, Wst epdoteoriimnogo´sci

Wst ep do teorii mnogo´ _, sci

Materia ly do wyk ladu dla 1 roku informatyki http://www.mimuw.edu.pl/∼urzy/wtm.html

Pawe l Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl

2001–2006

Po co komu teoria mnogo´ sci

Fryderyk Engels definiowa l matematyke jako dziedzin_, e zajmuj_, ac_, a si_, e_,

”stosunkami ilo´s- ciowymi i formami przestrzennymi ´swiata rzeczywistego”. Definicja ta jest trafna w odniesie- niu do pewnych tradycyjnych dzia l´ow dawnej matematyki (arytmetyka, geometria), kt´ore uprawiane by ly w oparciu o praktyczna obserwacj_, e rzeczywisto´sci i podlega ly stosunkowo_, latwej weryfikacji poprzez do´swiadczenie. Wsp´o lczesna matematyka, r´ownie˙z ta, kt´orej zadaniem jest opis proces´ow obliczeniowych, pos luguje sie cz_, esto modelami abstrakcyjnymi,_, kt´orych zwiazek z obserwowaln_, a rzeczywisto´sci_, a jest mniej bezpo´sredni. A poniewa˙z nasza_, intuicja, pozbawiona obserwacyjnej weryfikacji, bywa zawodna, matematyka od dawna polega na rygorystycznej ´scis lo´sci rozumowa´n, opierajacych si_, e na mo˙zliwie najmniejszej_, liczbie poje´_,c pierwotnych i aksjomat´ow.

Pojecie zbioru okazuje si_, e tutaj niezwykle u˙zyteczne. Przy ca lej swojej prostocie, pozwala_, na latwe definiowanie w ´scis ly spos´ob wielu innych poje´_,c matematycznych. Dlatego pos lugu- jemy sie j_, ezykiem teorii mnogo´sci (mnogo´_, s´c to po prostu zbi´or ) dla formu lowania i badania rozmaitych teorii matematycznych.

Matematycy, w spos´ob mniej lub bardziej jawny, pos lugiwali sie zbiorami od dawna. Teoria_, mnogo´sci jako odrebna dziedzina powsta la w XIX wieku, a za jej tw´_, orce uwa˙za sie zwykle_, Georga Cantora. Poda l on taka_,

”definicje” zbioru:_,

Zbiorem nazywamy zgromadzenie w jedna ca lo´_, s´c wyra´znie wyr´o˙znionych przedmiot´ow naszej intuicji lub naszej my´sli.

Najwa˙zniejsza rzecz_, a w tej definicji jest nast_, epuj_, ace za lo˙zenie. Je´sli tylko potrafimy wy-_, odrebni´_, c pewne przedmioty za pomoca jakiego´s kryterium K(x), to te przedmioty tworz_, a_, dobrze okre´slony zbi´or {x | K(x)}. Wed lug Cantora, zbi´or jest wiec upostaciowieniem_,

kryterium, kt´ore go definiuje (poprzez okre´slenie jego element´ow). W gruncie rzeczy zbi´or jest pewnym skr´otem my´slowym: zamiast my´sle´c i m´owi´c o wszystkich przedmio- tach x, spe lniajacych kryterium K(x), wygodniej rozwa˙za´_, c tylko jeden przedmiot, w la´snie zbi´or {x | K(x)}.

Na co dzie´n zbiory s lu˙za nam w la´snie do tego. Ale je´sli raz zgodzili´smy si_, e traktowa´_, c zbiory tak jak wszystkie inne przedmioty, musimy sie te˙z zgodzi´_, c na konsekwencje, na przyk lad na zbiory zbior´ow. W

”naiwnej” teorii mnogo´sci mo˙zna na przyk lad rozwa˙za´c zbi´or wszystkich zbior´ow: Z = {x | x jest zbiorem}. Oczywi´scie taki zbi´or jest swoim w lasnym elementem (co zapiszemy tak: Z ∈ Z). To jeszcze nic z lego, ale co pocza´_,c z takim zbiorem:

R = {x | x jest zbiorem i x 6∈ x} ?

Niebezpieczne pytanie: czy R ∈ R? Je´sli R ∈ R, to R musi spe lnia´c warunek R 6∈ R.

A je´sli R 6∈ R, to warunek definiujacy zbi´_, or nie mo˙ze by´c spe lniony i mamy R ∈ R. Tak czy owak, jest ´zle!

Powy˙zsze rozumowanie, zwane antynomia Russella, wskazuje na to, ˙ze_,

”naiwne” poj- mowanie zbior´ow prowadzi do sprzeczno´sci. Nie mo˙zna uprawia´c abstrakcyjnej matematyki opierajac si_, e wy l_, acznie na niedoskona lej ludzkiej intuicji. Ale nie wynika st_, ad, ˙ze ca la teo-_, ria zbior´ow jest bezu˙zyteczna. Trzeba ja tylko tak zmodyfikowa´_, c, ograniczy´c, ˙zeby nie grozi ly nam antynomie. Jak to zrobi´c? Zastosujemy metode aksjomatyczn_, a. Ograniczymy_, sie do niewielkiej liczby elementarnych w lasno´sci zbior´_, ow, a z nich bedziemy wnioskowa´_, c o innych w lasno´sciach. Je´sli dobrze wybierzemy aksjomaty, to uda sie unikn_, a´_,c sprzeczno´sci a jednocze´snie zachowa´c z

”naiwnej” teorii mnogo´sci to, co po˙zyteczne.

1 Aksjomaty teorii mnogo´ sci

U˙zywamy nastepuj_, acych symboli na oznaczenie sp´_, ojnik´ow zdaniowych: znak ∧ oznacza koniunkcje, ∨ oznacza alternatyw_, e, ¬ to negacja, → to implikacja i wreszcie ↔ to r´_, ow- nowa˙zno´s´c. Kwantyfikatory czytamy tak:

”∀x” to

”dla ka˙zdego x” a

”∃x” to

”istnieje takie x, ˙ze”. Stosujemy nastepuj_, ace priorytety:_,

1. negacja i kwantyfikatory, 2. koniunkcja i alternatywa, 3. implikacja.

Na przyk lad w ∀xA(x)∨B → C domy´slne nawiasy sa takie: ((∀xA(x)) ∨ B) → C. W szcze-_, g´olno´sci kwantyfikator dotyczy tylko A(x). A wyra˙zenie A ∨ B ∧ C jest niepoprawne.

Napis

”x = y” oznacza, ˙ze x i y sa nazwami tego samego przedmiotu._, Napis

”x ∈ y” czytamy

”x jest elementem y” lub

”x nale˙zy do y”.

Jezyk, kt´_, orym bedziemy si_, e pos lugiwa´_, c, sk lada sie z symboli logicznych, i znak´_, ow r´owno´sci i nale˙zenia. Wszystkie dodatkowe oznaczenia, kt´ore wprowadzimy, bed_, a w istocie skr´_, otami stosowanymi dla wygody. Na przyk lad, zamiast

”¬x ∈ y” i

”¬x = y” bedziemy cz_, esto pisa´_, c odpowiednio

”x 6∈ y” i

”x 6= y”.

Wyra˙zenie ∀x∈a W (x) oznacza to samo, co ∀x (x ∈ a → W (x)), a wyra˙zenie ∃x∈a W (x) jest skr´otem dla ∃x (x ∈ a ∧ W (x)). Zamiast ∀x∀y . . . piszemy ∀x, y . . . itd.

Zauwa˙zmy, ˙ze w naszym jezyku nie ma specjalnego oznaczenia na stwierdzenie_,

”x jest zbiorem”. Wynika to z nastepuj_, acego wygodnego za lo˙zenia: skoro i tak m´_, owimy przede wszystkim o zbiorach, to tak naprawde nie ma potrzeby rozwa˙zania nic innego ni˙z zbiory._, Elementy zbior´ow to te˙z zbiory. Nie musimy interesowa´c sie ich elementami, je´sli nie_, ma takiej potrzeby. Ta konwencja mo˙ze sie wydawa´_, c dziwna, ale jest wygodnym up- roszczeniem. Nic przez to nie tracimy, bo w razie potrzeby mo˙zna r´o˙zne rzeczy, np. liczby, zdefiniowa´c jako pewne specyficzne zbiory.

Najwa ˙zniejszy aksjomat

Najwa˙zniejszy aksjomat to aksjomat jednoznaczno´sci , zwany tak˙ze aksjomatem eksten- sjonalno´sci . Stwierdza on, ˙ze zbi´or jest jednoznacznie wyznaczony przez wskazanie jego element´ow. Spos´ob, w jaki okre´slamy elementy zbioru (np. porzadek, powt´_, orzenia) nie ma znaczenia, wa˙zne jest jedynie to, czy dany przedmiot nale˙zy do naszego zbioru, czy nie.

Wyra˙zamy te w lasno´s´_, c tak:

1.1 (Aksjomat jednoznaczno´sci)

∀x∀y(x = y ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y))

Aby udowodni´c, ˙ze dwa zbiory a i b sa r´_, owne, postepujemy wi_, ec zwykle tak: pokazujemy,_,

˙ze ka˙zdy element zbioru a nale˙zy te˙z do b, a ka˙zdy element zbioru b nale˙zy te˙z do a.

M´owimy, ˙ze zbi´or x jest zawarty w zbiorze y (lub, ˙ze jest jego podzbiorem) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek ∀z(z ∈ x → z ∈ y). Piszemy w´owczas

”x ⊆ y”. U˙zywamy te˙z nastepuj_, acych skr´_, ot´ow:

”x 6⊆ y” oznacza

”¬x ⊆ y”;

”x y” oznacza ”x ⊆ y ∧ x 6= y”.

Fakt 1.2 ∀x∀y(x = y ↔ x ⊆ y ∧ y ⊆ x).

A zatem r´owno´s´c zbior´ow to ich wzajemne zawieranie.

Uwaga: Nale˙zy odr´o˙znia´c zawieranie (⊆) od nale˙zenia (∈).

Najwa ˙zniejszy zbi´ or

Najwa˙zniejsze rzeczy sa zawsze najprostsze. Najprostszy jest taki zbi´_, or, kt´ory nie ma element´ow.

1.3 (Aksjomat zbioru pustego)

∃x∀y(y 6∈ x)

Zbi´or x o w lasno´sci ∀y(y 6∈ x) nazywamy zbiorem pustym. Istnieje tylko jeden zbi´or pusty.

Fakt 1.4 Je´sli zbiory x₁ i x₂ sa puste, to x_{, 1} = x₂.

Dow´od: Przypu´s´cmy, ˙ze ∀y(y 6∈ x₁) oraz ∀y(y 6∈ x₂). Wtedy

∀y(y ∈ x₁ ↔ y ∈ x₂) co oznacza (z jednoznaczno´sci), ˙ze x₁ = x₂.

Zbi´or pusty oznaczamy symbolem ∅.

Operacje na zbiorach

Zdefiniujemy teraz kilka operacji na zbiorach. Dla porzadku, poprawno´s´_, c tych operacji, tj. istnienie odpowiednich zbior´ow, musimy postulowa´c aksjomatami. Aksjomaty poni˙zej maja tak_, a posta´_, c:

”dla dowolnych zbior´ow x, y, . . . istnieje zbi´or z, kt´ory ma dok ladnie takie a takie elementy.” Z jednoznaczno´sci zawsze wynika, ˙ze taki zbi´or z jest tylko jeden.

1.5 (Aksjomat pary)

∀x∀y∃z∀t(t ∈ z ↔ (t = x ∨ t = y))

Aksjomat pary czytamy tak: dla dowolnych x, y istnieje zbi´or z, kt´orego elementami sa_, x, y i nic wiecej. Taki zbi´_, or jest tylko jeden (por. Fakt 1.4) i oznaczamy go przez {x, y}.

Zauwa˙zmy, ˙ze {x, y} = {y, x}.

Zbi´or {x, x} zapisujemy po prostu jako {x}. Og´olniej, zbi´or o elementach x₁, . . . , x_nzapisu- jemy jako {x₁, . . . , x_n}. Kolejno´s´c element´ow na li´scie i ich powt´orzenia nie maja znaczenia,_, np. {a, b} = {b, b, a}.

Uwaga: Pamietajmy, ˙ze ∅ 6= {∅}._,

1.6 (Aksjomat sumy)

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃t(z ∈ t ∧ t ∈ x))

Aksjomat sumy m´owi, ˙ze dla dowolnego zbioru x istnieje zbi´or y z lo˙zony dok ladnie z tych i tylko tych przedmiot´ow, kt´ore sa elementami element´_, ow zbioru x. Na mocy jednoznacz- no´sci, taki zbi´or y jest tylko jeden. Oznaczamy go przez S x i nazywamy suma uog´_, olniona_, rodziny zbior´ow x. (Okre´slenie

”rodzina zbior´ow” oznacza w zasadzie to samo co

”zbi´or”.

U˙zywamy go wtedy, gdy chcemy podkre´sli´c, ˙ze elementy zbioru x to te˙z zbiory.) Mora l do zapamietania:_,

z ∈S x ↔ ∃t(z ∈ t ∧ t ∈ x).

Czesto stosujemy notacj_, e indeksowan_, a, np._, Sn

i=1A_i =S{A₁, . . . , A_n}. Zwyk la suma dw´och zbior´ow jest te˙z szczeg´olnym przypadkiem sumy uog´olnionej. Definiujemy ja tak:_,

x ∪ y =S{x, y}

Fakt 1.7 Dla dowolnych x, y, z:

(1) z ∈ x ∪ y ↔ (z ∈ x ∨ z ∈ y);

(2) z 6∈ x ∪ y ↔ (z 6∈ x ∧ z 6∈ y).

Dow´od: Oczywi´scie wystarczy udowodni´c cze´s´_, c (1), bo cze´s´_, c (2) wynika z niej przez proste zastosowanie prawa De Morgana.

(⇒) Niech z ∈ x∪y. Poniewa˙z x∪y =S{x, y}, oznacza to, ˙ze z ∈ t dla pewnego t ∈ {x, y}.

Ale wtedy albo¹ t = x albo t = y. Zatem z ∈ x lub z ∈ y.

(⇐) Mamy dwa przypadki. Przypu´s´cmy najpierw, ˙ze z ∈ x. Skoro x ∈ {x, y}, to z ∈ S{x, y} z definicji sumy. Przypadek z ∈ y jest analogiczny.

1.8 (Aksjomat potegi)_,

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)

Aksjomat potegi stwierdza, ˙ze dla dowolnego x istnieje zbi´_, or z lo˙zony ze wszystkich podzbior´ow zbioru x. Oczywi´scie jest dok ladnie jeden taki zbi´or. Bedziemy go oznacza´_, c przez P(x).

Zapamietajmy r´_, ownowa˙zno´s´c:

z ∈ P(x) ↔ z ⊆ x

Na przyk lad P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}} oraz P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Ele- mentami zbioru P(x) sa zawsze ∅ i x._,

1Nie ma r´o˙znicy pomiedzy_,

”lub” i

”albo”. W obu przypadkach mamy na my´sli zwyk la alternatyw_, e._,

1.9 (Aksjomat podzbior´ow (wycinania))

Je˙zeli W (z) jest dowolnym warunkiem (kryterium), to

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ W (z))) U˙zyte powy˙zej okre´slenie

”warunek” oznacza dowolna w lasno´s´_, c z wyra˙zona za pomoc_, a_, jezyka teorii mnogo´sci. Aksjomat podzbior´_, ow, zwany te˙z aksjomatem wycinania, nie jest w la´sciwie pojedynczym aksjomatem ale schematem aksjomatu. W istocie mamy po jednym aksjomacie dla dowolnego warunku W (z). M´owi on, ˙ze dla dowolnego x istnieje zbi´or z lo˙zony z tych i tylko tych element´ow zbioru x, kt´ore spe lniaja warunek. Jak zwykle,_, aksjomat jednoznaczno´sci gwarantuje istnienie tylko jednego takiego zbioru. Zapisujemy go tak:

{z ∈ x | W (z)}, lub tak: {z ∈ x : W (z)}.

Czasami jednak nadu˙zywamy tej notacji, piszac na przyk lad {{a, b} | a, b ∈ A} zamiast_, poprawnego {t ∈ P(A) | ∃a, b ∈ A (t = {a, b})}.

Uwaga dla dociekliwych: W tak zwanej teorii mnogo´sci Zermelo-Fraenkla (ZF) przyj- muje sie nieco silniejszy aksjomat zwany aksjomatem zast_, epowania. Nam on na razie nie_, jest potrzebny.

Aksjomat wycinania jest przydatny przy definiowaniu rozmaitych zbior´ow. Na przyk lad iloczyn uog´olniony rodziny zbior´ow x definiujemy tak:

T x = {z ∈ S x | ∀t(t ∈ x → z ∈ t)}

Fakt 1.10 Je´sli x 6= ∅ to dla dowolnego z

z ∈T x ↔ ∀t(t ∈ x → z ∈ t).

Dow´od: Cze´s´_, c (⇒) jest oczywista. W cze´sci (⇐) wystarczy wykaza´_, c, ˙ze z ∈ S x. Ale skoro x 6= ∅ to istnieje takie t, ˙ze t ∈ x. Poniewa˙z ∀t(t ∈ x → z ∈ t), wiec z ∈ t ∈ x._, Zatem faktycznie z ∈S x.

Uwaga: Za lo˙zenie x 6= ∅ w Fakcie 1.10 jest istotne. Rzeczywi´scie, T ∅ = ∅. Tymczasem warunek ∀t(t ∈ ∅ → z ∈ t) jest spe lniony przez dowolne z!

Iloczyn dw´och zbior´ow definiujemy jako szczeg´olny przypadek iloczynu uog´olnionego.

x ∩ y =T{x, y}.

Fakt 1.11 Dla dowolnych x, y, z:

(1) z ∈ x ∩ y ↔ (z ∈ x ∧ z ∈ y);

(2) z 6∈ x ∩ y ↔ (z 6∈ x ∨ z 6∈ y).

Dow´od: Latwy.

Okre´slimy jeszcze jedna cz_, esto spotykan_, a operacj_, e na zbiorach: r´_, o˙znice zbior´_, ow : x − y = {z ∈ x | z 6∈ y}

Uwaga: Czesto mo˙zna spotka´_, c sie z poj_, eciem_,

”dope lnienia” danego zbioru a, co zwykle oznacza sie przez −a. To poj_, ecie ma sens wtedy, gdy wszystkie zbiory b_, ed_, ace przedmiotem_, rozwa˙za´n sa podzbiorami jednego ustalonego zbioru >, np._, wtedy gdy interesuja nas_, wy lacznie zbiory punkt´_, ow p laszczyzny. W´owczas dope lnieniem zbioru a ⊆ > (do zbioru >) nazywa sie r´_, o˙znice >−a. Bez ustalonego zbioru > nie mo˙zna m´_, owi´c o operacji dope lnienia.

Regularno´ s´ c

Dalsze aksjomaty teorii mnogo´sci bedziemy omawia´_, c wtedy, kiedy bed_, a nam potrzebne._, Teraz jeszcze ciekawostka dla dociekliwych.

1.12 (Aksjomat regularno´sci)

∀x(x 6= ∅ → ∃y((y ∈ x) ∧ (y ∩ x = ∅)))

Sens regularno´sci jest taki: wprawdzie mo˙ze sie zdarzy´_, c, ˙ze v ∈ y ∈ x oraz v ∈ x, tj.

element elementu x mo˙ze te˙z by´c elementem x, ale zawsze musi by´c takie y ∈ x, kt´ore nie ma ju˙z element´ow wsp´olnych z x. Wynika stad na przyk lad to:_,

Fakt 1.13

∀z(z 6∈ z)

Dow´od: Z aksjomatu regularno´sci zastosowanego do zbioru {z}, wynika, ˙ze z ∩ {z} = ∅, bo przecie˙z z jest jedynym elementem {z}. A zatem z 6∈ z, bo inaczej z ∩ {z} 6= ∅.

2 Relacje

W matematyce mamy do czynienia z najrozmaitszymi relacjami. Wiele z nich ma podobne w lasno´sci. Aby jednak m´owi´c o wsp´olnych cechach ro˙znych relacji, nale˙zy najpierw od- powiedzie´c na pytanie co w og´ole uwa˙zamy za relacje, powiedzmy dwuargumentow_, a. Dla_,

*Fragmenty oznaczone gwiazdka s_, a przeznaczone dla dociekliwych._,

naszych cel´ow dostatecznie dobrym u´sci´sleniem pojecia relacji jest taka definicja: relacja_, to po prostu zbi´or wszystkich uporzadkowanych par tych przedmiot´_, ow, pomiedzy ktorymi_, relacja zachodzi. Istotnie, znajac ten zbi´_, or, wiemy w zasadzie wszystko o relacji. No dobrze, ale co to jest para uporzadkowana?_,

Definicja 2.1 Uporzadkowan_, a par_, a przedmiot´_, ow a i b nazywamy zbi´or:

ha, bi = {{a}, {a, b}}

Definicja 2.1 mo˙ze sie wydawa´_, c dziwna. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze to czego naprawde oczeku-_, jemy od pary uporzadkowanej to nast_, epuj_, aca w lasno´s´_, c: para uporzadkowana powinna by´_, c jednoznacznie wyznaczona przez swoje wsp´o lrzedne i ich kolejno´s´_, c. A nasza definicja ma te w lasno´s´_, c.

Lemat 2.2 Dla dowolnych a, b, x, y zachodzi r´ownowa˙zno´s´c:

ha, bi = hx, yi wtedy i tylko wtedy, gdy a = x i b = y.

Dow´od: Implikacja z prawej do lewej jest oczywista. Dla dowodu implikacji z lewej do prawej przyjmijmy oznaczenia:

L = ha, bi = {{a}, {a, b}} oraz P = hx, yi = {{x}, {x, y}},

i za l´o˙zmy, ˙ze L = P . Poniewa˙z {a} ∈ L, wiec {a} ∈ P , czyli {a} = {x}, lub {a} = {x, y}._, W obu przypadkach x ∈ {a}, a wiec a = x._,

Pozostaje wykaza´c, ˙ze b = y. Uwzgledniaj_, ac r´_, owno´s´c a = x, mo˙zemy teraz napisa´c P = hx, yi = {{a}, {a, y}}.

Skoro L = P to tak˙ze S L = S P , czyli {a, b} = {a, y}. Stad albo y = b (i dobrze) albo_, y = a. Ale wtedy {a, y} = {a} = {a, b}, skad b ∈ {a} = {y}. A wi_, ec te˙z b = y._,

Definicja 2.3 Iloczynem kartezja´nskim zbior´ow a i b nazywamy taki zbi´or a × b, ˙ze dla dowolnego t:

t ∈ a × b wtedy i tylko wtedy, gdy ∃u∃v(t = hu, vi ∧ u ∈ a ∧ v ∈ b).

Uwaga: Iloczyn kartezja´nski a × b zawsze istnieje i jest dok ladnie jeden. Istotnie, mo˙zna go zdefiniowa´c tak: a × b = {t ∈ P(P(a ∪ b)) | ∃u∃v(t = hu, vi ∧ u ∈ a ∧ v ∈ b)}.

Definicja 2.4 Dowolny podzbi´or r iloczynu kartezja´nskiego a × b nazywamy relacja_,² ze zbioru a w zbi´or b. Je´sli a = b, to m´owimy, ˙ze r jest relacja w zbiorze a._,

Piszemy czasami

”x r y” zamiast

”hx, yi ∈ r”.

Uwaga: O relacji mo˙zna m´owi´c wtedy gdy wiadomo w jakim zbiorze jest okre´slona.

Inkluzja (zawieranie) dowolnych zbior´ow nie jest relacja. Ale dla dowolnej rodziny zbior´_, ow R, zbi´or par

⊆_R= {hx, yi ∈ R × R | x ⊆ y}

jest relacja w zbiorze R. Dlatego mo˙zna m´_, owi´c o

”relacji inkluzji w zbiorze R”.

Definicja 2.5 Pewne w lasno´sci relacji dwuargumentowych maja swoje nazwy. Oto nie-_, kt´ore z nich. M´owimy, ˙ze relacja r w zbiorze a jest

zwrotna gdy ∀x∈a (x r x)

symetryczna gdy ∀x∈a ∀y∈a (x r y → y r x)

przechodnia gdy ∀x∈a ∀y∈a ∀z∈a(x r y ∧ y r z → x r z) antysymetryczna gdy ∀x∈a ∀y∈a (x r y ∧ y r x → x = y)

sp´ojna gdy ∀x∈a ∀y∈a (x r y ∨ y r x)

Na przyk lad relacja prostopad lo´sci prostych na p laszczy´znie jest symetryczna, ale nie jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia ani sp´ojna. Natomiast relacja r´ownoleg lo´sci prostych jest zwrotna, przechodnia i symetryczna, ale nie jest antysymetryczna ani sp´ojna.

Definicja 2.6 Relacja odwrotn_, a do danej relacji r ⊆ a × b nazywamy zbi´_, or r⁻¹ = {hy, xi | hx, yi ∈ r} ⊆ b × a

Je´sli r ⊆ a × b oraz s ⊆ b × c, to z lo˙zeniem relacji r i s nazywamy relacje (r ; s) ⊆ a × c,_, okre´slona tak:_,

x (r ; s) y wtedy i tylko wtedy, gdy ∃z ∈ b (x r z ∧ z s y).

3 Funkcje

Funkcja to szczeg´olny rodzaj relacji. Zatem tak˙ze funkcje sa w teorii mnogo´sci rozumiane_, jako zbiory par argument-warto´s´c. Nie ma tu znaczenia jak dana funkcja jest zdefiniowana, a jedynie jakie warto´sci sa przypisane poszczeg´_, olnym argumentom.

2Ograniczamy sie do relacji dwuargumentowych. Relacje tr´_, ojargumentowe mo˙zna definiowa´c np. jako podzbiory iloczyn´ow postaci (a × b) × c.

Definicja 3.1 Relacja f ⊆ a×b jest funkcja ze zbioru a w zbi´_, or b (co zapisujemy f : a → b) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) ∀x∈a ∃y∈b (hx, yi ∈ f );

2) ∀x∈a ∀y∈b ∀z∈b (hx, yi ∈ f ∧ hx, zi ∈ f → y = z).

Jedyny element y ∈ b spe lniajacy warunek hx, yi ∈ f oznaczamy przez f (x). Zbi´_, or a nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez Dom(f ). Zbiorem warto´_, sci funkcji f nazywamy zbi´or Rg(f ) = {y ∈ b | ∃x∈a f (x) = y}. Zbi´or wszystkich funkcyj z a do b oznaczamy przez b^a.

Zauwa˙zmy, ˙ze aby jednoznacznie okre´sli´c funkcje f : a → b potrzeba i wystarcza okre´sli´_, c warto´s´c f (x) dla dowolnego x ∈ a. Je´sli f, g sa dwoma funkcjami z a w b, to:_,

f = g wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈a f (x) = g(x);

f 6= g wtedy i tylko wtedy, gdy ∃x∈a f (x) 6= g(x).

Warto te˙z sobie u´swiadomi´c, ˙ze je´sli f jest dowolnym zbiorem par uporzadkowanych, spe l-_, niajacym warunek (2) powy˙z_, ej, to f jest funkcj_, a z pewnego zbioru a w pewien zbi´_, or b. Do- ciekliwi latwo zauwa˙za, ˙ze dziedzina i zbi´_, or warto´sci tej funkcji sa zawarte w zbiorze_, S S f .

Definicja 3.2

• Funkcja f : a → b jest r´o˙znowarto´sciowa (notacja f : a −→ b) wtedy i tylko wtedy,¹⁻¹ gdy zachodzi warunek ∀x, y ∈ a (x 6= y → f (x) 6= f (y)), lub r´ownowa˙znie, gdy

∀x, y ∈ a (f (x) = f (y) → x = y).

• Funkcja f : a → b jest na b wtedy i tylko wtedy, gdy ∀y∈b ∃x∈a (f (x) = y), lub r´ownowa˙znie, gdy b = Rg(f ). U˙zywamy wtedy zapisu f : a−→ b.^na

• Funkcje r´_, o˙znowarto´sciowa nazywamy te˙z injekcj_, a, funkcj_, e_,

”na” nazywamy surjekcja,_, a funkcje, kt´_, ora jest r´o˙znowarto´sciowa i

”na” nazywamy bijekcja. W przypadku bi-_, jekcji stosujemy notacje f : a_, −→¹⁻¹

na b.

Przyk ladem funkcji r´o˙znowarto´sciowej jest f : P(A) −→ P(A × A), okre´slona wzorem¹⁻¹ f (z) = z × z, dla z ⊆ A. Przyk ladami surjekcji sa rzutowania π_{, 1} : A × B → A oraz π2 : A × B → B okre´slone r´ownaniami π1(hx, yi) = x i π2(hx, yi) = y. Zauwa˙zmy jednak,

˙ze ka˙zda funkcja f jest surjekcja na sw´_, oj zbi´or warto´sci Rg(f ).

Odwracanie i sk ladanie

Je˙zeli f : a−→ b to relacj¹⁻¹ e f_, ⁻¹ nazywamy funkcja odwrotn_, a do funkcji f ._,

Fakt 3.3 Je´sli f : a−→ b, to f^{1−1 −1} : Rg(f )−→¹⁻¹

na a.

Dow´od: Na poczatek zauwa˙zmy, ˙ze f_, ⁻¹ ⊆ Rg(f ) × a, bo je´sli hx, yi ∈ f⁻¹ to hy, xi ∈ f , wiec y ∈ a oraz x = f (y) ∈ Rg(f )._,

Sprawdzamy warunki (1) i (2) Definicji 3.1.

1) Je´sli x ∈ Rg(f ), to x = f (y) dla pewnego y, wiec hx, yi ∈ f_, ⁻¹.

2) Je´sli hx, yi ∈ f⁻¹ i hx, zi ∈ f⁻¹, to x = f (y) i x = f (z), skad y = z, bo funkcja f jest_, r´o˙znowarto´sciowa.

Funkcja f⁻¹ jest r´o˙znowarto´sciowa, bo gdyby f⁻¹(x) = f⁻¹(y) = z to x = f (z) = y. Jest ona tak˙ze na a, bo dla dowolnego y ∈ a mamy y = f⁻¹(f (y)).

Definicja 3.4 Niech f : a → b oraz g : b → c. Z lo˙zeniem funkcji f i g nazywamy funkcje_, g ◦ f : a → c okre´slona r´_, ownaniem (g ◦ f )(x) = g(f (x)), dla dowolnego x ∈ a.

Uwaga: Je´sli z lo˙zenie g ◦ f jest okre´slone, to g ◦ f = (f ; g).

Dowody poni˙zszych fakt´ow pozostawione sa jako ´_, cwiczenie:

Fakt 3.5

1) Je´sli f : a → b, g : b → c i h : c → d, to h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . 2) Je´sli istnieje f⁻¹ to f⁻¹◦ f = id_{Dom(f )} oraz f ◦ f⁻¹ = id_{Rg(f )}. 3) Zawsze f ◦ id_{Dom(f )} = f = id_{Rg(f )}◦ f .

Fakt 3.6

1) Je´sli f : a−→ b oraz g : b¹⁻¹ −→ c to g ◦ f : a¹⁻¹ −→ c.¹⁻¹ 2) Je´sli f : a−→ b oraz g : b^na −→ c to g ◦ f : a^na −→ c.^na

Definicja 3.7 Niech f : A → B. Obrazem zbioru C ⊆ A przy przekszta lceniu f nazy- wamy zbi´or

→

f (C) = {b ∈ B | ∃a ∈ C (f (a) = b)}.

Inaczej mo˙zna napisa´c:

→

f (C) = {f (a) | a ∈ C}.

A przeciwobrazem zbioru D ⊆ B przy przekszta lceniu f nazywamy zbi´or

→

f⁻¹(D) = {a ∈ A | f (a) ∈ D}.

Na przyk lad niech f : N → P(N) bedzie funkcj_, a przyporz_, adkowuj_, ac_, a ka˙zdej liczbie n ∈ N_, zbi´or jej w la´sciwych (r´o˙znych od 1 i od n) dzielnik´ow pierwszych, przy czym przyjmijmy, ˙ze zero nie ma dzielnik´ow pierwszych. Wtedy

→

f ({1, 3, 4, 6, 9}) = {∅, {2}, {3}, {2, 3}}, a je´sli P oznacza zbi´or liczb pierwszych, to

→

f (P ) = {∅}. Natomiast

→

f⁻¹({{2}, {1, 2, 27, 36}}) = {2^k | k ∈ N − {0, 1}}.

Uwaga: Oznaczenie

→

f ⁻¹(A) jest w istocie dwuznaczne. Mo˙ze tu chodzi´c o przeciwo- braz A przy przekszta lceniu f lub o obraz A przy przekszta lceniu f⁻¹ (je´sli jest okre´slone).

Szcze´sliwie, w obu wypadkach chodzi o ten sam zbi´_, or (´cwiczenie).

Rodzina indeksowana i produkt uog´ olniony

O rodzinie indeksowanej {A_t}_t∈T m´owimy wtedy, gdy rozwa˙zamy pewne obiekty (zbiory) A_t indeksowane elementami zbioru T , a przy tym mo˙zliwe sa powt´_, orzenia. Chcemy bowiem odr´o˙zni´c rodzine indeksowan_, a od zbioru {A_{, t} | t ∈ T }. Najpro´sciej jest przyja´_,c, ˙ze rodzina indeksowana to po prostu odpowiednia funkcja.

Definicja 3.8 Rodzina indeksowan_, a {A_{, t}}_t∈T nazywamy taka funkcj_, e A, ˙ze Dom(A) = T_, oraz A(t) = A_t, dla dowolnego t ∈ T .

Iloczyn kartezja´nski (produkt) A × B zdefiniowali´smy jako zbi´or par. Produkt trzech zbior´ow mo˙zna zdefiniowa´c na przyk lad jako (A × B) × C. Podobnie dla czterech i wiecej_, zbior´ow. Elementami produktu sko´nczonej liczby zbior´ow sa wi_, ec krotki odpowiedniej d lu-_, go´sci. O takich krotkach mo˙zna my´sle´c jak o ciagach sko´_, nczonych. To podsuwa pomys l jak mo˙zna zdefiniowa´c produkt rodziny zbior´ow indeksowanej liczbami naturalnymi: pro- duktem rodziny {A_n}_n∈N powinien by´c zbi´or wszystkich ciag´_, ow niesko´nczonych a₀, a₁, . . . spe lniajacych warunek a_, n ∈ An dla dowolnego n ∈ N. No dobrze, ale co to jest ”ciag_, niesko´nczony”? Funkcja o dziedzinie N. Po tej obserwacji poni˙zsza definicja powinna by´c oczywista.

Definicja 3.9 Produktem uog´olnionym (lub po prostu

”produktem” albo

”iloczynem kar- tezja´nskim”) rodziny indeksowanej {A_t}_t∈T nazywamy zbi´or

Q

t∈T At= {f ∈ P(T ×S

t∈T At) | (f : T →S

t∈T At) ∧ (∀t ∈ T (f (t) ∈ At)}

Zapiszmy inaczej to, co najwa˙zniejsze w tej definicji:

f ∈Q

t∈T A_t ⇔ f jest funkcja, Dom(f ) = T oraz ∀t ∈ T (f (t) ∈ A_{, t})

Pewnik wyboru

Definicja 3.10 Niech X bedzie dowoln_, a rodzin_, a zbior´_, ow. Zbi´or S ⊆ S X nazywamy selektorem dla rodziny X, je˙zeli S ma dok ladnie po jednym elemencie wsp´olnym z ka˙zdym zbiorem rodziny X, tj.:

∀a ∈ X∃t ∈ a (S ∩ a = {t}).

Funkcja f : X →S X jest funkcja wyboru dla X, je´sli f (a) ∈ a dla dowolnego a ∈ X._,

Na przyk lad zbi´or {1, 3, 4} jest selektorem dla rodziny {{1, 2}, {3, 5}, {4, 5}}, a rodzina {{1}, {2}, {1, 2}} nie ma selektora.

3.11 (Aksjomat wyboru)

Dla dowolnej rodziny niepustych zbior´ow parami roz lacznych_, ³ istnieje selektor.

Nastepuj_, ace twierdzenie jest alternatywnym sformu lowaniem aksjomatu wyboru._,

Twierdzenie 3.12 Dla dowolnej rodziny X zbior´ow niepustych istnieje funkcja wyboru.

Dow´od: Rozpatrzmy funkcje F : X → P(X ×_, S X), okre´slona warunkiem F (a) =_, {a} × a, dla a ∈ X. Niech Y = Rg(F ), tj Y = {{a} × a | a ∈ X}. Poniewa˙z X jest rodzina zbior´_, ow niepustych, wiec tak˙ze Y jest rodzin_, a zbior´_, ow niepustych. Co wiecej,_, zbiory nale˙zace do Y s_, a parami roz l_, aczne. (Je´sli bowiem t ∈ ({a} × a) ∩ ({b} × b) to_, t = ha, ξi = hb, νi dla pewnych ξ ∈ a ∈ X i ν ∈ b ∈ X. Ale wtedy a = b na mocy Lematu 2.2, wiec {a} × a = {b} × b.)_,

A zatem rodzina Y ma selektor S. Udowodnimy, ˙ze S jest funkcja wyboru dla X. W tym_, celu sprawdzimy warunki wymienione w Definicji 3.1.

3M´owimy, ˙ze rodzina R jest roz laczna lub jest rodzin_, a zbior´_, ow parami roz lacznych, gdy zachodzi_, warunek ∀a, b ∈ R(a 6= b → a ∩ b = ∅).

Na poczatek zauwa˙zmy, ˙ze S ⊆ X ×S X. Istotnie, S ⊆ S Y , je´sli wi_, ec t ∈ S to t ∈ {a}×a,_, dla pewnego a ∈ X. Wtedy t = ha, ρi dla pewnego ρ ∈ a, a wiec t ∈ X ×_, S X, bo ρ ∈ a ∈ X.

Dalej nietrudno stwierdzi´c, ˙ze zachodzi nastepuj_, acy warunek (nieco silniejszy ni˙z (1) w De-_, finicji 3.1):

1) ∀a ∈ X∃µ ∈ a (ha, µi ∈ S)

Rzeczywi´scie, je´sli a ∈ X to {a} × a ∈ Y wiec jest t ∈ S ∩ ({a} × a). Ale wtedy t musi by´_, c postaci ha, µi.

Ponadto mamy:

2) ∀a ∈ X∀σ, τ (ha, σi ∈ S ∧ ha, τ i ∈ S → σ = τ ),

a to dlatego, ˙ze pary ha, σi i ha, τ i nale˙zace do jednoelementowego zbioru S ∩ ({a} × a)_, musza by´_, c r´owne.

A zatem nasz selektor jest funkcja z X do_, S X. Z warunku (1) powy˙zej wynika, ˙ze zawsze S(a) ∈ a, wiec S jest funkcj_, a wyboru._,

Pewnik wyboru czasami budzi kontrowersje ze wzgledu na niekt´_, ore swoje zaskakujace kon-_, sekwencje. Ale nastepuj_, ace dwa twierdzenia stanowi_, a przyk lady intuicyjnie oczywistych_, fakt´ow, kt´orych dowody wymagaja u˙zycia tego aksjomatu._,

Twierdzenie 3.13 Je´sli {At}t∈T jest rodzina indeksowan_, a zbior´_, ow niepustych, to produkt Π_t∈TA_t jest niepusty.

Dow´od: Niech ϕ bedzie funkcj_, a wyboru dla {A_{, t}| t ∈ T } i niech f : T → S{At| t ∈ T } bedzie okre´slona przez r´_, ownanie f (t) = ϕ(A_t), dla t ∈ T . Oczywi´scie f ∈ Q

t∈TA_t. Twierdzenie 3.14 Je´sli A 6= ∅, to nastepuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne:

1) Istnieje funkcja f : A−→ B;¹⁻¹ 2) Istnieje funkcja g : B −→ A.^na

Dow´od: (1)⇒(2): Skoro A 6= ∅, to mamy jaki´s element α ∈ A. A skoro funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa, to istnieje funkcja odwrotna f⁻¹ : Rg(f ) −→¹⁻¹

na A. Mo˙zemy wiec tak_, zdefiniowa´c g(b), dla b ∈ B:

g(b) = f⁻¹(b), je´sli b ∈ Rg(f );

α, w przeciwnym przypadku.

(2)⇒(1): Dla a ∈ A, niech F_a= g⁻¹({a}). Zbiory F_a sa niepuste, wi_, ec produkt Π_{, a∈A}F_a jest niepusty, czyli istnieje funkcja f : A → B (zauwa˙zmy, ˙ze S

a∈AF_a ⊆ B). Ta funkcja jest r´o˙znowarto´sciowa bo zbiory g⁻¹({a}) sa roz l_, aczne._,

4 Relacje r´ ownowa ˙zno´ sci

Relacja r´ownowa˙zno´sci jest zazwyczaj zadana przez jakie´s kryterium klasyfikacji przed- miot´ow ze wzgledu na pewn_, a cech_, e. Przedmioty s_, a w relacji je´sli maj_, a t_, e cech_, e wsp´_, olna, tj._, kryterium ich nie rozr´o˙znia. Zwykle prowadzi to do uto˙zsamiania przedmiot´ow

”nierozr´o˙z- nialnych” i tworzenia poje´_,c abstrakcyjnych, np.

”wektor swobodny”,

”kierunek”. W tym przypadku s lowo

”abstrakcja” nale˙zy rozumie´c jako oderwanie od pozosta lych cech przed- miot´ow, kt´ore sa nieistotne z punktu widzenia naszego kryterium._,

Definicja 4.1 Relacja r w zbiorze a jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (Definicja 2.5), to jest:

• ∀x∈a (x r x);

• ∀x∈a ∀y∈a (x r y → y r x);

• ∀x∈a ∀y∈a ∀z∈a(x r y ∧ y r z → x r z).

Klasa abstrakcji relacji r wyznaczon_, a przez element x ∈ a nazywamy zbi´_, or [x]_r = {y ∈ a | x r y}.

Przyk ladami relacyj r´ownowa˙zno´sci sa r´_, ownoleg lo´s´c prostych, podobie´nstwo figur geome- trycznych, przystawanie wektor´ow. Skrajne przyk lady relacyj r´ownowa˙zno´sci w dowolnym zbiorze a to relacja identyczno´sciowa id_a = {hx, xi | x ∈ a} i relacja pe lna (totalna) a × a.

Szczeg´olnym przyk ladem jest jadro dowolnego przekszta lcenia f : a → b, czyli relacja_, ker(f ) zadana przez

hx, yi ∈ ker(f ) ⇔ f (x) = f (y).

Fakt 4.2

1) Je´sli r ⊆ A × A jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci w zbiorze A oraz x ∈ A to x ∈ [x]r. 2) Je´sli r ⊆ A × A jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci w zbiorze A oraz x, y ∈ A to nastepuj_, ace_,

warunki sa r´_, ownowa˙zne:

a) x r y;

b) x ∈ [y]_r;

c) y ∈ [x]_r; d) [x]_r = [y]_r; e) [x]_r∩ [y]_r 6= ∅.

Dow´od: Cze´s´_, c (1) wynika natychmiast ze zwrotno´sci relacji r. W cze´sci (2) r´_, ownowa˙zno´s´c warunk´ow (a), (b) i (c) wynika wprost z tego, ˙ze relacja jest symetryczna.

(a)⇒(d) Za l´o˙zmy, ˙ze x r y i niech t ∈ [x]_r. Wtedy x r t, wiec z przechodnio´sci i symetrii_, tak˙ze y r t. A wiec pokazali´smy inkluzj_, e [x]_, r ⊆ [y]r. Inkluzji odwrotnej dowodzimy analog- icznie.

(d)⇒(e) Skoro x ∈ [x]_r = [y]_r, to x ∈ [x]_r∩ [y]_r.

(e)⇒(a) Je´sli t ∈ [x]_r∩ [y]_r, to x r t oraz y r t. Z przechodnio´sci i symetrii wynika x r y.

Definicja 4.3 Zbi´or wszystkich klas abstrakcji relacji r oznaczamy przez a/r i nazywamy zbiorem ilorazowym relacji r.

Fakt 4.4 Ka˙zda relacja r´ownowa˙zno´sci jest jadrem pewnego przekszta lcenia._,

Dow´od: Niech r ⊆ A × A bedzie relacj_, a r´_, ownowa˙zno´sci w zbiorze A. Rozpatrzmy

”naturalna” surjekcj_, e κ : A → A/r, okre´slon_, a tak:_, κ(a) = [a]r, dla a ∈ A.

W´owczas oczywi´scie ker(κ) = r.

Definicja 4.5 Podzia lem zbioru A nazywamy dowolna rodzin_, e P ⊆ P(A), kt´_, ora spe lnia warunki:

• ∀p∈P (p 6= ∅);

• ∀p, q∈P (p = q ∨ p ∩ q = ∅);

• S P = A, czyli ∀x∈A∃p∈P (x ∈ p).

Twierdzenie 4.6 (Zasada abstrakcji)

1) Je˙zeli r jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci w zbiorze A to A/r jest podzia lem zbioru A.

2) Je˙zeli P jest podzia lem zbioru A, to istnieje taka relacja r´ownowa˙zno´sci r w A, ˙ze P = A/r.

Dow´od: Cze´s´_, c (1) wynika latwo z Faktu 4.2. Dla dowodu cze´sci (2), rozpatrzmy dowolny_, podzia l P zbioru A i niech r bedzie tak_, a relacj_, a:_,

r = {hx, yi ∈ A × A | ∃p∈P (x ∈ p ∧ y ∈ p)}

Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze r jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci. Zwrotno´s´c wynika z warunkuS P = A, a symetria wprost z definicji r. Pozostaje przechodnio´s´c. Przypu´s´cmy wiec, ˙ze x r y i y r z._, Wtedy sa takie p, q ∈ P , ˙ze x, y ∈ p oraz y, z ∈ q. Ale wtedy p ∩ q 6= ∅, wi_, ec p = q. Skoro_, wiec x ∈ p i z ∈ q = p, to x r z._,

Nastepna obserwacja jest taka:_,

Je´sli x ∈ p ∈ P to [x]_r = p. (*)

Dla dowodu (*) przypu´s´cmy, ˙ze x ∈ p ∈ P i niech t ∈ [x]_r. Wtedy x, t ∈ q dla pewnego q ∈ P . Ale q = p bo x ∈ p ∧ q. Zatem t ∈ p i wykazali´smy ju˙z, ˙ze [x]_r ⊆ p. Na odwr´ot, je´sli t ∈ p, to t r x (bo x ∈ p) wiec t ∈ [x]_{, r}.

Teraz wreszcie poka˙zemy, ˙ze P = A/r.

(⊆): Je´sli p ∈ P , to p 6= ∅, wiec jest x ∈ p. Wtedy p = [x]_, r na mocy (*), wiec p ∈ A/r._, (⊇): Dla dowolnego x ∈ a istnieje takie p ∈ P , ˙ze x ∈ p. Wtedy [x]_r = p. A zatem ka˙zda klasa [x]_r ∈ A/r nale˙zy do P .

5 Liczby naturalne

Podobno to Leopold Kronecker twierdzi l, ˙ze liczby naturalne stworzy l Pan B´og, a reszte_, wymy´slili ludzie. Mimo ˙ze pojecie liczby naturalnej jest intuicyjnie oczywiste, matematy-_, cy od dawna usi lowali nada´c mu bardziej precyzyjny charakter. Mo˙zna to zrobi´c na dwa sposoby: aksjomatycznie lub poprzez konstrukcje. Z metod_, a aksjomatyczn_, a najcz_, e´sciej_, wia˙zemy nazwisko Giuseppe Peano. Aksjomaty Peano liczb naturalnych s_, a takie:_,

• Zero jest liczba naturaln_, a._,

• Ka˙zda liczba naturalna ma nastepnik, kt´_, ory jest liczba naturaln_, a._,

• Liczby o tych samych nastepnikach s_, a r´_, owne.

• Zero nie jest nastepnikiem ˙zadnej liczby naturalnej._,

• Je´sli zero ma pewna w lasno´s´_, c W , oraz

– z tego ˙ze jaka´s liczba naturalna ma w lasno´s´c W wynika, ˙ze jej nastepnik te˙z ma_, w lasno´s´c W ,

to ka˙zda liczba naturalna ma w lasno´s´c W .

Pomys l na definicje liczb naturalnych, kt´_, ora teraz podamy, pochodzi od Johna von Neu-_, manna. Liczbe naturaln_, a rozumiemy jako liczb_, e element´_, ow pewnego zbioru sko´nczonego.

A zatem jako definicje np. liczby naturalnej 5 mo˙zna przyj_, a´_,c po prostu pewien ustalony, wzorcowy zbi´or o pieciu elementach. Oczywi´scie zero to musi by´_, c zbi´or pusty. A pozosta le liczby najpro´sciej zdefiniowa´c tak: liczba naturalna to zbi´or wszystkich liczb mniejszych od niej. Nastepnikiem liczby n jest wtedy n ∪ {n}. A wi_, ec:_,

0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}}, 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . .

˙Zeby jednak

”zalegalizowa´c” istnienie zbioru wszystkich liczb naturalnych potrzebujemy odpowiedniego aksjomatu.

Definicja 5.1 Ka˙zdy zbi´or N , spe lniajacy warunek_,

∅ ∈ N ∧ ∀z (z ∈ N → z ∪ {z} ∈ N ) nazywamy zbiorem induktywnym.

5.2 (Aksjomat niesko´nczono´sci) Istnieje zbi´or induktywny.

Tak sformu lowany aksjomat to jeszcze troche za ma lo. Zbior´_, ow induktywnych mo˙ze by´c wiele i moga one mie´_, c dodatkowe

”niepotrzebne” elementy. Nam jest potrzebny zbi´or induktywny, kt´ory sk lada sie tylko z zera i tych rzeczy, kt´_, ore mo˙zna z niego otrzyma´c przez stosowanie operacji nastepnika._,

Lemat 5.3 Je´sli R jest niepusta rodzin_, a zbior´_, ow induktywnych, to T R jest zbiorem in- duktywnym.

Dow´od: Poniewa˙z ∅ ∈ N , dla dowolnego N ∈ R, to ∅ ∈T R. Przypu´s´cmy, ˙ze z ∈ T R.

Wtedy z ∈ N , a wiec tak˙ze z ∪ {z} ∈ N , dla dowolnego N ∈ R. St_, ad z ∪ {z} ∈_, T R.

Twierdzenie 5.4 Istnieje (dok ladnie jeden) najmniejszy zbi´or induktywny, tj. taki zbi´or induktywny N, ˙ze N ⊆ N dla dowolnego zbioru induktywnego N .

Dow´od: Niech M bedzie dowolnym zbiorem induktywnym. Po l´_, o˙zmy R = {N ∈ P(M ) | N jest induktywny}

i niech N =T R. Na mocy Lematu 5.3, zbi´or N jest induktywny. Ponadto jest to najmniej- szy zbi´or induktywny. Rzeczywi´scie, przypu´s´cmy, ˙ze N jest induktywny. Wtedy iloczyn N ∩ M jest induktywny (znowu na mocy Lematu 5.3) i nale˙zy do rodziny R. A zatem N ∩ M zawiera iloczyn tej rodziny, czyli N.

Na koniec zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze najmniejszy zbi´or induktywny mo˙ze by´c tylko jeden.

Gdyby by ly dwa, to by sie nawzajem zawiera ly, a wi_, ec i tak by lby tylko jeden._,

Definicja 5.5 Elementy zbioru N, o kt´orym mowa w Twierdzeniu 5.4 nazywamy liczbami naturalnymi. Funkcje s : N → N, okre´slon_, a warunkiem s(n) = n ∪ {n} nazywamy nast_, ep-_, nikiem.

Twierdzenie 5.6 (Zasada indukcji) Je´sli A ⊆ N ma takie w lasno´sci:

1) 0 ∈ A;

2) ∀n (n ∈ A → s(n) ∈ A), to A = N.

Dow´od: Wtedy A jest induktywny, zatem N ⊆ A.

Fakt 5.7 Je´sli n ∈ N to n ⊆ N.

Dow´od: Skorzystamy z zasady indukcji (udowodnimy, ˙ze zbi´or A = {n ∈ N | n ⊆ N}

jest induktywny.)

1) Poniewa˙z 0 ∈ N, oraz 0 = ∅ ⊆ N wiec 0 ∈ A._,

2) Niech n ∈ A, czyli n ⊆ N (korzystamy z za lo˙zenia indukcyjnego). Wtedy tak˙ze s(n) = n ∪ {n} ⊆ N, bo n ⊆ N i {n} ⊆ N.

Fakt 5.8 Je´sli m ∈ n ∈ N to m ⊆ n.

Dow´od: Udowodnimy, ˙ze zbi´or A = {n ∈ N | ∀m ∈ N (m ∈ n → m ⊆ n)} jest induktywny, tj. wykonamy dow´od przez indukcje_,

”ze wzgledu na n”._, 1) Je´sli m ∈ ∅ to

”walkowerem” m ⊆ ∅ wiec 0 = ∅ ∈ A._,

2) Niech n ∈ A. Przypu´s´cmy, ˙ze m ∈ n ∪ {n}. Je´sli m ∈ n to m ⊆ n z za lo˙zenia indukcyjnego, a je´sli m ∈ {n} to m = n, czyli te˙z m ⊆ n.

Fakt 5.9 Je´sli m, n ∈ N oraz s(m) = s(n) to m = n.

Dow´od: Za l´o˙zmy, ˙ze s(m) = s(n), czyli, ˙ze m ∪ {m} = n ∪ {n}. Wtedy m ∈ n ∪ {n}, wiec albo m ∈ n albo m = n. Na mocy Faktu 5.8, w obu przypadkach m ⊆ n. Podobnie_, dowodzimy, ˙ze n ⊆ m.

Mora l: Konstrukcja liczb von Neumanna spe lnia aksjomaty Peano, jest wiec poprawn_, a_,

”implementacja” poj_, ecia liczby naturalnej. Istotnie:_,

• 0 = ∅ ∈ N, bo N jest induktywny.

• Je´sli n ∈ N to s(n) = n ∪ {n} ∈ N, bo N jest induktywny.

• Zero nie jest nastepnikiem, bo zbi´_, or n ∪ {n} jest zawsze niepusty.

• Nastepnik jest funkcj_, a r´_, o˙znowarto´sciowa, na mocy Faktu 5.9._,

• Ostatni aksjomat jest spe lniony na mocy zasady indukcji 5.6.

Definiowanie przez indukcj e

Definicja 5.10 Je´sli f : A → B i C ⊆ A, to obcieciem funkcji f do zbioru C nazywamy_, funkcje f |_{, C} : C → B, okre´slona warunkiem f |_{, C}(x) = f (x), dla x ∈ C.

Twierdzenie 5.11

1) Istnieje dok ladnie jedna funkcja D : N × N → N, spe lniajaca warunki:_, a) D(0, m) = m;

b) D(s(k), m) = s(D(k, m)), dla dowolnych k, m ∈ N.

2) Istnieje dok ladnie jedna funkcja M : N × N → N, spe lniajaca warunki:_, a) M (0, m) = 0;

b) M (s(k), m) = D(M (k, m), m).

dla dowolnych k, m ∈ N.

Dow´od: * (1) Na potrzeby tego dowodu, przyjmijmy, ˙ze funkcja D : A × N → N, gdzie A ⊆ N, jest dobra, wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia warunki (a) i (b) dla dowolnych m ∈ N i takich k, ˙ze s(k) ∈ A. Najpierw przez indukcje poka˙zemy, ˙ze dla dowolnego n ∈ N istnieje dok ladnie jedna dobra funkcja D_, ⁿ : s(n)×N → N.

Oczywi´scie funkcja D0 jest jednoznacznie okre´slona warunkiem D0(0, m) = m. Za l´o˙zmy wiec, ˙ze istnieje_, dobra funkcja Dn: s(n) × N → N. Okre´slamy funkcje D_{, s(n)}: s(s(n)) × N → N w ten spos´ob:

Ds(n)(k, m) =

 D_n(k, m), je´sli k ∈ s(n);

s(D_n(n, m)), jesli k = s(n).

Ta funkcja jest dobra, co wynika z definicji i z za lo˙zenia indukcyjnego o funkcji Dn. Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje jeszcze inna dobra funkcja D : s(s(n))×N → N. Wtedy funkcja D|s(n)×N: s(n)×N → N te˙z musi by´c dobra.

Z za lo˙zenia indukcyjnego funkcje Dni D|_s(n)×Nsa r´_, owne, a stad D_{, s(n)}(k, m) = Dn(k, m) = D|_s(n)×N(k, m) dla wszystkich k ∈ s(n). Ponadto D_s(n)(s(n), m) = s(Dn(n, m)) = s(D|_s(n)×N(n, m)) = D(s(n), m)), wiec_, funkcje D_s(n) i D sa identyczne._,

Okre´slimy teraz funkcje D : N × N → N warunkiem_,

D(k, m) = Dk(k, m).

Sprawd´zmy, ˙ze ta funkcja jest dobra. Po pierwsze D(0, m) = D0(0, m) = m, po drugie D(s(k), m) = D_s(k)(s(k), m) = s(Dk(k, m)) = s(D(k, m)). Gdyby istnia la inna dobra funkcja D⁰ : N × N → N, to ka˙zda z funkcji D⁰|_s(n)×N : s(n) × N → N by laby dobra, a zatem identyczna z Dⁿ. Stad, dla ka˙zdego n,_, mieliby´smy D⁰(n) = (D⁰|_s(n)×N)(n) = Dn(n) = D(n).

(2) Dow´od tej cze´_,sci jest bardzo podobny do powy˙zszego.

Definicja 5.12 Funkcje D i M , o kt´orych mowa w Twierdzeniu 5.11, nazywamy odpowied- nio dodawaniem i mno˙zeniem liczb naturalnych. Zamiast D(k, m) piszemy k+m, a zamiast M (k, m) piszemy k · m lub km.

Przyk lad 5.13 2 · 2 = 1 · 2 + 2 = (0 · 2 + 2) + 2 = (0 + 2) + 2 = 2 + 2 = s(1 + 2) = s(s(0 + 2)) = s(s(2)) = s(s(s(s(0)))) = 4.

Dodawanie i mno˙zenie sa przyk ladami funkcji, kt´_, ore mo˙zna zdefiniowa´c za pomoca tzw._, rekursji prostej. Og´olny schemat rekursji prostej wyglada tak:_,

f (0, n₁, . . . , n_k) = g(n₁, . . . , n_k);

f (s(m), n1, . . . , nk) = h(m, n1, . . . , nk, f (m, n1, . . . , nk)).

Tutaj definiujemy funkcje f przez indukcj_, e ze wzgl_, edu na pierwszy argument, z pomoc_, a_, ju˙z okre´slonych funkcji g i h. Bardziej og´olny schemat definicji indukcyjnej jest taki (dla uproszczenia ograniczmy sie do funkcji dwuargumentowej):_,

f (m, n) = h(m, n, f |_m×N),

gdzie h : N × N × P((N × N) × N)) → N. Chodzi tu o to, ˙ze dla okre´slenia f (m, n) mo˙zna korzysta´c ze wszystkich warto´sci f (k, r), gdzie k ∈ m i r ∈ N.

Definicja 5.14 Relacje (nieostrej) nier´_, owno´sci pomiedzy liczbami naturalnymi definiu-_, jemy za pomoca dodawania:_,

m ≤ n wtedy i tylko wtedy, gdy ∃k(m + k = n).

Nier´owno´s´c ostra jest pojeciem wt´_, ornym w stosunku do relacji ≤:

m < n wtedy i tylko wtedy, gdy m ≤ n ale m 6= n.

Nastepuj_, acy lemat b_, edzie nam potrzebny do opisania pewnych w lasno´sci relacji ≤._, Lemat 5.15 Dla dowolnych liczb m, k, l ∈ N:

a) m + (k + l) = (m + k) + l;

b) Je´sli m + k = m to k = 0;

c) Je´sli k + l = 0 to k = 0;

d) m + 0 = m;

e) s(m) + k = m + s(k);

f ) m + k = k + m.

Dow´od: (a) Indukcja ze wzgledu na m. Po pierwsze 0 + (k + l) = (k + l) = ((0 + k) + l),_, po drugie z warunku m + (k + l) = (m + k) + l wynika s(m) + (k + l) = s(m + (k + l)) = s((m + k) + l) = s(m + k) + l = (s(m) + k) + l.

(b) Indukcja ze wzgledu na m._, Po pierwsze 0 + k = k, a wiec warunek 0 + k = 0_, oznacza, ˙ze k = 0. Po drugie r´owno´s´c s(m) + k = s(m) implikuje s(m + k) = s(m) (bo s(m) + k = s(m + k)). Zatem m + k = m, a wiec k = 0 z za lo˙zenia indukcyjnego._,

(c) Gdyby k + l = 0 i k 6= 0, to k = s(k⁰), dla pewnego k⁰. Zatem 0 = k + l = s(k⁰) + l = s(k⁰+ l) 6= 0, sprzeczno´s´c.

(d) Indukcja ze wzgledu na m. Po pierwsze 0 + 0 = 0 z definicji, po drugie s(m) + 0 =_, s(m + 0) = s(m), wprost z za lo˙zenia indukcyjnego.

(e) Indukcja ze wzgledu na m. Po pierwsze s(0)+k = s(0+k) = s(k) = 0+s(k). Po drugie, z_, r´owno´sci s(m)+k = m+s(k) wynika s(s(m))+k = s(s(m)+k) = s(m+s(k)) = s(m)+s(k).

(f) Indukcja ze wzgledu na m. Dla m = 0 wynika natychmiast z cz_, esci (d). Krok indukcyjny_, wynika z czesci (e): s(m) + k = s(m + k) = s(k + m) = s(k) + m = k + s(m)._,

Lemat 5.16 Nastepuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne dla dowolnych m, n ∈ N:

a) m < n;

b) ∃k(m + k = n ∧ k 6= 0);

c) s(m) ≤ n;

d) m ∈ n.

Dow´od: (a)⇒(b) Mamy m + k = n ale m 6= n. Zatem k 6= 0 na mocy Lematu 5.15(d).

(b)⇒(c) Skoro m + k = n i k 6= 0 to n = m + s(k⁰) = s(m) + k⁰ dla pewnego k⁰. U˙zyli´smy Lematu 5.15(e).

(c)⇒(d) Przez indukcje ze wzgl_, edu na k poka˙zemy, ˙ze dla dowolnych m i n, warunek_, n = s(m) + k implikuje m ∈ n. Je´sli k = 0 to n = s(m) = m ∪ {m}, wiec m ∈ n. Niech_, wiec n = s(m) + s(k). Wtedy n = s(s(m) + k) = (s(m) + k) ∪ {s(m) + k}. Z za lo˙zenia_, indukcyjnego m ∈ s(m) + k ⊆ n.

(d)⇒(a) Indukcja ze wzgledu na n. Je´sli n = 0 to warunek m ∈ n nigdy nie zachodzi,_, mo˙zemy wiec ´smia lo twierdzi´_, c, ˙ze ka˙zdy element zera spe lnia warunek m < 0. Niech wiec_, m < n dla wszystkich m ∈ n i przypu´s´cmy, ˙ze m ∈ s(n) = n ∪ {n}. Je´sli m ∈ n to z za lo˙zenia indukcyjnego mamy m < n, skad m + k = n, dla pewnego k. Z Lematu 5.15(e)_, wynika, ˙ze wtedy m + s(k) = s(m) + k = s(m + k) = s(n), a wiec m < s(n) na mocy_, cze´sci (b) tego lematu. Je´sli za´s m = n to m < s(n) bo s(n) = s(0 + n) = s(0) + n =_, n + s(0) = n + 1. U˙zyli´smy znowu Lematu 5.15(e).

Twierdzenie 5.17 Relacja ≤ jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i sp´ojna.⁴ Dow´od: Zwrotno´s´c wynika wprost z Lematu 5.15(d).

Przechodnio´s´c: przypu´s´cmy, ˙ze m ≤ n i n ≤ p. Wtedy m + k = n i n + l = p dla pewnych k, l. Zatem m + (k + l) = (m + k) + l = n + l = p, na mocy Lematu 5.15(a), wiec_, m ≤ p.

Antysymetria: przypu´s´cmy, ˙ze m ≤ n i n ≤ m. Wtedy m + k = n i n + l = m dla pewnych k, l. Zatem m + (k + l) = (m + k) + l = n + l = m. Zatem k + l = 0 i dalej k = 0 (Lemat 5.15(b,c)). Stad m = m + 0 = n, na mocy Lematu 5.15(d)._,

Sp´ojno´s´c: przez indukcje poka˙zemy, ˙ze ka˙zde n ∈ N spe lnia warunek:_,

∀m ∈ N(m ≤ n ∨ n ≤ m)

Dla n = 0 mamy zawsze n ≤ m, bo m = 0 + m. Za l´o˙zmy wiec, ˙ze ∀m ∈ N(m ≤ n ∨ n ≤ m)_, i poka˙zmy, ˙ze wtedy tak˙ze ∀m ∈ N(m ≤ s(n) ∨ s(n) ≤ m). Niech m ∈ N. Je´sli m ≤ n, czyli m + k = n, dla pewnego k, to m + s(k) = s(m) + k = s(m + k) = s(n), na mocy Lematu 5.15(e). W przeciwnym razie mamy n ≤ m, a w istocie n < m bo przypadek n = m ju˙z jest rozpatrzony. Nier´owno´s´c s(n) ≤ m wynika wtedy z Lematu 5.16.

Twierdzenie 5.18 (Zasada minimum) Ka˙zdy niepusty podzbi´or A zbioru N ma ele- ment najmniejszy, tj. taki element a ∈ A, ˙ze ∀b (b ∈ A → a ≤ b).

4Relacje o takich w lasno´_, sciach nazywamy relacja liniowego porz_, adku._,

Dow´od: Przypu´s´cmy, ˙ze A ⊆ N nie ma najmniejszego elementu. Niech B = {n ∈ N | ∀k(k ∈ A → n < k)}.

Poka˙zemy, ˙ze B jest induktywny. Stad wyniknie, ˙ze B = N, a zatem A = ∅._,

Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze 0 6∈ A. W przeciwnym razie 0 by loby oczywi´scie najmniejszym elementem (zawsze 0 ≤ m bo 0 + m = m). A wiec 0 ∈ B bo ∀k(k ∈ A → 0 < k)._,

Za l´o˙zmy, ˙ze n ∈ B. Skoro ∀k(k ∈ A → n < k) to ∀k(k ∈ A → s(n) ≤ k), na mocy Lematu 5.16. Gdyby wiec s(n) ∈ A to s(n) by loby najmniejszym elementem A. No to_, s(n) 6∈ A i warunek mo˙zna wzmocni´c: ∀k(k ∈ A → s(n) < k).

Wniosek 5.19 (Zasada indukcji) Je´sli B ⊆ N, oraz ∀n ∈ N(n ⊆ B → n ∈ B), to B = N.

Dow´od: Niech A = N − B. Je´sli B 6= N to A 6= ∅, ma wiec element najmniejszy n._, Wtedy n ⊆ B ale n 6∈ B, co jest sprzeczne z za lo˙zeniem.

Inne sformu lowanie powy˙zszej zasady jest takie: Aby udowodni´c, ˙ze ka˙zda liczba natu- ralna spe lnia pewien warunek (nale˙zy do pewnego zbioru B), wystarczy stwierdzi´c taka_, prawid lowo´s´c: je´sli wszystkie liczby mniejsze od pewnego n nale˙za do B, to tak˙ze n ∈ B._,

Konstrukcja liczb ca lkowitych

Rozpatrzmy nastepuj_, ac_, a relacj_, e w zbiorze N × N:_,

hm, ni ∼ hm⁰, n⁰i wtedy i tylko wtedy, gdy m + n⁰ = m⁰ + n.

Nietrudno zauwa˙zy´c, ˙ze to jest relacja r´ownowa˙zno´sci. Klasy abstrakcji relacji ∼ nazwiemy liczbami ca lkowitymi. Zbiorem wszystkich liczb ca lkowitych jest wiec Z = (N × N)/_, ^∼. Dzia lania na liczbach ca lkowitych okre´slamy tak:

[hm, ni]_∼+ [hm₁, n₁i]_∼ = [hm + m₁, n + n₁i]_∼

[hm, ni]∼· [hm₁, n₁i]∼ = [hmm₁+ nn₁, mn₁+ nm₁i]∼;

−[hm, ni]∼ = [hn, mi]∼

Uwaga: Te definicje sa poprawne, bo je´sli hm, ni ∼ hm_, ⁰, n⁰i i hm1, n1i ∼ hm⁰₁, n⁰₁i, to:

• hm + m₁, n + n₁i ∼ hm⁰+ m⁰₁, n⁰+ n⁰₁i;

• hmm₁+ nn₁, mn₁+ nm₁i ∼ hm⁰m⁰₁+ n⁰n⁰₁, m⁰n⁰₁+ n⁰m⁰₁i;

• hn, mi ∼ hn⁰, m⁰i.

Zbi´or wszystkich liczb ca lkowitych nie zawiera w sobie zbioru wszystkich liczb naturalnych.

Ale mo˙zemy sie um´_, owi´c, ˙ze tak jest. Mamy bowiem w lo˙zenie i : N −→ Z okre´slone¹⁻¹ warunkiem

i(n) = [hn, 0i]∼

i z du˙zym powodzeniem mo˙zemy uto˙zsamia´c ka˙zda liczb_, e naturaln_, a n z liczb_, a ca lkowi-_, ta i(n). Zauwa˙zmy na przyk lad, ˙ze i(m + n) = i(m) + i(n) oraz i(m · n) = i(m) · i(n),_, a wiec arytmetyk_, e liczb naturalnych (a o ni_, a tu przecie˙z chodzi) mo˙zemy uprawia´_, c bez przeszk´od w zbiorze Rg(i) ⊆ Z.

6 R´ ownoliczno´ s´ c

Definicja 6.1 M´owimy, ˙ze zbiory A i B sa r´_, ownoliczne (i piszemy A ∼ B) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja f : A−→¹⁻¹

na B.

Powy˙zsza definicja opiera sie na tym samym pomy´sle, kt´_, orego u˙zywaja dzieci nie zna-_, jace arytmetyki do podzielenia si_, e po r´_, owno kasztanami, jab lkami itp. Wystarczy dawa´c ka˙zdemu po jednym, a˙z do wyczerpania zasob´ow.

Przyk lad 6.2

• Przedzia ly otwarte (a, b) i (c, d) sa r´_, ownoliczne bo funkcja f : (a, b)−→¹⁻¹

na (c, d) mo˙ze by´c okre´slona wzorem f (x) = ^d−c_b−a· x + ^bc−ad_b−a .

• Przedzia l (−^π₂,^π₂) (a zatem tak˙ze ka˙zdy inny przedzia l otwarty) jest r´ownoliczny ze zbiorem R wszystkich liczb rzeczywistych. Dla dowodu wystarczy u˙zy´c funkcji tangens.

• Przedzia ly (0, 1] i (0, 1) sa r´_, ownoliczne, bo mamy taka funkcj_, e f : (0, 1]_, −→¹⁻¹

na (0, 1):

f (x) =

 ₁

n+1, je´sli x = ¹_n, dla pewnego n ∈ N;

x, w przeciwnym przypadku.

• Zbi´or R jest r´ownoliczny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich, a r´owno- liczno´s´c ustala np. funkcja logarytm.

Fakt 6.3 Dla dowolnych zbior´ow A, B, C,

• A ∼ A;

• Je´sli A ∼ B to B ∼ A;

• Je´sli A ∼ B i B ∼ C to A ∼ C.

Uwaga: R´ownoliczno´s´c zbior´ow nie jest relacja, z tych samych powod´_, ow, dla kt´orych relacjami nie sa r´_, owno´s´c ani inkluzja (por. odp. uwage w tre´sci Wyk ladu 2). Ale r´_, owno- liczno´s´c ograniczona do element´_, ow ustalonej rodziny zbior´ow mo˙zna oczywi´scie uto˙zsamia´c z odpowiednia relacj_, a r´_, ownowa˙zno´sci w tej rodzinie.

Zbiory sko´ nczone

Definicja 6.4 Zbi´or A nazywamy sko´nczonym, gdy A ∼ n, dla pewnej liczby naturalnej n.

W przeciwnym razie zbi´or A jest niesko´nczony.

Lemat 6.5 Niech a 6∈ A i b 6∈ B. W´owczas:

• A ∪ {a} ∼ B ∪ {b} wtedy i tylko wtedy, gdy A ∼ B.

• Injekcja f : A ∪ {a} −→ B ∪ {b} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje injekcja¹⁻¹ f : A−→ B.¹⁻¹

Dow´od: Je´sli f : A−→ B, to wtedy g = f ∪ {ha, bi} jest injekcj¹⁻¹ a z A ∪ {a} do B ∪ {b}._, Je´sli na dodatek funkcja f by la na B, to tak˙ze g jest

”na”. To dowodzi implikacji (⇐) w obu cze´sciach lematu. Przypu´s´_, cmy wiec, ˙ze f : A ∪ {a}_, −→ B ∪ {b}. Okre´slimy funkcj¹⁻¹ e_, h : A → B definicja warunkow_, a:_,

h(x) = f (a), je´sli f (x) = b;

f (x), w przeciwnym przypadku.

Nietrudno zauwa˙zy´c, ˙ze h jest funkcja r´_, o˙znowarto´sciowa, a je´sli f jest_,

”na” to tak˙ze h jest ”na”.

Lemat 6.6 Dla dowolnych n, m ∈ N:

1) Nie istnieje f : s(n)−→ n.¹⁻¹ 2) Nie istnieje f : n−→ s(n).^na 3) Je´sli m ∼ n to m = n.