Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 13.

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 13.

Dariusz Wrzosek

16 stycznia 2019

Plan:

1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ci ˛agłym

2 Prawo wielkich liczb

3 Rozkład jednostajny

4 Rozkład wykładniczy

5 Rozkład normalny

6 Centralne twierdzenie graniczne

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 2 / 34

Przypomnienie – zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym

Niech(Ω ,P)b ˛edzie przestrzeni ˛a probabilistyczn ˛a, a zmienna losowa X : Ω → ’przyjmuje warto´sci dyskretne (zbiór warto´sci jest sko ´nczony)

x₁,x₂, . . .x_n.

Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy zbiór R_X par , z których ka˙zda okre´sla z jakim prawdopodobie ´nstwem zmienna losowa przyjmuje dan ˛a warto´s´c

R_X = {(x₁,p₁) , (x₂,p₂) . . . (x_n,p_n)}

gdzie

p_i=P({ω :X(ω) =x_i})lub w skróconym zapisie p_i=P(X =x_i).

Dla uproszczenia zapisu pisze si ˛e zwykle P(a ¬X ¬b) zamiast

P({ω :a¬X(ω) ¬b})

dla okre´slenia prawdopodobie ´nstwa tego, ˙ze zmienna losowa X przyjmie warto´sci z przedziału[a,b]

Wtedy dla odcinka[a,b] ⊂ ’

P(a¬X ¬b) = Σ_{{i:xi∈[a,b]}}p_i

czyli sumujemy tylko te prawdopodobie ´nstwa p_idla których x_i∈ [a,b]

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 4 / 34

Zmienne losowe o rozkładzie ci ˛ agłym w biologii

W biologii w naturalny sposób natrafiamy na zmienne losowe o rozkładzie ci ˛agłym rozpatruj ˛ac takie cechy osobników w populacji jak masa lub ´srednica ciała czy ci´snienie krwi itp.

Wtedy zmierzon ˛a warto´s´c danej cechy u losowo wybranego osobnika, b ˛ed ˛ac ˛a liczb ˛a rzeczywist ˛a, uznaje si ˛e jako realizacj ˛e zmiennej losowej o rozkładzie ci ˛agłym.

Tym w jaki sposób na podstawie kilku-kilkunastu losowych próbkowa ´n wyci ˛agn ˛a´c wiarygodny wniosek o rozkładzie dla całej populacji zajmuje si ˛e statystyka.

Rozkład ci ˛ agły zmiennej losowej

Definicja

Zmienna losowa X : Ω → ’ma rozkład ci ˛agły je´sli istnieje funkcja nieujemna f : ’ 7→ [0, +∞)taka, ˙ze dla dowolnych a,b∈ ’

P(a¬X ¬b) = Z b

a

f(x)dx oraz

Z +∞

−∞

f(x)dx =1.

Funkcj ˛e f nazywa si ˛e wtedy g ˛esto ´sci ˛a zmiennej losowej.

Całka powy˙zej to całka niewła´sciwa.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 6 / 34

Dystrybuant ˛a zmiennej losowej o g ˛esto´sci f nazywa si ˛e funkcj ˛e F(x) =P(X ¬x) =

Z x

−∞

f(x)dx,

okre´sla ona prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze zmienna losowa X przyjmie warto´s´c mniejsz ˛a ni˙z x. Z definicji wynika, ˙ze dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie ci ˛agłym jest funkcj ˛a funkcj ˛a ci ˛agł ˛a i

x→−∞lim F(x) =0, lim

x→+∞F(x) =1.

Zauwa˙zmy, ˙ze dystrybuanta jest funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji g ˛esto´sci i ˙ze dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej (bo F’(x)=f(x)).

Prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze zmienna losowa o rozkładzie ci ˛agłym przyjmuje punktow ˛a warto´s´c x₀ ∈ ’jest równa zeru bo mo˙zna j ˛a przedstawi´c jako granic ˛e

n→+∞lim P(x₀−¹

n ¬X ¬x₀+¹

n) = lim

n→+∞

Z x0+_n¹ x0−¹_n

f(x)dx

= lim

n→+∞



F(x₀+ ¹

n) −F(x₀−¹ n)



=F(x₀) −F(x₀) =0. Przedostatnia równo´s´c wynika z faktu, ˙ze skoro F ma pochodn ˛a, to jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 8 / 34

Zdefiniujemy teraz warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj ˛e zmiennej losowej o rozkładzie ci ˛agłym

Definicja

Warto´sci ˛a oczekiwan ˛a zmiennej losowej X o g ˛esto´sci f nazywamy liczb ˛e EX =

Z +∞

−∞

xf(x)dx. Wariancj ˛e definiuje si ˛e jako

D²X =E((X −EX)²) = Z +∞

−∞ (x−EX)²f(x)dx.

Zwró´cmy uwag ˛e, ˙ze zarówno warto´s´c oczekiwana jaki wariancja mog ˛a nie istnie´c je´sli nie istniej ˛a odpowiednie całki. Mo˙zna poda´c takie przykłady ale nie s ˛a one elementarne.

Powstaje naturalne pytanie– jakie jest prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze warto´sci zmiennej losowej b ˛ed ˛a odbiega´c znacznie od warto´sci

oczekiwanej. Ogóln ˛a odpowied´z na to pytanie daje słynna nierówno ´s ´c Czebyszewa (P. Czebyszew (1821-1894)), której dotyczy nast ˛epuj ˛ace twierdzenie

Twierdzenie

Dla dowolnej zmiennej losowej X posiadaj ˛acej warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj ˛e i dowolnej liczby t >0 zachodzi nierówno´s´c

P(|X −EX| ­t) ¬ ^D

2X

t² . (1)

Podstawiaj ˛ac np. t =3

√

D²X otrzymujemy wniosek, ˙ze

prawdopodobie ´nstwo, tego, i˙z odległo´s´c pomi ˛edzy warto´sci ˛a, któr ˛a przyjmie zmienna losowa X i jej warto´sci ˛a oczekiwan ˛a trzykrotnie

przekracza wielko´s´c dyspersji jest mniejsze ni˙z ¹₉,czyli stosunkowo małe.

To oszacowanie nie wykorzystuje ˙zadnej konkretnej informacji o zmiennej losowej X i dlatego nie jest zbyt precyzyjne.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 10 / 34

Dowód twierdzenia Czebyszewa jest bardzo prosty i dlatego prezentujemy go poni˙zej.

Dowód twierdzenia Czebyszewa. Przyjmijmy, ˙ze pewna zmienna losowa Y , która przyjmuje tylko warto´sci nieujemne, ma g ˛esto´s´c f.Zatem

f(x) =0 dla x¬0.Udowodnimy najpierw, ˙ze wtedy dla dowolnej liczby ε >0

P(Y ­ ε) ¬ ^EY ε . Jest tak dlatego, ˙ze

EY = Z +∞

0

xf(x)dx ­ Z +∞

ε

xf(x)dx ­ ε Z +∞

ε

f(x)dx = εP(Y ­ ε) .

Wstawiaj ˛ac teraz Y = (EX−X)² iε =t²otrzymujemy (1). Dowód w przypadku ogólnym, gdy nie zakłada si ˛e istnienia g ˛esto´sci zmiennej losowej jest bardzo podobny.

Zastosowanie nierówno´sci Czebyszewa

Zadanie. Rzucamy 10000 razy monet ˛a. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo,

˙ze liczba sukcesów S₁₀₀₀₀b ˛edzie ró˙zna od 5000 o wi ˛ecej ni˙z 150?

Odp. Interesuje nas prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze

(|S₁₀₀₀₀−5000| ­150)czyli(|₁₀₀₀₀^S10000 −¹₂| ­0,015), zatem stosuj ˛ac nierówno´s´c Czebyszewa dostajemy

P

   

S₁₀₀₀₀ 10000 −¹

2    

­0,015



¬ ⁰,25

(0,015)²·10000 = ¹ 9.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 12 / 34

Prawo wielkich liczb (PWL)

Z twierdzenia Czebyszewa wynika jedno z najbardziej znanych twierdze ´n rachunku prawdopodobie ´nstwa sformułowane w najprostszej wersji ju˙z przez J. Bernoulliego (1655-1705). W praktyce mówi ono, ˙ze w

dostatecznie długiej serii powtórze ´n do´swiadczenia w schemacie

Bernoulliego o prawdopodobie ´nstwie sukcesu p, z prawdopodobie ´nstwem dowolnie bliskim 1 cz ˛esto´s´c uzyskania sukcesu ^S_nⁿ równa jest p z dowolnie zadan ˛a dokładno´sci ˛a.

Przejd´zmy teraz do precyzyjnego sformułowania.

PWL

Twierdzenie

Niech X₁,X₂, . . .X_n b ˛edzie ci ˛agiem niezale˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Oznaczmy przez S_n =^Pn_i=1X_i. Załó˙zmy ,˙ze dla ka˙zdego i=1, . . . ,n, EX_i=m oraz D²X_i = σ².Wtedy dla dowolnego ε >0

n→+∞lim P

   

S_n n −m

   > ε



=0. (2)

Co wi ˛ecej,

P

   

S_n n −m

¬ ε



>1− σ²

ε²n (3)

Pierwsza cz ˛e´s´c tego twierdzenia zwana jest prawem wiekich liczb.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 14 / 34

Dowód. Skorzystamy z twierdzenia Czebyszewa. W tym celu połó˙zmy X =S_n. Wtedy EX =nm oraz D²X =nσ². Stosuj ˛ac (1) otrzymujemy

P(|S_n−nm| >t) ¬ ⁿσ² t² . Wstawiaj ˛ac t = εn otrzymujemy

P

   

S_n n −m

   > ε



¬ σ² ε²n.

Przechodz ˛ac do granicy z n→ ∞otrzymujemy (2). Korzystaj ˛ac z tego, ˙ze P(A) =1−P(Ω \A)gdzie A ⊂ Ωto dowolne zdarzenie wΩ .mo˙zemy zapisa´c, ˙ze

P

   

S_n n −m

   > ε



=1−P

   

S_n n −m

¬ ε

 , a st ˛ad ju˙z wynika (3).

Przykładowe rozkłady ci ˛ agłe- rozkład jednostajny

Rozwa˙zmy zmienn ˛a losow ˛a X_J, która przyjmuje warto´sci jedynie w odcinku[a,b]o tej własno´sci, ˙ze prawdopodobie ´nstwo ˙ze przyjmie warto´sci w odcinku A = [x₁,x₂] ⊂ [a,b]nie zale˙zy od jego poło˙zenia a jedynie od jego długo´sci i wynosi ^|x_b−a^2−x1|.G ˛esto´s´c tej zmiennej losowej wyznacza funkcja

f_J(x) =

( ₁

b−a gdy x ∈ [a,b] , 0 gdy x < [^a,b] . Je˙zeli x₁,x₂ ∈ [a,b]to

P(x₁¬X_J¬x₂) = Z x2

x1

f_J(x)dx = |x₂−x₁| b−a . Jako proste ´cwiczenie pozostawiamy sprawdzenie, ˙ze

EX_J= ^a+b

2 , D²X_J= ¹

12(b−a)².

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 16 / 34

Przykład zastosowania rozkładu jednostajnego

Otrzymujemy informacj ˛e, ˙ze przy prawym brzegu rzeki ukryto skarb, który znajduje si ˛e gdzie´s pomi ˛edzy dwoma mostami. Poszukiwania odbywaj ˛a si ˛e stopniowo , odcinkami. Prawdopodobie ´nstwo znalezienia skarbu na danym odcinku rzeki jest wtedy równe stosunkowi długo´sci

przeszukiwanego odcinka rzeki do odległo´sci pomi ˛edzy mostami.

Rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X_w przyjmuj ˛aca warto´sci nieujemne ma rozkład wykładniczy gdy jej g ˛esto´s´c zadana jest przez funkcj ˛e

f_w(x) = λe^−λx, x­0. Wtedy

EX_w = ¹

λ, D²X_w = ¹ λ² . Łatwo sprawdzi´c, ˙ze

P(X_w >a+b|X_w >b) =P(X_w >a) , bo

P(X_w >a+b) P(X_w >b) =

R+∞

a+b λe^−λxdx R+∞

b λe^−λxdx = ^e

−λ(a+b)

e^−λb =e^−λa =P(X_w >a) .

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 18 / 34

Czas oczekiwania na zdarzenie

Ta ostatnia własno´s´c powoduje, ˙ze najcz ˛e´sciej zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym bywa interpretowana jako czas oczekiwania na jakie´s zdarzenie je´sli mo˙zna przyj ˛a´c, ˙ze mo˙ze ono zaj´s´c w ka˙zdej chwili i fakt, ˙ze czeka si ˛e ju˙z jaki´s czas na zaj´scie zdarzenia nie wpływa na to jak długo jeszcze b ˛edzie si ˛e czeka´c.(tzw. efekt braku pami ˛eci).

Rozkład wykładniczy stosuje si ˛e do szacowania czasu oczekiwania na – emisj ˛e cz ˛astki z materiału promieniotwórczego (rozpad

promieniotwórczy),

– autobus miejski (było to dobre oszacowanie w czasach PRL), – zaj´scie mutacji w danym odcinku DNA.

Ale tak˙ze w pewnych sytuacjach do opisu czasu prze˙zycia organizmu (lub niezawodnej pracy urz ˛adzenia) , je´sli ´sredni czas ˙zycia wynosi _λ¹, a ´smier´c mo˙ze przyj´s´c w ka˙zdej chwili.

Rozkład normalny

Istotn ˛a rol ˛e w rachunku prawdopodobie ´nstwa pełni rozkład normalny zwany tak˙ze rozkładem Gaussa. Oznacza si ˛e go zwyczajowo przez N(µ , σ)i jest on zadany przez funkcj ˛e g ˛esto´sci, któr ˛a oznaczymy przez f_{N(µ ,σ)}(x):

f_{N(µ ,σ)}(x) = ¹ σ√

2π^e

−^(x−µ)2

2σ2

Jej wykres to charakterystyczna krzywa o dzwonowatym kształcie, symetryczna wzgl ˛edem x = µ. Wiadomo, ˙ze je´sli zmienna losowa X ma rozkład N(µ , σ)to

EX= µ , a dyspersja

√

VarX = σ .

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 20 / 34

−6 −4 −2 0 2 4 6 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

σ=0,5

σ=1

σ=2

Krzywe Gaussa, g ˛esto´sci rozkładu normalnego dlaµ =0 ró˙znychσ . Funkcja b ˛ed ˛aca g ˛esto´sci ˛a rozkładu normalnego N(µ , σ)ma dwa punkty przegi ˛ecia o współrz ˛ednychµ − σiµ + σ. Mo˙zna si ˛e o tym przekona´c przyrównuj ˛ac do zera drug ˛a pochodn ˛a funkcji f_{N(µ ,σ)}(x) .

Rozkład zmiennej losowej nazywa si ˛e rozkładem standardowym normalnym je´sli zadany jest przez N(0,1) .Zauwa˙zmy, ˙ze

f_{N(µ ,σ)}(x) = ¹ σ^{fN(0 ,1)}

x− µ σ

 .

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

−σ= σ=

G ˛esto´s´c rozkładu normalnego standardowego N(0,1)z zaznaczonymi punktami przegi ˛ecia w punktach−1 i 1.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 22 / 34

Oznaczmy przez_{X zmienn ˛}¯ _{a losow ˛}a o rozkładzie N(0,1). W tablicach matematycznych mo˙zna znale´z´c warto´sci dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego N(0,1)oznaczanej zwykle przezΦ(x)

Φ(x) = Z _x

−∞

1 σ√

2π^e

−^t2

2dt =P( ¯X ¬x).

St ˛ad wynika, ˙ze

P(a¬ ¯X ¬b) = Z b

a

1 σ√

2π^e

−^x2

2dx = Φ(b) − Φ(a) . T˛e dystrybuant ˛e wykorzystuje si ˛e do obliczania w praktyce warto´sci prawdopodobie ´nstw zdarze ´n takich, ˙ze zmienna X o rozkładzie normalnym N(µ , σ)przyjmuje warto´sci w jakim´s przedziale np.[a,b].

Korzystaj ˛ac z deficji całki oznaczonej i definicji dystrybuanty obliczamy, ˙ze

P(a¬X ¬b) = Z b

a

f_{N(µ ,σ)}(x)dx = Z b

a

1 σ^{fN(0 ,1)}

x− µ σ

 dx

= Φ

b− µ σ



− Φ

a− µ σ



=P



X¯ ¬ ^b− µ σ



−P



X¯ ¬ ^a− µ σ



= P

a− µ

σ ¬ ¯X ¬ ^b− µ σ

 .

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 24 / 34

Podobnie mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze je´sli X jest zmienn ˛a losow ˛a o rozkładzie normalnym N(µ , σ)to zmienna losowa

X− µ

σ ma rozkład normalny standardowy N(0,1) T˛e procedur ˛e nazywa si ˛e standaryzacj ˛a zmiennej losowej. Dla przykładu obliczmy korzystaj ˛ac z tablic warto´sci funkcjiΦ

P(µ −2σ ¬X ¬ µ +2σ) = Φ(2) − Φ(−2) =0,954. (4) Wynika st ˛ad wa˙zny wniosek: zdarzenie, ˙ze zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(µ , σ)przyjmuje warto´sci w przedziale[µ −2σ , µ +2σ]jest niemal pewne bo wynosi 0,954.

W przypadku zmiennych o rozkładzie ci ˛agłym definicja niezale˙zno´sci zmiennych losowych jest nieco bardziej skomplikowana ale wyra˙za w istocie to samo co w przypadku zmiennych o rozkładzie dyskretnym.

Je´sli X₁i X₂s ˛a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym odpowiednio N(µ₁, σ₁)i N(µ₂, σ₂)to mo˙zna udowodni´c, ˙ze kombinacja liniowaα1X₁+ α2X₂jest zmienn ˛a losow ˛a równie˙z o rozkładzie normalnym N(µ , σ)gdzieµ = α1µ1+ α2µ2 iσ = ^qα²₁σ²₁+ α²₂σ₂².

Jest wiele innych ci ˛agłych rozkładów zmiennych losowych wa˙znych w statystyce przy weryfikacji hipotez. Nale˙z ˛a do nich rozkładχ² i rozkład t-studenta.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 26 / 34

Centralne twierdzenie graniczne

Poni˙zsze twierdzenie zwane centralnym twierdzeniem granicznym jest kluczowe w rachunku prawdopodobie ´nstwa i w statystyce. Mówi ono, ˙ze rozkład sum warto´sci niezale˙znych do´swiadcze ´n losowych po

standaryzacji jest zbie˙zny, przy liczbie powtórze ´n n d ˛a˙z ˛acej do+∞, do standardowego rozkładu normalnego. Warto tu podkre´sli´c, ˙ze zmienne losowe okre´slaj ˛ace wyniki kolejnych do´swiadcze ´n maj ˛a wszystkie ten sam rozkład, który jest dowolny ! byleby miał on sko ´nczon ˛a warto´s´c

oczekiwan ˛a i wariancj ˛e.

Centralne twierdzenie graniczne CTG

Twierdzenie

NiechX_k b ˛edzie ci ˛agiem niezale˙znych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, przy czym EX_k = µoraz VarX_k = σ² i niech

S_n =^Pn_i=1X_i. Wtedy dla dowolnych ustalonych a,b ∈ ’zachodzi wzór P



a¬ ^Sn−nµ σ√

n ¬b

n→+∞

−→ Φ(b) − Φ(a) . .

Dowodu nie przedstawiamy bo wymaga zastosowania zaawansowanych narz ˛edzi matematycznych.

Je´sli X_k reprezentuje sukces w k-tym do´swiadczeniu Bernoulliego P(X_k =1) =p to wtedy

P 

S_n−np

√npq     

¬ γ

!

n→+∞−→ Φ(γ)−Φ(−γ) = Φ(γ)−(1−Φ(γ)) =2Φ(γ)−1.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 28 / 34

Zamiast dowodu CTG deska Galtona

Zamiast dowodu CTG deska Galtona

Poło˙zenie kulki na n-tym poziomie okre´slone jest przez^Pn_{k =1}X_k gdzie R_Xk = {(−1,1/2) , (1,1/2)} , EX_k =0,VarX_k =1

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 30 / 34

Aby zastosowa´c to twierdzenie wybieramy korzystaj ˛ac z tablic warto´s´cγ tak aby wyra˙zenieΦ(γ) − Φ(−γ)miało warto´s´c blisk ˛a 1 np. 0.95.

Zauwa˙zmy, ˙ze

P 

S_n−np

√npq     

¬ γ

!

=P

   

S_n n −p

¬ γ√

√pq n



Po dokonaniu tylu prób n, ˙ze √ n> ^γ

√pq

0.001 prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze

´srednia z n prób ró˙zni si ˛e od p o mniej ni˙z 0.001 czyli 

S_n n −p

¬0.001 wynosi 0.95.

Przykłady i zadania: Cz ˛esto´s´c wzgl ˛edna a prawdopodobie ´nstwo

Je˙zeli nie mamy dost ˛epu do tablic z warto´sciami dystrybuanty rozkładu normalnego (brak tablic lub komputera) to pozostaje do dyspozycji PWL.

Ogólnie CTG daje dokładniejsze oszacowania liczby prób, które trzeba wykona´c aby z du˙zym prawdopodobie ´nstwem ^S_nⁿ było blisko p .

Powiedzmy, ˙ze ci ˛ag niezale˙znych zmiennych losowych X₁,X₂, . . .X_njest ci ˛agiem prób Bernoulliego takim, ˙ze ka˙zda ze zmiennych losowych

okre´slona jest na przestrzeniΩi przyjmuje warto´s´c 1 gdy zaszło zdarzenie A ⊂ Ωz prawdopodobie ´nstwem P(A)i warto´s´c 0 w przeciwnym

przypadku. Wtedy oczywi´scie dla ka˙zdego k mamy EX_k =P(A)oraz D²X_k =P(A) −P(A)².

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 32 / 34

Zastosowanie PWL

Zauwa˙zmy,˙ze cz ˛esto´s´c wzgl ˛edn ˛a wyst ˛epowania zdarzenia A reprezentuje zmienna ^S_nⁿ,gdy˙z w liczniku jedynka wyst ˛epuje dokładnie tyle razy ile razy zaszło zdarzenie A w trakcie n prób. Mo˙zna zada´c pytanie

Jak wielkie powinno by ´c n aby z prawdopodobie ´nstwem wi ˛ekszym ni˙z 0,95 cz ˛esto ´s ´c wzgl ˛edna wyst ˛apienia zdarzenia A ró˙zniła si ˛e od P(A)o mniej ni˙z,01 ?.

Skorzystamy z PWL podstawiaj ˛acε =0,01, σ²=P(A)(1−P(A))i z nierówno´sci 1−_ε^σ₂²_n >0,095, po przekształceniu i podstawieniu otrzymujemy, ˙ze

n> ^P(A)(1−P(A)) 0,00005

Je´sli P(A) =0,5 to n>5000.Warto tu zaznaczy´c, ˙ze to oszacowanie liczby do´swiadcze ´n, które trzeba wykona´c w celu uzyskania po˙z ˛adanej dokładno´sci nie jest optymalne. Lepsze oszacowanie mo˙zna otrzyma´c

Zadanie: Czas prze˙zycia

Przyjmujemy, ˙ze ´sredni czas ˙zycia organizmu (nie stosuje si ˛e do populacji ludzkich) wynosiβjednostek czasu. Innymi słowy jest to ´sredni czas oczekiwania na ´smier´c. Znale´z´c prawdopodobie ´nstwo prze˙zycia do czasu β posługuj ˛ac si ˛e rozkładem wykładniczym.

Przyjmujemy zatem, ˙ze zmienna losowa T ma rozkłada wykładniczy i okre´sla moment ´smierci,λ = _β¹, i obliczamy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze

´smier´c nast ˛api po czasie s P(T ­s) =

Z +∞

s

1 β^e

−_β^t

dt =e^−βs .

czyli P(T ­ β) =e⁻¹ ≈0,37.

To jest najprostszy model prze˙zywalno´sci, jest wiele modeli bardziej realistycznych i zaawansowanych.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 13. 16 stycznia 2019 34 / 34