi o niesko ńczonej liczbie wyrazów. Pojawiaj ˛a si ˛e naturalne pytania

czy ci ˛ag jest ograniczony ?

czy jest okresowy albo oscyluj ˛acy?

czy jest liczba do której zbli˙zaj ˛a si ˛e wyrazy tego ci ˛agu tzn. czy istnieje jego granica?

(4)

Podstawy analizy matematycznej Granica ci ˛agu

Po co nam niesko ´nczono´s´c?

Skoro wszystko co mo˙zemy zmierzyć jest sko ńczone po co zajmować si ˛e niesko ńczono´sci ˛a. S ˛a co najmniej dwa ku temu powody:

liczby niewymierne takie jakπalbo √

2 maj ˛a w zapisie dziesi ˛etnym niesko ńczenie wielu cyfr po przecinku i nie da si ˛e tego zredukować bez utraty informacji, mo˙zna je tylko przybli˙zać np. poprzez

odrzucenie cyfr zapisu dziesi ˛etnego od pewnego miejsca.

je´sli interesuje nas przewidywanie stanu do którego d ˛a˙zy jaki´s proces w długiej perspektywie czasowej to wygodnie jest przyj ˛ać, ˙ze czas d ˛a˙zy do niesko ńczono´sci i szukać jego granicy, bo s ˛a metody matematyczne słu˙z ˛ace do”przechodzenia do granicy w

niesko ´nczono´sci” i w konsekwencji poj ˛ecie niesko ´nczono ´sci staje si ˛e wygodnym i praktycznym narz ˛edziem.

(5)

Ci ˛ ag liczbowy i jego granica

Definicja

Ci ˛agiemelementów z X nazywamy funkcj ˛e okre´slon ˛a na dowolnym podzbiorze A zbioru liczb naturalnycho warto´sciach w X , czyli:

A 3n→a(n) =a_n∈X.

Zajmiemy si ˛e ci ˛agami niesko ´nczonymi —tzn. gdy zbiór A ma niesko ´nczenie wiele elementów.

Wyobra´zmy sobie, ˙ze wyrazy ci ˛agu reprezentuj ˛a stany jakiego´s procesu fizycznego w kolejnych chwilach n =0,1,2. . ..

Je˙zeli stany te przyjmuj ˛a z czasem warto´sci coraz bli˙zsze pewnego stanu granicznego, do którego proces d ˛a˙zy, to matematyczn ˛a idealizacj ˛a tego typu zjawiska jest wła´snie poj ˛ecie zbie˙zno´sci ci ˛agu do granicy.

(6)

Definicja granicy ci ˛ agu niesko ´nczonego

Rozwa˙zymy najprostszy przypadek gdy X = i przypomnijmy, ˙ze wtedy odległo´s´c pomi ˛edzy punktami x i y równa jest d(x,y) = |x−y|.

Definicja

Element g∈X jest granic ˛a ci ˛agu{a_n}^∞_n=0w.t.w. gdy dla dowolnie wybranej liczbyε >0 istnieje liczba N, taka ˙ze

|a_n−g| < ε. dla n>N. Piszemy wtedy

n→+∞lim a_n =g, i mówimy, ˙ze ci ˛ag{a_n}^∞_n=0 jest zbie˙zny/d ˛a˙zydo g.

(7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

g + ε

₁

g + ε

₂

g g − ε

¹

g − ε

2

Dlaε₁mamy N=8, natomiast dlaε₂mamy N=15.

(8)

Je´sli z ci ˛agu zbie˙znego usuniemy dowoln ˛a sko ´nczon ˛a liczb ˛e wyrazów, nie zmieni to granicy ci ˛agu.

Twierdzenie

Ci ˛ag mo˙ze mie´c co najwy˙zej jedn ˛a granic ˛e.

Definicja (Rozbie˙zno´s´c ci ˛ agu)

Ci ˛ag, który nie ma granicy nazywamyci ˛agiem rozbie˙znym

(9)

Ci ˛ ag okresowy

Definicja (Ci ˛ ag okresowy, ci ˛ ag stały)

Ci ˛ag{a_n}^∞_n=0nazywamy ci ˛agiem okresowym je˙zeli istnieje liczba T 2 taka, ˙ze a_n+T =a_ndla ka˙zdego n0. Gdy T =1 ci ˛ag nazywamy ci ˛agiem stałym.

Ci ˛ag okresowy jest rozbie˙zny np. ci ˛ag c_n = (−1)ⁿ

o okresie 2 przyjmuje warto´s´c 1, gdy n jest liczb ˛a parzyst ˛a oraz−1 w przeciwnym przypadku.

(10)

Przyklad

Granic ˛a ci ˛agu{a_n}^+∞_n=1= {¹_n}^+∞_n=1jest 0, co zapisujemy

n→+∞lim 1 n =0.

By to wykaza´c wystarczy dla dowolnej liczbyε >0 znale´z´c N, takie ˙ze dla n>N zachodzi

1 n−0

= ¹

n < ε . Ka˙zda liczba N ¹

ε spełnia ten warunek. Na przykład dlaε = ₁₀¹ wystarczy wzi ˛a´c N =10, bo wtedy ¹_n < ₁₀¹ dla wszystkich n>10.

Je´sli wybierzemyε = ₅₂₀¹ to wystarczy wzi ˛a´c N=520 itd.

(11)

Definicja

Ci ˛ag{a_n}^+∞_n=0jestrozbie˙zny do+∞w.t.w. gdy dla dowolnego R >0 istnieje N, takie ˙ze dla wszystkich n >N a_n >R. Piszemy wtedy

n→+∞lim a_n = +∞ .

Ci ˛ag{a_n}^∞_n=0jest rozbie˙zny do−∞w.t.w gdy ci ˛ag{−a_n}^∞_n=0jest rozbie˙zny do+∞.

Fakt

Je´sli lim

n→+∞a_n = +∞, to lim

n→+∞

1 a_n =0.

Przykłady

n→+∞lim n^k = +∞, gdy k >0; lim

n→+∞n^k =0, gdy k <0;

n→+∞lim bⁿ = +∞, gdy b >1; lim

n→+∞bⁿ=0, gdy|b| <1; .

(12)

Podstawowe twierdzenia

Twierdzenie

Ci ˛ag liczbowy{a_n}^∞_n=0,który jest ograniczony (czyli istnieje liczba M, taka

˙ze dla ka˙zdego n|a_n| <M) i niemalej ˛acy lub nierosn ˛acy jest zbie˙zny do pewnej liczby g, takiej ˙ze|g| ¬M.

W przypadku ci ˛agu nierosn ˛acego jego granica jest najwi ˛eksz ˛a z liczb ograniczaj ˛acych ci ˛ag{a_n}^∞_n=0 od dołu. Liczb ˛e t ˛a nazywamykresem dolnymzbioru wszystkich wyrazów ci ˛agu.

W przypadku ci ˛agu niemalej ˛acego t ˛a granic ˛a jest najmniejsza z liczb ograniczaj ˛acych ci ˛ag{a_n}^∞_n=0 od góry. T ˛a liczb ˛e nazywamykresem górnymzbioru wszystkich wyrazów ci ˛agu.

(13)

Ci ˛ ag a

n

= 1 − ¹ n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0

0,5 0,75 0,9 1

(14)

Ci ˛ ag a

_n

= 1 − (− 1 )

ⁿ

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0

0,5 0,75 0,9 1 1,1 1,25 1.5

Nie jest nierosn ˛acy ani niemalej ˛acy. Jego wyrazy zbiegaj ˛a do granicy (równej 1) oscylacyjnie, tzn. przyjmuj ˛a warto´sci na przemian mniejsze lub wi ˛eksze od 1.

(15)

Stała Eulera

Ci ˛ag

1+¹

n

jest rosn ˛acy i ograniczony przez liczb ˛e 3. Zatem ma granic ˛e.

Warto´s´c mo˙zna przyj ˛a´c jako definicj ˛e stałej Eulera oznaczanej przeze,

n→+∞lim

1+ ¹

n

= e .

Jest to liczba, która jest podstaw ˛a logarytmu naturalnego. Jest ona niewymierna, a jej przybli˙zona warto´s´c wynosie ≈2,718.

(16)

Definicja

Podci ˛agiemdanego ci ˛agu{a_n}^∞_n=0nazywamy dowolny niesko ´nczony ci ˛ag wyrazów wybranych z ci ˛agu{a_n}^∞_n=0,z zachowaniem ich porz ˛adku wyst ˛epowania.

Na przykład: podci ˛agiem ci ˛agu{a_n}^∞_n=0 jest ci ˛ag{a_2n}^∞_n=0 składaj ˛acy si ˛e tylko z wyrazów o numerach parzystych.

Twierdzenie

Je˙zeli ci ˛ag jest zbie˙zny do pewnej liczby, to wszystkie jego podci ˛agi zbiegaj ˛a do tej samej liczby.

Przykład

Ci ˛ag: a_n =5+(−1)ⁿ

n . Wida´c, ˙ze lim

n→+∞a_n =5. Podci ˛agi:

1 a_2n=5+ ¹

2n, lim

n→+∞a_2n=5

2 a_2n+1=5− ¹

2n+1, lim

n→+∞a_2n+1=5

(17)

Własno´sci arytmetyczne granicy ci ˛ agu

Twierdzenie

Przy zało˙zeniu, ˙zeistniej ˛agranice ci ˛agów lim

n→+∞a_n =aoraz

n→+∞lim b_n =bspełnione s ˛a nast ˛epuj ˛ace równo´sci

n→+∞lim (a_n+b_n) =a+b

n→+∞lim (a_n−b_n) =a−b

n→+∞lim (a_nb_n) =ab

n→+∞lim a_n b_n = ^a

b, o ile b,b_n ,⁰ Wszystkie te własno´sci wynikaj ˛a bezpo´srednio z definicji.

(18)

Obliczanie granicy ci ˛ agu

Znajdziemy

n→+∞lim

5n+3 7n+2.

W tym celu dzielimy licznik i mianownik przez n i dostajemy

n→+∞lim

5n+3

7n+2 = lim

n→+∞

5+³_n 7+²_n =

n→+∞lim

5+³_n

n→+∞lim

7+²_n = ⁵ 7.

W przypadku wyra˙ze ´n wymiernych (takich jak wy˙zej) wystarczy porówna´c najszybciej rozbie˙zne (= o najwy˙zszym wykładniku) wyrazy z licznika i mianownika:

n→+∞lim

3n⁴+2n

4n⁴+4 = lim

n→+∞

3n⁴

4n⁴ = lim

n→+∞

3 4 = ³

4.

(19)

Zajmijmy si ˛e terazci ˛agami zadanymi rekurencyjnie, czyli za pomoc ˛a pewnej zale˙zno´sci (funkcji), która okre´sla kolejny (n+1) wyraz ci ˛agu, je´sli znamy poprzedni (n) wyraz.

Mamy dany pierwszy wyraz ci ˛agu a₁, pewn ˛a funkcj ˛e f oraz zale˙zno´s´c a_n+1=f(a_n).

Tak zadane ci ˛agi pojawiaj ˛a si ˛e w naturalny sposób w modelach matematycznych. Funkcja f okre´sla prawo, według którego jaki´s układ przechodzi od stanu a_n do stanu a_n+1w jednym kroku czasowym. Takie modele nosz ˛a nazw ˛e modeli z czasem dyskretnym.

Rozpatrzmy przykład populacji, której stanem w sezonie n jest liczebno´s´c lub zag ˛eszczenie (liczba osobników na jednostk˛e powierzchni lub

obj ˛eto´sci). Wtedy funkcja f opisuje wpływ rozrodczo´sci i ´smiertelno´sci oraz innych czynników na stan tej populacji po upływie jednego sezonu.

Jest jasne, ˙ze ró˙zne populacje b ˛ed ˛a wymagały uwzgl ˛ednienia nieco innych funkcji w ramach tego schematu.

(20)

Podstawy analizy matematycznej Ci ˛ag arytmetyczny i ci ˛ag geometryczny

Ci ˛ ag arytmetyczny

Zadany jest rekurencyjnie przez funkcj ˛e f(x) =x+r, czyli a_n+1=a_n+r.

Liczb ˛e r nazywamy ró˙znic ˛a ci ˛agu arytmetycznego.

Własno´sci ci ˛ agu arytmetycznego

a_n =a₁+ (n−1)r dla n1 , a_n = ^aⁿ⁻¹+a_n+1

2

S_n =a₁+a₂+ · · · +a_n =

n

X

i=1

a_i=na₁+a_n

2 ,

n→+∞lim a_n = +∞, je´sli r>0,

n→+∞lim a_n = −∞, je´sli r<0

Je´sli kule bilardowe uło˙zy´c w stos, to liczba kul w kolejnych warstwach opisana jest ci ˛agiem arytmetycznym.

(21)

Ci ˛ ag geometryczny

Zadany jest rekurencyjnie przez funkcj ˛e f(x) =qx.

a_n+1=q a_n.

Liczb ˛e q nazywamy ilorazem ci ˛agu geometrycznego.

Własno´sci i mo˙zliwe granice ci ˛ agu geometrycznego

a_n =a₁qⁿ⁻¹, dla n 1

S_n =a₁1−qⁿ

1−q , dla q,¹

n→+∞lim a_n = +∞, je´sli q>1 i a₁>0

n→+∞lim a_n = −∞, je´sli q>1 i a₁<0,

n→+∞lim a_n =0, je´sli|q| <1,

n→+∞lim a_n nie istnieje, je´sli q¬ −1.

(22)

Model populacyjny z czasem dyskretnym.

Zało˙zenia

pewien gatunek zwierz ˛at rozmna˙za si ˛e jeden raz w roku;

młode s ˛a zdolne do rozrodu w nast ˛epnym roku;

liczby x_n dla n1,oznaczaj ˛a liczebno´s´c populacji samic w n-tym roku tu˙z przed wydaniem potomstwa,

na stan populacji w n+1 roku wpływa jedynie ´smiertelno´s´c w ciagu roku i rozrodczo´s´c w poprzednim sezonie;

samica ma ´srednio r potomków płci ˙ze ´nskiej (´srednio 60%całego miotu);

Cz ˛e´s´c s samic do˙zywa do nast ˛epnego roku, s ∈ (0,1].

Liczebno´s´c/zag ˛eszczenie populacji samic w sezonie n+1 wynosi x_n+1= s (x_n + r x_n ) =s(1+r)x_n,

(23)

Model populacyjny z czasem dyskretnym.

Zało˙zenia

pewien gatunek zwierz ˛at rozmna˙za si ˛e jeden raz w roku;

młode s ˛a zdolne do rozrodu w nast ˛epnym roku;

liczby x_n dla n1,oznaczaj ˛a liczebno´s´c populacji samic w n-tym roku tu˙z przed wydaniem potomstwa,

na stan populacji w n+1 roku wpływa jedynie ´smiertelno´s´c w ciagu roku i rozrodczo´s´c w poprzednim sezonie;

samica ma ´srednio r potomków płci ˙ze ´nskiej (´srednio 60%całego miotu);

Cz ˛e´s´c s samic do˙zywa do nast ˛epnego roku, s ∈ (0,1]. Liczebno´s´c/zag ˛eszczenie populacji samic w sezonie n+1 wynosi

x_n+1= s (x_n + r x_n ) =s(1+r)x_n,

(24)

Model populacyjny z czasem dyskretnym.

Ci ˛ag rekurencyjny okre´slaj ˛acy stan populacji mo˙zna przedstawi´c jako x_n+1=s(1+r)x_n.

albo inaczej rozdzielaj ˛ac efekt ´smiertelno´sci(strata) odrozrodczo´sci i prze˙zywalno´sci młodych(zysk)

x_n+1=x_n−(1−s)x_n+srx_n. Interpretacja parametrów :

(1−s)– ´smiertelno´s´c (per capita) , bo(1−s)x_nokre´sla całk. strat ˛e, r – rozrodczo´s´c (per capita) tzn. liczba młodych samic w jednym miocie, sr –liczba młodych prze˙zywaj ˛acych do kolejnego sezonu.

(25)

Zag ˛eszczenie populacji opisuje ci ˛ag geometryczny, a zatem x_n =x₁(s(1+r))ⁿ⁻¹.

Czyli los populacji zale˙zy od tego, czy

q=s(1+r) ≶¹ albo równowa˙znie od znaku wielko´sci

−(1−s)+sr

okre´slaj ˛acej ró˙znic ˛e mi ˛edzy ´smiertelno´sci ˛a i rozrodczo´sci ˛a (uwzgl ˛edniaj ˛ac ˛a prze˙zywalno´s´c młodych przez jeden sezon)

1 Je´slis(1+r) <1, czyli ´smiertelno´s´c jest zbyt du˙za lub rozrodczo´s´c zbyt mała, to

n→+∞lim x_n =0 i populacja wymiera.

2 Je´slis(1+r) >1, to zag ˛eszczenie populacji wzrasta nieograniczenie.

n→+∞lim x_n = +∞

(26)

Stan całej populacji p_n w n-tym sezonie wynosi (je´sli przyjmiemy, ˙ze w pierwszym roku samice stanowiły 60%całej populacji) x_n

0,6, gdy˙z w ka˙zdym miocie jest 60%samic.

Uwaga: To jest bardzo uproszczony model, który mo˙zna rozbudowywa´c na wiele sposobów uwzgl ˛edniaj ˛ac np.

zró˙znicowanie prze˙zywalno´sci młodych przez pierwszy sezon od prze˙zywalno´sci pozostałych osobników,

migracj ˛e osobników albo odłów, struktur ˛e populacji np. wiekow ˛a,

wpływ konkurencji i przeg ˛eszczenia populacji wtedy np. r malałoby wraz ze wzrostem liczebno´sci (model nieliniowy).

(27)

Paradoks dychotomii

Rozpatrzmy zagadnienie postawione przez staro˙zytnego filozofa Zenona z Elei (490-430p.n.e.), który przedstawił cztery argumenty przeciw ruchowi twierdz ˛ac, ˙ze byt jest niezmienny. Oto jeden z nich dotycz ˛acy tzw.

dychotomii.

Paradoks: ruch jest niemo˙zliwy

Je´sli jaki´s przedmiot znajdowałby si ˛e w ruchu i miał przebyć jak ˛a´s drog ˛e to najpierw musiałby pokonać połow ˛e tej drogi potem połow ˛e reszty i.t.d (st ˛ad nazwa dychotomia). Jakkolwiek tedy mała jest droga, któr ˛a musi pokonać przedmiot zawsze musi przebyć niesko ńczon ˛a ilo´sć odcinków a tego przecie˙z w sko ńczonym czasie dokonać niepodobna. Ruch zatem jest niemo˙zliwy.

d — długo´s´c drogi, któr ˛a ma pokona´c przedmiot.

Czy dodanie do siebie niesko ´nczenie wielu składników d

2 + ^d 2² + ^d

2³ + . . .

(28)

Podstawy analizy matematycznej Szeregi liczbowe

Paradoks dychotomii

Rozpatrzmy zagadnienie postawione przez staro˙zytnego filozofa Zenona z Elei (490-430p.n.e.), który przedstawił cztery argumenty przeciw ruchowi twierdz ˛ac, ˙ze byt jest niezmienny. Oto jeden z nich dotycz ˛acy tzw.

dychotomii.

Paradoks: ruch jest niemo˙zliwy

Je´sli jaki´s przedmiot znajdowałby si ˛e w ruchu i miał przebyć jak ˛a´s drog ˛e to najpierw musiałby pokonać połow ˛e tej drogi potem połow ˛e reszty i.t.d (st ˛ad nazwa dychotomia). Jakkolwiek tedy mała jest droga, któr ˛a musi pokonać przedmiot zawsze musi przebyć niesko ńczon ˛a ilo´sć odcinków a tego przecie˙z w sko ńczonym czasie dokonać niepodobna. Ruch zatem jest niemo˙zliwy.

d — długo´s´c drogi, któr ˛a ma pokona´c przedmiot.

Czy dodanie do siebie niesko ´nczenie wielu składników d

2 + ^d 2² + ^d

2³ + . . .

ma jaki´s sens i czy ta suma jest rzeczywi´scie niesko ´nczona?Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 3. 17 pa´zdziernika 2018 26 / 33

(29)

d 2 + ^d

2² + ^d 2³ + . . .

Długo´sci dróg przebytych w kolejnych etapach tworz ˛a ci ˛ag geometryczny a₁ = ^d

2, a₂ = ^d 2·¹

2, a₃= ^d 2·¹

2·¹ 2, . . . o ilorazie q= ¹₂ i pierwszym wyrazie ^d₂.

Zgodnie ze wzorem na sum ˛e wyrazów ci ˛agu geometrycznego obliczamy drog ˛e przebyt ˛a po n etapach

S_n =a₁1−qⁿ 1−q = ^d

2

1−₂¹n

1−¹₂

! .

Po przej´sciu do granicy dostajemy

n→+∞lim S_n=d.

Nie ma tu ˙zadnego paradoksu — przedmiot pokona cał ˛a drog ˛e o długo´sci d, a wi ˛ec staro˙zytny filozof nie miał racji.

(30)

d 2 + ^d

2² + ^d 2³ + . . .

Długo´sci dróg przebytych w kolejnych etapach tworz ˛a ci ˛ag geometryczny a₁ = ^d

2, a₂ = ^d 2·¹

2, a₃= ^d 2·¹

2·¹ 2, . . . o ilorazie q= ¹₂ i pierwszym wyrazie ^d₂.

Zgodnie ze wzorem na sum ˛e wyrazów ci ˛agu geometrycznego obliczamy drog ˛e przebyt ˛a po n etapach

S_n =a₁1−qⁿ 1−q = ^d

2

1−₂¹n

1−¹₂

! .

Po przej´sciu do granicy dostajemy

n→+∞lim S_n=d.

Nie ma tu ˙zadnego paradoksu — przedmiot pokona cał ˛a drog ˛e o długo´sci d, a wi ˛ec staro˙zytny filozof nie miał racji.

(31)

Szereg liczbowy

Poj ˛ecieszeregu liczbowegonadaje sens sumie niesko ´nczonej liczby składników.

Je´sli wyrazy szeregu oznaczymy przez a₁,a₂, . . ., to szereg zapisujemy nast ˛epuj ˛aco

∞

X

n=1

a_n =a₁+a₂+a₃+ . . . +a_n+ . . . .

Definicja

Mówimy, ˙ze szereg jest zbie˙zny do liczby g, je´sli ci ˛ag sum cz ˛e´sciowych szeregu, czyli ci ˛ag

S_n=

n

X

k =1

a_k jest zbie˙zny do g, czyli lim

n→+∞S_n=g.

(32)

Warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym zbie˙zno´sci szeregu jest to, aby ci ˛ag jego wyrazów był zbie˙zny do 0.

Dowód.

Oznaczmy a_n=S_n−S_n−1.

Skoro zakładamy, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny do jakiego´s g, to zarówno

n→+∞lim S_n =g, jak te˙z lim

n→+∞S_n−1=g.

Zatem lim

n→+∞a_n =g−g=0.

(33)

Warunek z poprzedniego slajdunie jest wystarczaj ˛acy!

Okazuje si ˛e, ˙ze je´sli wyrazy szeregu nie zbiegaj ˛a do 0 dostatecznie szybko to szereg jest rozbie˙zny

Przykład

Wyrazy tzw. szeregu harmonicznego

∞

X

n=1

1

n zbiegaj ˛a do 0, ale szereg ten jestrozbie˙zny do+∞, gdy˙z mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze S₂n+1 ⁿ₂, a wtedy

n→+∞lim S₂n+1 lim

n→+∞

n

2 = +∞, czyli ci ˛ag sum cz ˛e´sciowych zawiera podci ˛ag rozbie˙zny do niesko ´nczono´sci, sam zatem równie˙z jest rozbie˙zny.

1+¹ 2+ ¹

3+¹ 4

| {z }

 2·¹

4=¹₂

+¹ 5+¹

6+ ¹ 7+¹

8

| {z }

 4·¹

8=¹₂

+¹ 9+ ¹

10+ · · · + ¹ 15 + ¹

16

| {z }

 8·¹

16=¹₂

+ · · ·

(34)

O ile|q| <1, toszereg pot ˛egowy, który zapisujemy jako

+∞

X

n=1

qⁿ⁻¹jest zbie˙zny oraz (ze wzoru na sum ˛e wyrazów ci ˛agu geometrycznego)

∞

X

n=1

qⁿ⁻¹=1+q+q²+ . . . = lim

n→+∞

1−qⁿ 1−q = ¹

1−q.

Ka˙zda liczba rzeczywista z przedziału(0,1)jest granic ˛a pewnego szeregu, który w systemie pozycyjnym dziesi ˛etnym zapisujemy

∞

X

k =1

d_k 10^k,

gdzie d_k s ˛a liczbami całkowitymi od 0 do 9. Zapisujemy wtedy 0,d₁d₂d₃...

(35)

W systemie dwójkowym wykorzystywanym np. do komputerowej reprezentacji liczb mamy

∞

X

k =1

b_k 2^k, gdzie b_k przyjmuj ˛a warto´s´c 0 lub 1.

Dowoln ˛a liczb ˛e w systemie dziesi ˛etnym mo˙zemy przedstawi´c jako sum ˛e cz ˛e´sci całkowitej zapisanej na`miejscach przed przecinkiem i ułamkowej zło˙zonej na ogół z niesko ´nczenie wielu cyfr znacz ˛acych po przecinku

`

X

k =0

d_k10^k +

∞

X

k =1

d_k 10^k =

+∞

X

k =−`

d_k10^−k.

Przykład

0.33333(3) = ³ 10

1+ ¹

10 + ¹ 10² + . . .

= ³ 10

1 1−₁₀¹

!

= ³ 10·¹⁰

9 = ¹ 3

(36)

Stała Eulera

Stał ˛a Eulera e mo˙zna tak˙ze przedstawi´c jako sum ˛e nast ˛epuj ˛acego szeregu

e=1+1+¹ 2+ ¹

2·3+ ¹

2·3·4+ . . . =

+∞

X

n=0

1 n!

Przykłady kolejnych warto´sci silni

2! =2, 4! =24, 6! =720, 8! =40 320, 10! =3 628,800, 3! =6, 5! =120, 7! =5 040, 9! =362 880, 11! =39 916 800

Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 3.