Matematyka dyskretna Literatura
Podstawowa:
1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006)
2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008
Uzupełniająca:
3. Matematyka dyskretna (http://wazniak.mimuw.edu.pl/)
4. J. Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna, PWN, 1999
5. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, 2004 6. N.L. Biggs: Discrete Mathematics, Oxford University Press, 1989
7. T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004
MATEMATYKA DYSKRETNA
dział(y) matematyki zajmujący się badaniem struktur
nieciągłych, to znaczy struktur zawierających zbiory co najwyżej przeliczalne.
Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "ponumerować".
Matematyka dyskretna stała się popularna w ostatnich latach dzięki za-
stosowaniom w informatyce, która w sposób naturalny zajmuje się je-
dynie strukturami skończonymi.
Działy matematyki związane z matematyką dyskretną
• logika,
• teoria mnogości,
• algebra liniowa,
• algebra struktur skończonych,
• kombinatoryka,
• teoria liczb,
• teoria częściowych porządków,
• rachunek prawdopodobieństwa,
• algorytmika,
• teoria informacji,
• teoria grafów,
• złożoność obliczeniowa.
Elementy teorii mnogości (teorii zbiorów)
Zbiór
– pojęcie pierwotne teorii zbiorów (teorii mnogości (Georg Cantor 1845 –
1918));intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też ko- lekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.
Zbiory dystrybutywne (G. Cantor, 1883) (definicja)
Według Cantora zbiór, to każda wielość, która da się pomyśleć jako
jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą
jakiegoś prawa powiązać w całość.
Zbiory
Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe (elementy).
Zbiory (zwykle) oznaczamy dużymi literami, natomiast jej elementy małymi literami.
W teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją należenia lub przynależności do zbioru oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego ε (epsilon).
Fakt, że element a należy do zbioru B zapisujemy symbolicznie: a ∈ B, natomiast fakt, że element b nie należy do zboru B zapisujemy: b ∉ B Mamy zbiory skończone, nieskończone oraz zbiór pusty (ozn. ∅)
Używamy symboli
=, ⊂, ⊄, ⊆, ∅ (litera alfabetu norweskiego), Ω, ∩, ∪, \, AC (A‘), ⊕ (Δ).
Działania na zbiorach
• Sumą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Działania na zbiorach
• Iloczynem zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocze- śnie do obu zbiorów
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Działania na zbiorach
• Różnicą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B
𝐴 \ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}.
Działania na zbiorach
• Dopełnieniem zbioru B (w przestrzeni Ω, w uniwersum) nazywa się zbiór tych ele-‐
mentów, które nie należą do zbioru B
𝐵𝐶 = 𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∉ 𝐵 = Ω \ 𝐵. (𝐵′)
Działania na zbiorach
• Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów
𝐴 ∆ 𝐵 = (𝐴 \ 𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) (𝐴 ⨁ 𝐵)
Prawa (własności) algebry zbiorów
przemienność sumy zbiorów
A ∪ B = B ∪ A przemienność iloczynu zbiorów
A ∩ B = B ∩ A łączność sumy zbiorów
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) łączność iloczynu zbiorów
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Prawa (własności) algebry zbiorów
prawa idempotentności
A ∪ A = A, A ∩ A = A
prawa identyczności
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
prawo podwójnego dopełnienia
(A')' = A
prawa dopełnienia
A ∪ A' = Ω, A ∩ A' = ∅ Ω' = ∅, ∅' = Ω
prawa de Morgana dla zbiorów
(A ∩ B)' = A' ∪ B' (A ∪ B)' = A' ∩ B'
Para uporządkowana (a, b)
to zbiór dwuelementowy, zawierający informacje o kolejności elementów, tzn. (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎).
W teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy: 𝑎, 𝑏 = { 𝑎 , {𝑎, 𝑏}}.
Iloczyn kartezjański (A x B)
zbiorów A, B nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A a drugi do zbioru B. Jeśli A=B to A x A oznazamy jako A2.
Zbiór potęgowy (𝑷(𝑨))
zbioru A to rodzina (zbiór zawierający) wszystkich podzbiorów zbioru A.
Moc zbioru (|A|, lub card(A))
dla zbioru skończonego A, to liczba jego elementów.
|A×B| = |A| · |B|
|P(A)|= 2|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2A)