Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18
KOLOKWIUM nr
4
,19.03.2018
, godz. 8:15–9:00 Zadanie7.
(10 punktów)Niech f1(x)=√
x2− 2x + 1 oraz fn+1(x)=f1(fn(x)). Obliczyć wartość całki oznaczonej
Z10
0
f5(x) dx . Rozwiązanie:
Zauważmy, że f1(x) = |x − 1|. W związku z tym wykres funkcji f1◦g powstaje z wykresu funkcji g przez przesunięcie tegoż wykresu w dół o 1 oraz symetryczne odbicie części wykresu, która znalazła się pod osią OX. Wykresy funkcji od f1 do f5 znajdują się odpowiednio na rysunkach od 1 do 5.
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
rys. 1
Kolokwium 4 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7
rys. 2
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
rys. 3
Kolokwium 4 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
rys. 4
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5
rys. 5
Szukana wartość całki oznaczonej jest równa polu zielonej figury z rysunku 5. Pole to wyliczamy sumując pola trójkątów, które się na nie składają:
1
2+ 1 + 1 +25 2 = 15 .
Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa 15.
Kolokwium 4 - 3 - Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18
Zadanie
8.
(10 punktów) Obliczyć wartość całki oznaczonejZ3
1
x2+ x − 3 x3+ 3x dx . Pamiętać o uproszczeniu wyniku.
Rozwiązanie:
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:
x2+ x − 3
x3+ 3x = x2+ x − 3 x · (x2+ 3)=A
x +Bx + C x2+ 3 , x2+ x − 3 = Ax2+ 3A + Bx2+ Cx ,
1 = A + B , 1 = C ,
−3 = 3A , skąd
A = −1, B = 2, C = 1 i w konsekwencji
x2+ x − 3 x · (x2+ 3)= −1
x+2x + 1 x2+ 3 .
Kontynuujemy obliczenia wykonując po drodze w jednej z całek podstawienie x = t√ 3, czyli t = x/√
3 i formalnie dx =√ 3 dt:
Z3
1
x2+ x − 3 x3+ 3x dx =
Z3
1
−1
x+2x + 1
x2+ 3 dx = −
Z3
1
1 xdx +
Z3
1
2x
x2+ 3dx +
Z3
1
1
x2+ 3dx =
= −ln x
3
x=1
+lnx2+ 3
3
x=1
+
√ 3 Z
1/√ 3
√3 3t2+ 3dt =
= −ln 3 + ln 1 + ln 12 − ln 4 +
√1
3· arctg t
√ 3
t=1/√ 3
=
= 1
√3·arctg√
3 − arctg1/√
3= 1
√3·
π 3−π
6
= 1
√3·π 6= π
6√ 3. Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa π
6√ 3.
Kolokwium 4 - 4 - Odpowiedzi i rozwiązania