• Nie Znaleziono Wyników

7. 4 19.03.2018

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "7. 4 19.03.2018"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18

KOLOKWIUM nr

4

,

19.03.2018

, godz. 8:15–9:00 Zadanie

7.

(10 punktów)

Niech f1(x)=√

x2− 2x + 1 oraz fn+1(x)=f1(fn(x)). Obliczyć wartość całki oznaczonej

Z10

0

f5(x) dx . Rozwiązanie:

Zauważmy, że f1(x) = |x − 1|. W związku z tym wykres funkcji f1◦g powstaje z wykresu funkcji g przez przesunięcie tegoż wykresu w dół o 1 oraz symetryczne odbicie części wykresu, która znalazła się pod osią OX. Wykresy funkcji od f1 do f5 znajdują się odpowiednio na rysunkach od 1 do 5.

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

rys. 1

Kolokwium 4 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

(2)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7

rys. 2

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6

rys. 3

Kolokwium 4 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania

(3)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6

rys. 4

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5

rys. 5

Szukana wartość całki oznaczonej jest równa polu zielonej figury z rysunku 5. Pole to wyliczamy sumując pola trójkątów, które się na nie składają:

1

2+ 1 + 1 +25 2 = 15 .

Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa 15.

Kolokwium 4 - 3 - Odpowiedzi i rozwiązania

(4)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18

Zadanie

8.

(10 punktów) Obliczyć wartość całki oznaczonej

Z3

1

x2+ x − 3 x3+ 3x dx . Pamiętać o uproszczeniu wyniku.

Rozwiązanie:

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:

x2+ x − 3

x3+ 3x = x2+ x − 3 x · (x2+ 3)=A

x +Bx + C x2+ 3 , x2+ x − 3 = Ax2+ 3A + Bx2+ Cx ,

1 = A + B , 1 = C ,

−3 = 3A , skąd

A = −1, B = 2, C = 1 i w konsekwencji

x2+ x − 3 x · (x2+ 3)= −1

x+2x + 1 x2+ 3 .

Kontynuujemy obliczenia wykonując po drodze w jednej z całek podstawienie x = t√ 3, czyli t = x/√

3 i formalnie dx =√ 3 dt:

Z3

1

x2+ x − 3 x3+ 3x dx =

Z3

1

1

x+2x + 1

x2+ 3 dx = −

Z3

1

1 xdx +

Z3

1

2x

x2+ 3dx +

Z3

1

1

x2+ 3dx =

= −ln x

3

x=1

+lnx2+ 3

3

x=1

+

3 Z

1/ 3

3 3t2+ 3dt =

= −ln 3 + ln 1 + ln 12 − ln 4 +

1

3· arctg t

3

t=1/ 3

=

= 1

3·arctg

3 − arctg1/√

3= 1

3·

π 3−π

6



= 1

3·π 6= π

6 3. Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa π

6 3.

Kolokwium 4 - 4 - Odpowiedzi i rozwiązania

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wyznaczyć promień zbieżności szeregu Maclaurina (czyli szeregu Taylora w zerze) funkcji f określonej podanym

podając wynik w postaci liczby

[r]

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 LUX, lato 2017/18.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2017/18.

Dla uproszczenia możemy myśleć o podziale zależnym od parametru n.. Lista 53 - 53 -

i oraz cosix, gdzie x przebiega liczby rzeczywiste, a w samych wzorach nie ma śladu liczb

[r]