1Caªki-prostepodstawienia MatematykaIlistazada«nr10.

Matematyka I  lista zada« nr 10.

1 Caªki - proste podstawienia

U»ywaj¡c stosownych podstawie«,bliczy¢ caªki:

1. ^Z x 1 + x² dx;

2. ^Z x

√1 + x² dx;

3. ^Z xe^−x2dx;

4. ^Z x²e^x3dx;

5. ^Z dx

(2x − 5)³; 6. ^{Z q5}(7 − 2x)⁶dx;

7. ^Z x³√³

2 + x⁴dx;

8. ^Z sin⁵x cos x dx;

9. ^Z sin⁷x cos³x dx;

10. ^Z cos³x cos 2x dx;

11. ^Z sin x

√3

cos²xdx;

12. ^Z cos 3x dx;

13. ^Z sin(2 − 4x) dx;

14. ^Z

√ln x x dx;

15. ^Z (arctg x)² 1 + x² dx;

16. ^Z (arcsin x)³

√1 − x² dx;

17. ^Z cos xe^{sin x}dx;

18. ^Z e^x e^x+ 1 dx;

19. ^Z sin 2x 1 + cos²xdx;

20. ^Z ctg x dx;

21. ^Z a^xdx;

22. ^Z (ln x)^m x dx;

2 Caªkowanie przez cz¦±ci

Wykorzystuj¡c metod¦ caªkowania przez cz¦±ci, obliczy¢ caªki:

23. ^Z x²e^xdx;

24. ^Z arctg x dx;

25. ^Z arcsin x dx;

26. ^Z x¹⁰ln x dx;

27. ^Z x(ln x)²dx;

28. ^Z e^axsin bx dx, (a, b  staªe), a przy okazji:

29. ^Z e^axcos bx dx;

30. ^Z xarctg x dx;

31. ^Z x sin 2x dx;

32. ^Z x5^xdx;

33. ^Z ln(x²+ 1) dx;

34. ^Z xarctg x dx;

35. ^Z (arcsin x)²dx;

36. ^Z sin(ln x) dx;

37. ^Z cos(ln x) dx;

3 Caªki wymierne

Obliczy¢ caªki:

38. ^Z x

2x²− 3x − 2dx;

39. ^Z x⁵+ x⁴− 8 x³− 4x dx;

40. ^Z x³− 1 4x³− xdx;

41. ^Z 2x²− 5 x⁴− 5x²+ 6dx;

42. ^{Z }x + 2 x − 1

2

dx;

43. ^Z x³+ 1 x³− x² dx;

44. ^Z x⁵

(x − 1)²(x²− 1)dx;

45. ^Z 3x²+ 1 (x²− 1)³ dx;

46. ^Z 1

x(x²+ 1)dx;

47. ^Z 1 1 + x³ dx;

48. ^Z x² 1 − x⁴ dx;

49. ^Z x⁴+ 1

x³− x²+ x − 1 dx;

50. ^Z 1

(x²+ 1)(x²+ x) dx;

51. ^Z x³− 6

x⁴+ 6x²+ 8dx;

52. ^Z 1

4 Caªki z funkcji trygonometrycznych

Obliczy¢ caªki:

53. ^Z sin⁵x cos²x dx;

54. ^Z sin⁷x cos⁷x dx;

55. ^Z sin⁶x cos⁵x dx;

56. ^Z sin⁴x dx;

57. ^Z cos⁶x dx;

58. Niech Sn = ^R sinⁿx dx, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy Sn przez S_n−2.

59. Niech Cn = ^R cosⁿx dx, n ∈ N. Napisa¢ wzór rekurencyjny, wyra»aj¡cy Cn przez Cn−2.

60. ^Z sin³x cos⁴xdx;

61. ^Z 1

sin x cos xdx;

62. ^Z 1 cos³xdx;

63. ^Z 1

sin³x cos xdx;

64. ^Z sin⁴x cos²xdx;

65. ^Z 1

sin⁴x cos⁴xdx;

66. ^Z tg³x dx;

67. ^Z 1 tg⁸xdx;

68. ^Z 1

4 − 3 sin xdx;

69. ^Z 2 + sin x 2 − cos xdx;

70. ^Z 1

a + b cos xdx, a > b > 0;

71. ^Z dx;

5 Caªki wymierne z R(x, √

ax

+ bx + c)

Obliczy¢, stosuj¡c podstawienia Eulera lub inne sposoby:

72. ^Z √

x²+ x + 1 dx;

73. ^Z 1

x√

2 + x − x² dx;

74. ^Z x²

√1 − 2x − x² dx;

75. ^Z

√1 + x² 2 + x² dx;

76. ^Z

√x²+ 2x + 2 x² dx;

77. ^Z x − 1 x²√

2x²− 2x + 1dx;

78. ^Z x⁴

√x²+ 4x + 5dx;

79. ^Z 1

(x²+ x + 1)√

x²+ x − 1dx;

80. ^Z 1

x²(x +√

1 + x²)dx;

81. ^Z √

3x²− 3x + 1 dx;

82. ^Z 3x²

√x²+ 4x + 5dx;

6 Caªki wymierne z R









x,

v u u u t

ax + b cx + d









83. ^Z x

x −√

x²− 1dx;

84. ^{Z 3}

s1 − x 1 + x

1 xdx;

85. ^Z

s1 − x 1 + x

1 xdx;

86. ^Z 1

q4

(x − 1)³(x + 2)⁵ dx;

87. ^Z x√³

2 + x dx;

88. ^Z

√4

1 + x x dx;

7 Calki z funkcji hiperbolicznych

89. ^Z cosh x dx;

90. ^Z 1

cosh²xdx;

91. ^Z sinh³x dx;

92. ^Z sinh²x dx;

93. ^Z √

tanh x dx;