3. Metody matematycznego opisu właściwości liniowych elementów i układów automatyki
W automatyce jako „właściwość” elementu lub układu rozumie się sposób działania danego elementu (układu), czyli zachowanie się jego wielkości wyjściowych (sygnałów wyjściowych) w wyniku oddziaływania wielkości wejściowych (sygnałów
wejściowych). Wielkości wejściowe i wyjściowe elementu (układu) są wielkościami fizycznymi, których wartości można wyrazić liczbowo. Zatem zależności wielkości wyjściowych od wejściowych danego elementu (układu), niezależnie od ich fizycznych postaci, można wyrazić w postaci zależności matematycznych, które nazywamy
modelem matematycznym tego elementu (układu).
Opisane poniżej metody opisu właściwości odnoszą się do liniowych układów jednowymiarowych (rys. 3.1), tzn. układów i elementów o jednym sygnale wejściowym i jednym sygnale wyjściowym. Są one modyfikowane dla potrzeb opisu elementów (układów) wielowymiarowych.
a) b)
Rys.3.1. Schemat blokowy układu : a) jednowymiarowego, b) wielowymiarowego 3.1. Równanie ruchu
Podstawowa formą matematycznego opisu właściwości dynamicznych elementu (układu) jest tzw. równanie ruchu, nazywane także równaniem dynamiki. Wyraża ono zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym y(t) a wywołującym go dowolnym sygnałem wejściowym u(t) elementu (układu). Równanie ruchu elementu (układu) liniowego o działaniu ciągłym jest równaniem różniczkowym zwyczajnym o stałych współczynnikach typu
) ) (
( )
(
...
) ) (
) ( ( )
... ( ) (
0 2 1
2 2
0 2 1
2 2
t u dt b
t b du dt
t u b d
dt t u b d t y dt a
t a dy dt
t y a d dt
t y
an dn n m mm
(3.1)
W równaniach opisujących układy rzeczywiste spełniony jest warunek nm. W praktyce równania ruchu przedstawia się w postaci znormalizowanej, w której a0 1.
3.2. Transmitancja operatorowa
Transmitancją operatorową elementu (układu), oznaczaną symbolem G(s), nazywamy stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego wyznaczony przy założeniu zerowych warunków początkowych.
0 ) 0 ( ...
) 0 ( ) 0 (
0 ) 0 ( ...
) 0 ( ) 0 (
) (
) ( )]
( [
)]
( ) [
(
) 1 (
) 1 ( m
n
u u
u
y y
y przy
s u
s y t u L
t y s L G
(3.2)
Poddając równanie ruchu (3.1) przekształceniu Laplace’a z uwzględnieniem zerowych warunków początkowych, otrzymuje się
] ...
)[
( ] ...
)[
(s a s a2 s2 a1 s a0 u s b s b2 s2 b1 s b0
y n n m m , skąd po przekształceniu
) ... (
...
) (
) (
0 1 2 2
0 1 2
2 G s
a s a s a s
a
b s b s b s
b s u
s y
n n
m
m
(3.3)
W większości przypadków transmitancja operatorowa jest ilorazem wielomianów licznika L(s) i mianownika M(s)
) (
) ) (
( M s
s s L
G (3.4)
gdzie
0 1 2
... 2
)
(s b s b s b s b
L m m
0 1 2
... 2
)
(s a s a s a s a
M n n (3.5)
Mianownik M(s) transmitancji operatorowej elementu (układu) przyrównany do zera nazywa się równaniem charakterystycznym tego elementu (układu).
Wykonując działania odwrotne niż przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej, na podstawie transmitancji odtworzyć można równanie ruchu. Transmitancja operatorowa i równanie ruchu są więc równorzędnymi formami matematycznego opisu właściwości dynamicznych.
Przekształcając równanie (3.2) otrzymuje się
) ( ) ( )
(s G s y s
u (3.6)
Równanie (3.6) wyraża matematyczny sens schematu blokowego elementu (układu) automatyki: iloczyn transformaty sygnału wejściowego u(s) i transmitancji operatorowej elementu (układu) G(s) (wpisanej wewnątrz bloku - rys. 3.2) jest transformatą sygnału wyjściowego y(s); zakłada się domyślnie, że początkowe warunki były zerowe.
Rys. 3.2. Schemat blokowy elementu (układu) automatyki
Uwaga! Do celów praktycznych należy rozszerzyć pojęcia zerowych warunków początkowych i transmitancji operatorowej, wynikające z definicji (3.2).
Zwykle interesuje nas zachowanie układu w okolicy określonego punktu pracy (punktu równowagi), w którym sygnały wejściowy i wyjściowy u(t) i y(t) mają niezerowe wartości - odpowiednio u0 i y0, co uniemożliwia wyznaczenie transmitancji. W takiej sytuacji wprowadza się nowe zmienne, tzw. zmienne przyrostowe u uu0 oraz
y0
y y
i tworzy się równanie ruchu jako zależność pomiędzy funkcjami u(t) i )
(t
y , gdzie u(t)u(t)u0 i y(t) y(t)y0. Umożliwia to wyznaczenie transmitancji operatorowej jako stosunku transformat
) (
) ( )]
( [
)]
( ) [
( u s
s y t
u L
t y s L
G
przy zerowych wartościach początkowych funkcji u(t),y(t) i ich pochodnych.
Przykład 3.1
Układ fizyczny o sygnale wejściowym U1 i sygnale wyjściowym U2 opisany jest równaniem różniczkowym:
) ( 4 ) ) (
3 2( U2 t U1 t
dt t
dU
Należy wyznaczyć transmitancję operatorową tego układu i przedstawić ten układ w postaci schematu blokowego.
Rozwiązanie
Poddając obie strony równania przekształceniu Laplace’a i zakładając zerowe warunki początkowe, otrzymuje się
) ( 4 ) ( ) (
3sU2 s U2 s U1 s ) ( 4 ] 1 3 )[
( 1
2 s s U s
U
skąd
1 3
4 ) (
) ) (
(
1
2
U s s s s U
G
Schemat blokowy układu przedstawia rys. 3.3.
Rys. 3.3. Schemat blokowy do przykładu 3.1 Przykład 3.2
Dany jest schemat blokowy elementu automatyki przedstawiony na rys. 3.4. Wyznaczyć równanie ruchu tego elementu.
Rys. 3.4. Schemat blokowy do przykładu 3.2 Rozwiązanie
Transmitancja operatorowa elementu ma postać 1; 2
10 ) (
) ) (
(
1 2
s
s s
F s s F
G
Przekształcając, otrzymuje się
) ( 10 ) ( ) 1 2
( s F2 s sF1 s ) s ( F s ) s ( F ) s ( F
s 2 2 10 1
2
Aby odtworzyć równanie ruchu elementu, należy poszczególne wyrazy tej zależności poddać odwrotnemu przekształceniu Laplace’a, w celu znalezienia ich oryginałów.
Ponieważ transmitancja operatorowa wyznaczana jest przy zerowych warunkach początkowych, to:
dt t s dF
F s
L ( )
2 )]
( 2
[ 2 2
1
) ( )]
(
[ 2 2
1 F s F t
L
dt s dF
F s
L1[10 1( )]10 1
Zatem równanie ruchu elementu ma postać
dt t t dF
dt F t
dF ( )
10 ) ) (
2 2( 2 1
3.3. Charakterystyka statyczna i charakterystyki dynamiczne 3.3.1. Charakterystyka statyczna
Charakterystyką statyczną elementu (układu) nazywamy zależność wielkości wyjściowej od wielkości wejściowej w stanach ustalonych, tj. w stanach, w których wartości wielkości wejściowej i wielkości wyjściowej nie zmieniają się w czasie. Jest ona zależnością algebraiczną y f(u) gdzie yi u to wartości sygnału wyjściowego (wielkości wyjściowej) i sygnału wejściowego (wielkości wejściowej) osiągane w stanach ustalonych.
Rys. 3.5. Charakterystyka statyczna elementu liniowego
Charakterystykę statyczną elementu (układu) można wyznaczyć z równania ruchu, przyrównując do zera wszystkie pochodne występujące w tym równaniu. Jeżeli jest to liniowe równanie różniczkowe w postaci (3.1), to charakterystyka statyczna opisana jest równaniem :
a u yb
0
0 (3.7)
Jest to więc równanie linii prostej - rys. 3.5.
Charakterystykę statyczną można także wyznaczyć na podstawie transmitancji operatorowej.
Ponieważ wartość ustaloną wielkości wyjściowej można wyrazić jako y lim y(t)
t
, to
na podstawie twierdzenia o wartości końcowej (2.13) i zależności (3.6) można napisać )
( ) ( lim ) ( lim ) ( lim
0
0s y s s G s u s
t y y
s s
t
Po podstawieniu u s s
u 1
)
( (dla u = const.) otrzymuje się
) ( lim
0 G s
u y
s
(3.8)
Ostatecznie, uwzględniając zależność (3.3), otrzymuje się równanie charakterystyki statycznej:
u
a b a s a s a s
a
b s b s b s
u b s G u
y n
n m m s
s
0
0 0 2 1
2
0 2 1
2 0
0 ...
...
lim )
(
lim (3.9)
W przypadku kiedy równanie ruchu otrzymano w wyniku linearyzacji nieliniowego równania ruchu, charakterystyka statyczna w postaci (3.7) jest przybliżeniem rzeczywistej charakterystyki statycznej. Rzeczywistą charakterystykę statyczną wyznacza się z nieliniowego równania ruchu, zakładając zerowe wartości wszystkich pochodnych. Może ona być również zależnością nieliniową. W takim przypadku charakterystyka statyczna otrzymana z równania zlinearyzowanego pokrywa się z rzeczywistą charakterystyką statyczną tylko w punkcie pracy, względem którego przeprowadzono linearyzację (będzie to styczna w punkcie pracy do krzywej odpowiadającej rzeczywistej charakterystyce statycznej). A więc charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie zlinearyzowanego równania ruchu jest przybliżeniem rzeczywistej charakterystyki statycznej, które wykorzystuje się jedynie w okolicy założonego punktu pracy.
3.3.2. Charakterystyki dynamiczne
Równanie ruchu jak i transmitancja operatorowa jednoznacznie określają dynamiczne właściwości elementu (układu) – umożliwiają wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego jako wyniku oddziaływania sygnału wejściowego o dowolnym przebiegu. Jednakże bezpośrednio na podstawie równania ruchu ani na podstawie transmitancji operatorowej nie można sobie wyobrazić ani ocenić zachowania się danego elementu (układu). Do oceny, porównania i badania dynamicznych właściwości elementów (układów) wykorzystuje się przebiegi sygnałów wyjściowych uzyskane w wyniku oddziaływania na element (układ) typowych sygnałów wejściowych (mówi się także – typowych wymuszeń). Takie przebiegi sygnałów wyjściowych nazywają się odpowiedziami elementu (układu) na określony sygnał wejściowy lub ogólnie charakterystykami dynamicznymi danego elementu (układu). Jako typowe wymuszenia najczęściej wykorzystywane są:
- sygnał w kształcie impulsu Diraca; wymuszenie impulsowe (rys. 3.6c),
- sygnał w kształcie skoku jednostkowego – w kształcie funkcji Heaviside’a;
wymuszenie jednostkowe (rys. 3.6a),
- sygnał skokowy (nie jednostkowy); wymuszenie skokowe (rys. 3.6b), - sygnał liniowo narastający; wymuszenie liniowo narastające (rys. 3.6 d).
Charakterystyki dynamiczne wyznacza się przy założeniu zerowych warunków początkowych. Charakterystyki te można wyznaczać eksperymentalnie lub analitycznie, np. na podstawie transmitancji operatorowej, wykonując odwrotne przekształcenie transformaty sygnału wyjściowego elementu (układu), określonej zależnością (3.6)
)]
( ) ( [ )]
( [ )
(t L1 y s L1 u s G s
y (3.10)
Rys. 3.6. Typowe wymuszenia stosowane do analizy właściwości dynamicznych elementów (układów) automatyki: a) wymuszenie jednostkowe, b) wymuszenie skokowe, c) wymuszenie impulsowe, d) wymuszenie liniowo narastające
Odpowiedź (charakterystyka) impulsowa elementu (układu) jest to przebieg jego wielkości wyjściowej y(t), uzyskany pod wpływem zmian wielkości wejściowej w kształcie impulsu Diraca - u(t)(t).
Przy założeniu zerowych warunków początkowych, podstawiając do wzoru (3.10) transformatę sygnału wejściowego u(s)1, otrzymuje się
)]
( [ )]
( 1 [ )
(t () () L1 G s L1 G s
y ut t (3.11)
Odpowiedź impulsową oznaczana jest także symbolem g(t), gdyż jest oryginałem transmitancji G(s).
Odpowiedź (charakterystyka) jednostkowa elementu (układu) jest to przebieg jego wielkości wyjściowej y(t), uzyskany pod wpływem zmian wielkości wejściowej w kształcie skoku jednostkowego - u(t)1(t).
Przy założeniu zerowych warunków początkowych, podstawiając do wzoru (3.10) transformatę sygnału wejściowego
s s
u 1
)
( , otrzymuje się
)]
1 ( [ )
( ()1() 1 G s L s
t
y ut t (3.12)
Odpowiedź (charakterystyka) skokowa elementu (układu) jest to przebieg jego wielkości wyjściowej y(t), uzyskany pod wpływem zmian wielkości wejściowej w kształcie skoku o zadanej amplitudzie - u(t)ust1(t).
Przy założeniu zerowych warunków początkowych podstawiając do wzoru (3.10) transformatę sygnału wejściowego
u s s
u st 1 )
( , otrzymuje się
)]
1 ( [ )]
1 ( [ )
( () 1() 1 1 G s
L s u s s G u L t
y ut u t st st
st
(3.13)
Odpowiedź elementu (układu) na sygnał liniowo narastający jest to przebieg jego wielkości wyjściowej y(t), uzyskany pod wpływem liniowo narastającej w czasie wartości wielkości wejściowej u(t)at, gdzie a jest współczynnikiem proporcjonalności.
Przy założeniu zerowych warunków początkowych podstawiając do wzoru (3.10) transformatę sygnału wejściowego ( ) 2
s s a
u , otrzymuje się
)] [ ( )]
( [ )
( () 1 2 1 2
s s L G a s s G L a t
y u tat (3.14)
Wymienione charakterystyki, równanie ruchu i transmitancja operatorowa są różnymi, ale wzajemnie równoważnymi formami przedstawienia właściwości dynamicznych danego elementu (układu).
3.4. Charakterystyki częstotliwościowe; transmitancja widmowa
Opisane w rozdziale 3.3.2 charakterystyki dynamiczne przedstawiają reakcję elementu (układu) będącego w stanie ustalonym na pojawiającą się w pewnym momencie, oznaczanym jako t0, zmianę wielkości wejściowej. Są więc one wyznaczane dla czasu t0. Natomiast tzw. charakterystyki częstotliwościowe
przedstawiają zachowanie elementu (układu) pod wpływem ciągłych, a więc teoretycznie trwających od t, sinusoidalnych oscylacji wielkości wejściowej.
Jeżeli na wejście liniowego elementu (układu) zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny o stałej amplitudzie A1 i pulsacji , a więc jeżeli u(t)A1sint (rys.
3.7), to po ustaniu procesów przejściowych, na wyjściu elementu (układu) uformuje się także sygnał sinusoidalny o takiej samej pulsacji, o amplitudzie A2, zwykle przesunięty w fazie względem sygnału wejściowego. Amplituda A2 i przesunięcie fazowe zależą od właściwości danego elementu (układu) i także od pulsacji sygnału wejściowego.
Jeżeli faza sygnału wyjściowego opóźnia się w stosunku do fazy sygnału wejściowego, mówi się, że jest to ujemne przesunięcie fazowe (rys. 3.7b); jeżeli wyprzedza – że jest to dodatnie przesunięcie fazowe (rys. 3.7c).
Rys. 3.7. Sinusoidalne sygnały elementu liniowego w funkcji czasu: a) sygnał wejściowy, b) przykład sygnału wyjściowego elementu opóźniającego fazę sygnału wejściowego o czas t ( t 0- ujemne przesunięcie fazowe), c) przykład sygnału
wyjściowego elementu wyprzedzającego fazę sygnału wejściowego o czas t ( t 0 - dodatnie przesunięcie fazowe)
Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas t
i wtedy sygnał wyjściowy wyraża funkcja
) ( sin )
(t A2 t t
y (3.15)
lub jako przesunięcie kątowe , wtedy
) sin(
)
(t A2 t
y (3.16)
Jak wspomniano, w zależności od właściwości elementu (układu) i pulsacji sygnału wejściowego, wielkości t i mogą przybierać wartości ujemne (ujemne przesunięcie fazowe), zerowe lub dodatnie (dodatnie przesunięcie fazowe).
Należy zauważyć, że przesunięcie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego o kąt odpowiada przesunięciu tych sygnałów o / jednostek czasu, a więc
t (3.17)
Rys. 3.8. Sinusoidalne sygnały elementu liniowego w funkcji kąta fazowego t : a) sygnał wejściowy, b) przykład sygnału wyjściowego elementu opóźniającego fazę sygnału wejściowego o kąt (0 - ujemne przesunięcie fazowe), c) przykład sygnału wyjściowego elementu wyprzedzającego fazę sygnału wejściowego o kąt ( 0 - dodatnie przesunięcie fazowe)
Można więc zapisać
)]
( sin[
) ( )] [ (
sin ) ( )]
( [ sin ) ( )
( 2 2 2
A t t A t A t
t
y (3.18)
Wygodniej jest przedstawiać sygnały sinusoidalne w funkcji kąta fazowego t - rys. 3.8.
Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G(j). Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu
) (t
f przyporządkowuje transformatę F(j) zgodnie z zależnością
f t e dt j
F( ) ( ) jt (3.19)
zwaną całką Fouriera.
Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.
) (
) ) (
(
j u
j j y
G (3.20)
Między transmitancją widmową, a operatorową istnieje formalny związek
G s s j
j
G( ) ( ) (3.21)
wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.
Zbadajmy co reprezentuje transmitancja widmowa elementu (układu) w przypadku sinusoidalnych sygnałów wejściowych.
Jeżeli u(t) A1sint, to
] [sin )
( )]
(
[u t u s A1 L t
L (3.22)
Zgodnie z wcześniejszymi stwierdzeniami, sygnał wyjściowy elementu (układu), po ustaniu procesów przejściowych, przyjmuje postać
)]
( sin[
) ( )
(t A2 t
y ,
a jego transformata Laplace’a
)]}
( {sin[
) ( ) ( )]
(
[y t y s A2 L t L
Funkcja sin[t()] jest odwzorowaniem funkcji sint z przesunięciem względem niej o czas
)
(
t . Zgodnie z twierdzeniem (2.11) o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej można napisać, że
] t [sin L e
)]}
t ( [ {sin L )]}
( t {sin[
L s
) (
, a więc
] sin [ )
( ) (
) (
2 e L t
A s
y s (3.23)
Wykorzystując wyrażenia (3.22) i (3.23), transmitancję operatorową elementu zapisać można w postaci:
s
A e A s u
s s y
G
( ) 1
2( ) )
( ) ) (
( (3.24)
Uwzględniając związek (3.21), z równania (3.24) otrzymuje się wykładniczą postać transmitancji widmowej, z której wynika fizyczny sens tej transmitancji.
) ( 1
2( ) )
( ej
A j A
G . (3.25)
Transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną, której moduł M() wyraża stosunek amplitudy sinusoidalnego sygnału wyjściowego do amplitudy sinusoidalnego sygnału wejściowego w funkcji pulsacji,
1 2( ) )
( )
( A
M A j
G (3.26)
a argument - przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem wejściowego w funkcji pulsacji.
) ( ) (
argG j (3.27)
Transmitancję widmową jako liczbę zespoloną można także przedstawić jako sumę części rzeczywistej P() i urojonej Q()
) ( ) ( )
(j P jQ
G (3.28)
Moduł i argument lub część rzeczywista i urojona transmitancji widmowej danego elementu (układu) są funkcjami pulsacji sygnału wejściowego. Graficzne
reprezentacje transmitancji widmowej dla zakresu pulsacji od 0 do nazywają się charakterystykami częstotliwościowymi. Wykorzystywanymi w praktyce postaciami tych charakterystyk są:
charakterystyka amplitudowo – fazowa (wykres Nyquista),
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i logarytmiczna charakterystyka fazowa (wykres Bode’a),
logarytmiczna charakterystyka amplitudowo – fazowa (wykres Blacka).
Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona na płaszczyźnie zmiennej zespolonej o współrzędnych P() i jQ(), która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G(j) przy zmianach pulsacji od 0 do . Przykładową charakterystykę amplitudowo – fazową przedstawiono na rys.
3.9. Na podstawie tego rysunku można napisać zależności pomiędzy modułem, argumentem, częścią rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej:
2
2 [ ( )]
)]
( [ )
( P Q
M (3.29)
) (
) ) (
(
P
arctgQ
(3.30)
) ( cos ) ( )
( M
P (3.31)
) ( sin ) ( )
( M
Q (3.32)
Rys. 3.9. Przykład charakterystyki amplitudowo - fazowej (wykres Nyquista) elementu (układu) opóźniającego fazę
Długość wektora G(j), łączącego początek układu współrzędnych z punktem na charakterystyce, np. dla pulsacji 2, przedstawia moduł tego wektora dla tej pulsacji -
stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego. Kąt miedzy dodatnią osią rzeczywistych i wektorem jest równy kątowi przesunięcia fazowego sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Na rys. 3.9 kąt (2) reprezentuje ujemne przesunięcie fazowe.
Przydatną do analizy właściwości elementu (układu) automatyki formą graficznej prezentacji transmitancji widmowej jest także zespół charakterystyk częstotliwościowych: logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i logarytmiczna charakterystyka fazowa – rys. 3.10.
Rys. 3.10. Przykładowe charakterystyki logarytmiczne: a) amplitudowa, b) fazowa
Rys. 3.11. Fragment skali logarytmicznej obejmujący dwie dekady
Wykorzystywane są dwie formy logarytmicznej charakterystyki amplitudowej (rys.
3.10a). Jedna z nich jest graficznym obrazem zależności M()f(), przedstawionym w układzie współrzędnych, w którym na osiach podane są wartości M() i w skalach logarytmicznych. Fragment skali logarytmicznej na osi odciętych, obejmujący dwie dekady, pokazano na rys. 3.11.
Druga forma logarytmicznej charakterystyki amplitudowej jest graficznym obrazem zależności 20logM()f(), przedstawionym w układzie współrzędnych, w którym na osi rzędnych jest naniesiona liniowa skala wielkości L()20logM()[dB], zwanej modułem logarytmicznym; jednostką tej wielkości jest decybel (dB). Na osi odciętych tej charakterystyki podane są wartości pulsacji w skali logarytmicznej.
Logarytmiczna charakterystyka fazowa (rys. 3.10b) jest graficznym obrazem zależności ()f(), przedstawionym w układzie współrzędnych, w którym na osi rzędnych są podane wartości przesunięcia fazowego w stopniach lub radianach w skali liniowej, na osi odciętych - wartości pulsacji w skali logarytmicznej.
Logarytmiczną charakterystykę fazową zwykle umieszcza się pod charakterystyką amplitudową, co ułatwia odczytywanie wartości modułu i przesunięcia fazowego odpowiadających danej pulsacji.
Praktyczne znaczenie charakterystyk logarytmicznych wynika z łatwości ich wyznaczania metodami graficznymi.
W praktyce wykorzystywane jest także graficzne odwzorowanie transmitancji widmowej w układzie tzw. „współrzędnych Blacka” - rys. 3.12, w którym na osi odciętych znajduje się liniowa skala wartości przesunięcia fazowego w stopniach lub radianach, a na osi rzędnych liniowa skala wartości modułu logarytmicznego L()w decybelach, przy czym oś rzędnych przecina oś odciętych nie przy wartości 0 radianów lecz przy wartości radianów. Takie odwzorowanie transmitancji widmowej nazywa się logarytmiczną charakterystyką amplitudowo – fazową lub wykresem Blacka. Ułatwia ono badanie zapasów stabilności układów (patrz rozdział 9).
Rys. 3.12. Przykład logarytmicznej charakterystyki amplitudowo – fazowej (wykres Blacka)
3.5. Doświadczalne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych
Charakterystyki częstotliwościowe można wyznaczać analitycznie zarówno dla elementów (układów) stabilnych jak i niestabilnych – na podstawie transmitancji operatorowej, wykorzystując zależność (3.21) lub - jeżeli nie jest znana transmitancja elementu (układu) to charakterystyki częstotliwościowe można wyznaczać
doświadczalnie ale jedynie elementów (układów) stabilnych.
Schemat układu pomiarowego do eksperymentalnego wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych jest przedstawiony na rys. 3.13. Przetworniki PP1 i PP2 służą do przetworzenia sygnału wymuszenia u(t) i sygnału odpowiedzi y(t) badanego elementu na sygnały dostosowane do rodzaju użytego urządzenia rejestrującego (rejestrator, drukarka, oscyloskop, komputer).
Metodą doświadczalną można wyznaczać charakterystyki częstotliwościowe jedynie w zakresie fizycznie realizowanych wartości pulsacji sygnału wejściowego. Praktycznie pomiary wykonuje się dla kilku, kilkunastu wybranych częstotliwości, obejmujących zakres pracy badanego elementu (układu). Istotną sprawą jest zapewnienie niezbędnej dokładności realizowanych pomiarów dynamicznych.
Rys. 3.13. Schemat układu pomiarowego do doświadczalnego wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych: PP1, PP2 – przetworniki pomiarowe, Rej – rejestrator dwukanałowy, u0, y0 – składowe stałe sygnałów sinusoidalnych, f – nastawiana częstotliwość sygnału generatora w Hz
Przykładowe przebiegi zarejestrowane na taśmie rejestratora elektrycznego dla częstotliwości: f10.15Hz i f2 0.75Hz oraz sposób obróbki danych pomiarowych przedstawia rys. 3. 14.
a) b)
Rys. 3.14. Przykładowe zarejestrowane sinusoidalne przebiegi sygnału wejściowego i wyjściowego badanego układu: a) dla częstotliwości 0.15 Hz, b) dla częstotliwości
0.75 Hz
Sygnały wejściowy i wyjściowy na rys. 3.14 to sygnały standardowe z zakresu 4 –
20 mA. Pozwoliło to zastosować standardowy rejestrator dwukanałowy z nastawianym posuwem taśmy w zakresie 36 – 360 cm/min i liniową skalą procentową, co oznacza, że rejestrowanej wartości 50 % odpowiada sygnał 12 mA. Zastosowany generator RC przebiegów wolnozmiennych umożliwiał nastawianie częstotliwości w zakresie 0.001 – 100 Hz.
W tablicy 3.1 zestawiono wyniki pomiarów i dodatkowych przeliczeń wyników przykładowego doświadczenia, na podstawie których wyznaczono charakterystyki częstotliwościowe – rys. 3.15.
Tablica 3.1 f [Hz]
[rad/s]
A1 [%]
A2() [%]
M() [1]
() [0]
L() [dB]
0 0 10 10 1 0 0
… … … …
0.15 0.942 10 7.1 0.71 -44.4 -2.97
0.75 4.71 10 2 0.2 -80 -14
1.5 9.42 10 1 0.1 -83 -20
Rys. 3.15. Charakterystyki częstotliwościowe wyznaczone na podstawie przykładowego doświadczenia: a) charakterystyka amplitudowo–fazowa, b) logarytmiczna charakterystyka amplitudowa, c) logarytmiczna charakterystyka fazowa
3.6. Charakterystyki częstotliwościowe szeregowego połączenia elementów
Wprowadzenie charakterystyk logarytmicznych stwarza łatwą metodę wyznaczania charakterystyk układów będących szeregowym połączeniem kilku elementów – rys.
3.16.
Rys. 3.16. Schemat blokowy szeregowego połączenia elementów
Transmitancja operatorowa G(s) szeregowego połączenia elementów o transmitancjach )
1(s
G , G2(s),....Gn(s) jest iloczynem transmitancji elementów składowych:
) ( )
( ) ( )
(s G1 s G2 s G s
G n
Transmitancja widmowa takiego połączenia jest zatem iloczynem transmitancji widmowych elementów składowych:
) ( )
( ) ( )
) ( (
) ) (
( ( ) 1 2
M e G j G j G j
j u
j j y
G j n (3.33)
Jeżeli znane są charakterystyki częstotliwościowe poszczególnych elementów
) (
) ( 2
2
) ( 1
1
) ( ) (
...
...
...
) ( ) (
) ( ) (
2 1
j n
n n
j j
e M j
G
e M j
G
e M j
G
(3.34)
to
) ( ...
) ( ) ( ) ( )
(j M M1 M2 Mn
G (3.35)
oraz
) ( ...
) ( ) ( ) ( ) (
argG j 1 2 n (3.36) Logarytmiczny moduł połączenia szeregowego jest sumą modułów logarytmicznych elementów składowych:
) ( ...
) ( ) ( ) ( lg 20 )
( M L1 L2 Ln
L (3.37)
gdzie:
) ( lg 20 ) (
...
...
...
) ( lg 20 ) (
) ( lg 20 ) (
2 2
1 1
n
n M
L
M L
M L
Ze wzorów (3.36) i (3.37) wynika, że zarówno logarytmiczna charakterystyka amplitudowa jak i logarytmiczna charakterystyka fazowa połączenia szeregowego jest sumą odpowiednich charakterystyk elementów składowych.
