• Nie Znaleziono Wyników

Przykłady praktycznych problemów

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Przykłady praktycznych problemów"

Copied!
21
0
0

Pełen tekst

(1)

Przykłady praktycznych problemów

(2)

1. Pewien zakład ma wyprodukować w ciągu roku 10000 sztuk pewnego wyrobu. Przygotowanie zakładu do każdego cyklu produkcyjnego kosztuje 500 złotych. Koszt magazynowania jednej sztuki wyrobu wynosi 10 złotych rocznie. Przy jakich seriach produkcyjnych koszt całej produkcji będzie najmniejszy?

Niech x oznacza liczbę sztuk produktu w jednym cyklu. Zakład trzeba przygotować do produkcji 10000x razy. Zatem całkowity koszt przygotowania zakładu do produkcji wynosi 10000·500x .

Załóżmy, że zbyt towarów jest równomierny, tzn., że w momencie magazynowania następnej partii magazyn został właśnie opróżniony. Możemy więc przyjąć, że w każdym odstępie czasu dzielącym dwa kolejne cykle produkcyjne znajduje się średnio x/2 sztuk wyrobu. Zatem i w ciągu całego roku średnio w magazynie znajduje się x/2 sztuk wyrobu. Stąd koszt magazynowania wynosi 10 · x/2.

Oznaczmy przez Ks koszty stałe (niezależne od długości cyklu).

Ostatecznie więc koszt całkowity K(x) wynosi

K(x) = 10000 · 500

x + 10x 2 + Ks.

Najmniejszą wartością jaką może przyjmować x jest 1, a największą 10000.

Obliczmy pochodną

K0(x) = −10000 · 500 x2 + 5.

Przyrównujemy K0 do 0. Mamy K0(x) = 0, jeśli x =√

1000000 = 1000.

A teraz obliczamy wartości w punkcie stacjonarnym (x = 1000) i na krańcach. Mamy f (1000) = 5000 + 5000 + Ks = 10000 + Ks,

f (1) = 5000000 + 5 + Ks, f (10000) = 500 + 50000 + Ks. Widzimy, że najmniejszą wartością jest pierwsza. Daje nam to

Odp. Koszt produkcji będzie najmniejszy przy seriach produkcyjnych wielkości 1000 sztuk. Wtedy będzie 10 cykli produkcyjnych.

(3)

2. Rozwiążemy poprzednie zadanie przy założeniu, że zakład ma wyprodukować w ciągu roku 100000 kg towaru. Pozostałe parametry są podobne. Przygotowanie zakładu do każdego cyklu produkcyjnego kosztuje 500 złotych. Koszt magazynowania jednego kg wyrobu wynosi 10 złotych rocznie.

Tym razem wygodniej za x przyjąć liczbę cykli. Wtedy w jednym cyklu produkuje się 100000x kg towaru i koszt magazynowania wynosi 500000x złotych, a koszt przygotowań 500x. Funkcja kosztów całkowitych wyraża się wzorem:

K(x) = 500000

x + 500x.

Na razie zapomnijmy, że x musi być liczbą całkowitą. Policzny pochodną funkcji K i przyrównajmy do zera.

K0(x) = −500000

x + 500.

K0(x) = 0, jeśli x0 =

1000 = 31, 62. Zauważamy, że funkcja K jest malejąca dla x < x0 i rosnąca dla x > x0. Teraz wracamy do informacji, że x musi być całkowite. Z poprzedniego zdania wynika w takim razie, że K osiąga najmniejszą wartość dla x = 31 lub x = 32. Obliczamy K(31) = 31629, 03, K(32) = 31625. Należy zatem wybrać 32 cykle i 3125 kg w jednym cyklu.

(4)

3. Do produkcji pewnego towaru roczne zapotrzebowanie na surowiec wynosi 1000 ton. Koszty ma- gazynowania tego surowca wyrażają sie wzorem 30·(maksymalna ilość surowca w magazynie), bo na taką maksymalną ilość trzeba magazyn przygotować i utrzymywać. Koszt zamówienia jednej partii surowca wynosi 400 zł. a) Ile razy w ciągu roku i jakiej wielkości partie surowca należy zamawiać? b) Ile razy w ciągu roku i jakiej wielkości partie surowca należy zamawiać, jeśli surowiec potrzebujemy w ilości 1000 sztuk zamiast 1000 ton? c) To samo pytanie co w b), ale surowiec jest pakowany w paczkach wielkości 20 sztuk?

a) Oznaczmy przez x liczbę zamówień w ciągu roku, a przez m maksymalną ilość surowca w magazynie, czyli wielkość jednorazowego zakupu. Wtedy m = 1000x . Koszty wyrażaja sie wzorem 400x + 1000x · 30 = 400x +30000x . Na razie zapomnijmy, że x jest liczbą naturalną i policzmy pochodną funkcji K. Mamy

K0(x) = 400 −30000 x2 .

Widzimy, że K0 jest funkcją rosnącą dla x > 0, zatem przyjmuje wartość zero w co najwyżej w jednym punkcie dodatnim. Jest to punkt, w ktorym pochodna się zeruje czyli punkt

75 = 8,66. Na lewo od tego punktu funkcja K jest malejąca, na prawo rosnąca. Ponieważ x musi być naturalne, to wnioskujemy z tego, że trzeba x przyjąć 8 lub 9. Podstawiamy te wartości do wzoru na funkcje K i otrzymujemy K(8) = 6950, K(9) = 6933, 33. Ostatecznie więc otrzymujemy odpowiedź:

Należy zamawiać 9 razy w ciągu roku partie surowca wielkości m = 111, 11 ton.

b) Tym razem m musi być najmniejszą liczba całkowitą większa lub równą 1000x . To oznacza, że jeśli przyjmiemy x = 9, to część dostaw będzie w wysokości 111 sztuk, a część 112 sztuk. Zatem m = 112.

Wtedy K = 9 · 400 + 30 · 112 = 6960 > 6950. Trzeba więc w tym wypadku wybrać x = 8 i wszystkie dostawy będą wielkości 125 sztuk.

c) W tym wypadku, jeśli przyjmiemy x = 9, to część zamowień będzie wielkości 100 sztuk, a część 120 sztuk, czyli m = 120, a więc koszt będą wynosiły 400 · 9 + 30 · 120 = 7200. Jeśli przyjmiemy x = 8, to część zamówień będzie w wysokości 120 ton, a część 140 ton i koszty będa wynosiły 400 · 8 + 30 · 140 = 7400. Okazuje się, że w teraz trzeba przyjąć x = 10. Wtedy każda dostawa bedzie wysokości 100 sztuk i otrzymamy koszty w wysokości 400 · 10 + 30 · 100 = 7000. Bierze się to stąd, że tylko w tym trzecim wypadku magazyn będzie równomiernie wykorzystywany.

(5)

4. Mamy w naszym przedsiębiorstwie zbudowac 400 zbiorników z blachy w kształcie walca (z dnem i scianą boczną – bez pokrywy górnej) o objętości 6m3 każdy w celu magazynowania w nich towaru. Cena 1 m2 blachy wynosi 11,1 zł., a koszt 1 m spawania 10,3 zł. Przy jakich wymiarach koszt zbiorników będzie najniższy?

Oznaczmy przez r promień walca, a przez h wysokość. Koszt wszystkich zbiorników będzie najniższy, jesli koszt pojedyńczego będzie najniższy. Koszt zbiornika składa się z kosztów materiału oraz kosztów robocizny (spawania). Koszt materiału jest równy iloczynowi powierzchni walca (bez pokrywy górnej) oraz ceny jednostkowej blachy, czyli jest równy 11,1(2πrh + πr2). Zespawać musimy (po zwinięciu w rulon) ścianę boczną na długośći h, a następnie przyspawać ją do dna na długości obwodu dna. Zatem koszt spawania wynosi 10,3(2πr + h). Ale h = πr62. Wstawiając to do wzorów otrzymamy wzór na koszt całkowity zbiornika:

K(r) = 132,2

r + 11,1πr2+ 20,6πr + 61,8 πr2 . Policzmy pochodną funkcji K. Mamy

K0(r) = −132,2

r2 + 22,2πr + 20,6π − 123,6 πr3 .

Wszystkie składniki po prawej stronie są rosnące (albo stałe) dla r > 0, skąd funkcja K0 jest rosnąca na przedziale (0; ∞). Posiada zatem co najwyżej jedno miejsce zerowe x0. Obliczymy je przy pomocy arkusza kalkulacyjnego (narzędziem szukaj wyniku). Otrzymujemy x0 ≈ 1,09. Ponieważ na lewo od tego punktu funkcja K0 jest ujemna, a na prawo dodatnia, w punkcie x0 funkcja K osiąga najmniejszą wartość. Wstawiając wzór na h otrzymujemy, że h ≈ π·1,096 2 = 1, 60. Zatem powinniśmy budować zbiornik o wymiarach: promień dna równy 1,09 m oraz wysokość równa 1,60 m. Koszt takiego zbiornika to 250,73 zł, a koszt wszystkich 400 zbiorników razem to 100291, 21 zł.

(6)

5. Mamy dany zbiornik w kształcie graniastosłupa prostokątnego o podstawie trapezu równoramiennego bez ściany bocznej położonego na przeciwległej ścianie (przypomina kształtem korytko). Zakładamy, że objętość tego zbiornika jest dana i równa V , oraz jego długość jest dana i równa l. Przy jakich wymiarach zbiornika zużyjemy najmniej materiału?

A A A A A

















A A A A A

m

d x w

l y y

ppppppppppppppppppppp

pp pp pp pp

Oznaczmy mniejszą podstawę trapezu przez m, większą przez w, wysokość trapezu przez x, a bok trapezu przez d. Niech y = w − m

2 . Niech T oznacza pole powierzchni trapezu. Wtedy objętość zbiornika jest równa T l. Stąd T = V

l i jest stała. Ze wzoru na powierzchnię trapezu mamy T = x(m + w)

2 = x(2y + 2m)

2 = xy + xm.

Stąd

m = T x − y.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

d =qx2+ y2. Pole powierzchni P zbiornika (bez górnej ściany) jest równe

P = 2T + ml + 2dl.

Wstawiając wzory na m i d otrzymamy P = 2T +V

x − ly + 2lqx2+ y2.

P jest więc funkcją dwóch zmiennych x i y. Jakie warunki muszą spełniać x i y? Otóż x musi być większe od zera, a y większe bądź równe zeru. Ponadto pole dwóch trojkątów prostokątnych o bokach x, y i d nie może przekraczać pola trapezu, czyli T . Zatem zbiór DP, na którym określona jest funkcja P jest opisany następująco:

DP = {(x, y) : x > 0, y ­ 0, xy ¬ T }.

Widzimy to na rysunku

(7)

- 6

x y

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp p

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppp

pppppp pppppp pppppp pppppp p

pppppp pppppp pppppp pppp

pppppp pppppp pppppp pp

pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppppp pppppp pppppp pppp pppppp pppppp pp pppppp pppppp pp pppppp pppppp p pppppp pppppp pppppp ppppp pppppp ppppp pppppp pppp pppppp pppp pppppp ppp pppppp ppp pppppp ppp pppppp pp pppppp pp pppppp pp pppppp p pppppp p pppppp p pppppp p pppppp p pppppp

pppppp pppppp

pppppp pppppp

pppppp ppppp

ppppp ppppp

ppppp ppppp

ppppp ppppp

ppppp ppppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp pppp

pppp q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

q q

sA q s B

sC

xy = T

Znajdziemy punkt stacjonarny funkcji P . Mamy:

Px0 = −V

x2 + 2lx

√x2+ y2,

Py0 = −l + 2ly

√x2+ y2.

Przyrównując pochodne do zera otrzymujemy układ równań

V

x2 = 2lx

√x2+ y2,

1 = 2y

√x2+ y2.

Z drugiego równania otrzymujemy

x2+ y2 = 4y2. Stąd

y = x

3. Wstawiając to do równania pierwszego, mamy:

V

x2 = l 2x

q

x2+x32 .

Stąd

V

s4

3x2 = 2lx3.

Ostatecznie po podniesieniu do kwadratu i podzieleniu przez 2l2x2 otrzymujemy x4 = V2

3l2.

(8)

Zatem

x = 1

4

3

sV l = 1

4

3

T . Stąd

y = 1

3x = 1

4

27

T .

Mamy zatem punkt stacjonarny

(x0, y0) = 1

4

3

T , 1

4

27

T

!

.

Sprawdzamy, czy punkt ten należy do zbioru DP, czyli czy x0y0 ¬ T. Mamy:

x0y0 = 1

4

3

T 1

4

27

T = 1

3T < T.

Punkt stacjonarny należy do zbioru DP. Na rysunku ten punkt oznaczony jest przez A.

Liczymy wartość funkcji P w punkcie stacjonarnym. Mamy:

P (x0, y0) = 2T + V

1

4

3

√T − l 1

4

27

T + 2l

s4 3

1

3T = 2T + 2√4 3

V l.

Pozostało wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji na brzegu zbioru DP. Zauważmy, że

−yl + 2lqx2+ y2 ­ 0.

Wynika z tego, że

P (x, y) ­ 2T +V x.

Stąd przy zbliżaniu się do prostej x = 0 wartość funkcji P dąży do nieskończoności, jest więc bardzo duża.

Zobaczymy co dzieje się na prostej y = 0. Wówczas funkcja jest funkcją zmiennej x i przybiera postać f (x) = 2T + V

x + 2lx, przy czym x ∈ (0; ∞). Obliczmy pochodną funkcji f . Mamy:

f0(x) = −V x2 + 2l.

Przyrównując pochodną do zera otrzymujemy równanie x2 = V

2l.

Stąd mamy jeden punkt stacjonarny x1 =qV2l. Na rysunku jest to punkt B.

(9)

Wartość funkcji f w tym punkcie jest równa

f (x1) = 2T + V

qV 2l

+ 2l

sV

2l = 2T + 2√ 2

V l.

Trzeba sprawdzić też końce przedziału (0; ∞). Ponieważ przedział jest otwarty liczymy granice:

lim

x→0+f (x) = lim

x→0+2T + V

x + 2lx = 2T + ∞ + 0 = ∞,

x→∞lim f (x) = lim

x→∞2T + V

x + 2lx = 2T + 0 + ∞ = ∞.

Stąd najmniejszą wartością funkcji na prostej y = 0 jest wartość 2√ 2

V l.

Pozostała nam jeszcze część brzegu będąca krzywą xy = T . Na krzywej tej y = T /x i funkcja jest funkcją jednej zmiennej x i przybiera postać

g(x) = 2T + V x lT

x + 2l

s

x2+ T2

x2 = 2T + 2l

s

x2+ T2 x2, przy czym x ∈ (0; ∞). Funkcja g przyjmuje najmniejszą wartość tam, gdzie funkcja

g1(x) = x2+T2 x2

przyjmuje wartość najmniejszą. Obie granice funkcji g1 w 0+oraz w ∞ są równe nieskończoności. Szukamy punktu stacjonarnego:

g01(x) = 2x − 2T2 x3 .

Przyrównujemy pochodną do zera i otrzymujemy rozwiązanie x2 =

T . Na rysunku jest to punkt C. W tym punkcie wartość funkcji g1 jest najmniejsza. Zatem i wartość funkcji g jest najmniejsza w tym punkcie.

Liczymy wartość funkcji g w punkcie x2:

g(x2) = 2T + 2l

s

T2+ T2

T = 2T + 2l

s

2V

l = 2T + 2√ 2

V l.

Jak widzimy jest to taka sama wartość, jak najmniejsza wartość na prostej y = 0. Teraz pozostaje nam tylko porównać dwie wartości:

2T + 2√ 2

V l i 2T + 2√4 3

V l.

Podnosząc do czwartej potęgi liczby 2

2 oraz 24

3, otrzymujemy nierówność 16 · 4 > 16 · 3.

Wynika stąd, że druga wartość jest mniejsza.

Policzmy pozostałe wymiary zbiornika:

m = T

x − y =√4 3

T − 1

4

27

t = 2

4

27

T .

(10)

Widzimy stąd, że m powinno być dwa razy większe od y.

w = m + 2y = 2m = 4

4

27

T .

Dłuższa podstawa trapezu powinna być dwa razy większa od krótszej.

Otrzymujemy ostateczną odpowiedź - wymiary zbiornika powinny być następujące:

wysokość trapezu: 1

4

3

T , krótsza podstawa trapezu: 2

4

27

T , dłuższa podstawa trapezu: 4

4

27

T .

Widzimy stąd, że tangens kąta nachylenia bocznej ściany do podstawy wynosi y/x =q1/3. Ponieważ kąt ten jest rozwarty, to jest równy 120o.

(11)

6. Teraz dopuścimy, że również długość zbiornika nie musi być ustalona, ale dowolna. Wówczas nasza funkcja P jest funkcją trzech zmiennych x, y i l i wyraża się wzorem:

P (x, y, l) = 2V l +V

x − yl + 2qx2+ y2· l.

Warunki jakie muszą spełniać zmienne x, y, l są następujące:

x > 0, y ­ 0, l > 0, xyl ¬ V.

Pochodne względem x i y są identyczne jak w poprzednim przykładzie, zaś pochodna względem l wyraża się wzorem:

Pl0 = −2V

l2 − y + 2qx2+ y2. Przyrównując pochodne cząstkowe do zera otrzymujemy układ równań:

Vqx2+ y2 = 2x3l,

q

x2+ y2 = 2y,

−2V = l2



y − 2qx2 + y2



.

Z drugiego równania otrzymujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie y = 1

3x.

Wstawiając do do pierwszego i trzeciego otrzymamy układ:

V = x2l√ 3, 2V =√

3l2x.

Rozwiązując ten układ otrzymujemy:

l = V x2

3 i ostatecznie jeden punkt stacjonarny (x0, y0, l0) o współrzędnych:

x0 = 3

s V 2

3 ≈ 0.66√3 V ,

y0 = 3

s4V

3 ≈ 0.38√3 V ,

l0 = 3

s V 2

3

1 3 = 3

sV

18 ≈ 1.32√3 V .

Obliczając wartość funkcji P w punkcie stacjonarnym otrzymamy P (x0, y0, l0) = 33

q

2 33

V2.

(12)

Teraz rozważymy funkcję P na brzegu zbioru. Z postaci funkcji wynika, że jeśli x → 0+ i l → 0+, to wartość funkcji dąży do nieskończoności - a więc jest bardzo duża. Pozostały nam dwie pozostałe części brzegu: płaszczyzna y = 0 oraz powierzchnia xyl = V .

Jeśli y = 0, to zbiornik jest prostopadłościanem o danej objętości V . P jest funkcją dwóch zmiennych x i l i ma postać:

h(x, l) = 2V l + V

x + 2xl.

Przy czym x > 0 i l > 0. Zarowno przy x jak i przy l zbliżających się do 0 funkcja P robi się bardzo duża jak i dla x i y dużych ta funkcja robi się duża oznacza to, że minimum funkcji h leży w punkcie stacjonarnym. Obliczamy pochodne cząstkowe

h0x = −V x2 + 2l, h0l= −2V

l2 + 2x.

Przyrównując je dzera i rozwiązując układ równań otrzymujemy rozwiązanie:

l1 =3

2V , x1 = 3

sV 4.

Obliczając m otrzymujemy m = x =q3 V4. Obliczamy wartość h w punkcie stacjonarnym:

h(x1, l1) = 33 43

V2.

Na powierzchni xyl = V podstawiamy l = V

xy i otrzymujemy funkcję dwóch zmiennych x i y f (x, y) = 2xy +2V√

x2+ y2

xy ,

gdzie 0 < x, y < ∞.

Jeśli rozważymy zbiór

DM = {(x, y) : x > 0, y > 0, xy < M },

gdzie M jest ustaloną liczbą (bardzo dużą), to zauważymy, że zarówno przy zbliżaniu się do prostej x = 0 jak i y = 0 wartość funkcji f dąży do nieskończoności, natomiast dla xy = M , f (x, y) > M . Możemy wywnioskować, że wartość funkcji f na brzegu zbioru DM jest bardzo duża. Najmniejszą wartość przyjmuje więc w punkcie stacjonarnym. Obliczając pochodne cząstkowe funkcji f otrzymujemy:

fx0 = 2y 1 − V

√x2+ y2· x2

!

,

fy0 = 2x 1 − V

√x2+ y2· y2

!

.

Przyrównując je do zera otrzymujemy układ równań:

V =

q

x2+ y2x2, V =qx2+ y2y2.

(13)

Stąd mamy jeden punkt stacjonarny x2 = y2 =q3 V2. Obliczając wartość funkcji f w tym punkcie otrzymujemy:

f (x2, y2) = 33 43

V2.

Porównując trzy wartości (dwie z nich są takie same) i zauważając, że 2

3 < 4 wnioskujemy, że najmniejszą wartość funkcja P przyjmuje w punkcie

(x0, y0, l0) =

3

s V 2

3, 3

sV 18, 3

s4V

3

.

(14)

7. Budowa walca ze stożkowym daszkiem.

r - promień podstawy, h wysokość walca, V - objętość, x - wysokość stożka, y - tworząca stożka. c1 - cena 1m2 blachy, c2 - cena 1m spawania.

V = πr2h +1

3 · πr2x.

Stąd

h = V πr2 x

3. y =√

x2+ r2. Koszty K:

K = c1· (πr2+ 2πrh + πry) + c2· (4πr + h + y).

Zastosujemy metodę MONTE CARLO. (program max2zm.exe)

Jeśli pominiemy koszty spawania, to można zadanie rozwiązać rachunkiem różniczkowym. Szukamy minimum funkcji powierzchni.

Funkcję P badamy w zbiorze r > 0, h ­ 0, x ­ 0.

r0 = 3

v u u t

V π(1 +

5 3 ), x0 = 2

5r0,

(15)

y0 = 3

5r0, P ≈ 5, 29 · V 23. Na brzegu h = 0 (tylko stożek) mamy

r1 = 3

s 3V 2

2π,

x1 = 23

s3V π . P ≈ 6.09 · V 23. Na brzegu x = 0 (tylko walec) mamy

r2 = 3

sV 2π, h2 = 3

s4V π . P ≈ 5.54 · V 23.

Dla r bliskiego zeru funkcja jest bardzo duża, skąd wnioskujemy, że najmniejsza wartość jest w punkcie (r0, x0).

Jeśli uwględnimy tylko koszty spawania (np. blachę mamy z oddzysku) to trzeba zminimalizować funkcję L(r, x) = 4πr + V

πr2 x 3 +

x2+ r2.

Da się to zrobić rachunkiem różniczkowym:

L0x = −1

3 + x

√x2+ r2,

L0r = 4π − 2V

πr3 + r

√x2+ r2.

Po rozwiązaniu mamy punkt stacjonarny

r0 = 3

v u u t

V π(2π +

2 3 ), x0 = r0

2 2, L ≈ 7.32 ·√3

V .

(16)

Jeśli zredukujemy tylko do stożka to mamy tylko jedno spawanie wzdłuż okręgu - zatem funkcja L gwałtownie zmienia postać na

L = 2πr +

s9V2 π2r4 + r2, Wtedy minimum będzie w punkcie

r1 ≈ 0.65√3 V , x1 ≈ 2.24√3

V L ≈ 6.44√3

V .

Na brzegu x = 0 (tylko walec) odpada gwałtownie spawanie wzdłuż tworzącej y i funkcja ma postać L = 4πr + V

πr2. Punkt stacjonarny

r2 = 3

s 1 2

3

V ≈ 0, 37 ∗√3 V , h2 ≈ 2, 32√3

V . P ≈ 6.97

Dla r bliskiego zeru funkcja jest bardzo duża, skąd wnioskujemy, że najmniejsza wartość jest w punkcie (r1, x1).

Okazuje się, że trzeba wybrać sam stożek, bo wtedy spawamy tylko wzdłuż jednego okręgu zamiast dwóch.

(17)

8. Wracamy do naszego ”korytka”. Zakładamy, że za blachę płacimy c1 zł za m2, a za spawanie c2 zł za 1m. Przy jakich wymiarach koszty całkowite będą najmniejsze?

Spawanie trzeba wykonać na długości 2m + 2l + 4d = 2

V lx − y



+ 2l + 4

q

x2+ y2.

Zatem funkcja kosztów będzie równa K(x, y, l) = c1

2V l + V

x − yl + 2qx2+ y2· l



+ c2



2

V lx − y



+ 2l + 4

q

x2+ y2



.

Pochodne cząstkowe tej funkcji wynoszą

Kx0 = c1 −V

x2 + 2lx

√x2+ y2

!

+ c2 −2V

lx2 + 4x

√x2+ y2

!

,

Ky0 = c1 −l + 2ly

√x2+ y2

!

+ c2 −2 + 4y

√x2+ y2

!

,

Kl0 = c1



−2V

l2 − y + 2qx2 + y2



+ c2



−2V l2x + 2



.

Po przyrównaniu pochodnych do zera widzimy, że rozwiązanie tego układu jest bardzo trudne (albo wręcz niemożliwe metodami algebraicznymi). Dlatego poszukamy najmniejszej wartości metodą MONTE CARLO (program max3zm.exe).

(18)

Różne zadania na MONTE CARLO np.

Stożek z blachy bez dna (lejek). V = 13πr2h. c1 cena blachy, c2 cena spawania. K = c1(πr√

r2+ h2) + c2

√r2+ h2.

Jeśli pominiemy spawanie, to można rozwiązać rachunkiem różniczkowym. Wtedy r = q3 3V, h = q3 6Vπ . Jeśli uwzględnimy tylko spawanie (np. blachę mamy z odzysku) to też się da zrobić rachunkiem róą- niczkowym. Otrzymamy r = 3

q3 2V

π , h = q3 3V.

Prostopadłościenna hala z brezentu - stelaż z rur. c1 cena brezentu, c2 cena rur. Wtedy V = xyz, K = c1(xy + 2xz + 2yz) + c2(4x + 4y + 4z). Dla 2 zm.

Analogiczna hala w kształcie domku. h - wysokość daszku.

V = xyz +xhy2 .

K = c1

2xz + 2yz + xh + 2y

sx2 4 + h2

+ c2

4z + 2y + 2x + 4

sx2 4 + h2

. To dla 3 zmiennych.

(19)
(20)
(21)

9. Pewien tartak zakupuje drewno 1 gatunku w cenie 440 zł za m3 oraz 2 gatunku w cenie 395 zł za m3. Z 1 m3 drewna 1 gatunku otrzymuje się po wysuszeniu 0,43 m3 tarcicy oraz 0,21 m3 drewna opałowego z trocinami. Z 1 m3 drewna 2 gatunku otrzymuje się po wysuszeniu 0,35 m3 tarcicy oraz 0,22 m3 drewna opałowego z trocinami. Tartak używa pieca opalanego drewnem z trocinami do suszenia drewna oraz do ogrzewania zakładu. Aby wysuszyć 1 m3 tarcicy 1 gatunku potrzeba 0,9 m3 drewna opałowego z trocinami.

Aby wysuszyć 1 m3 tarcicy 2 gatunku potrzeba 1 m3 drewna opałowego z trocinami (tu nie odrózmiamy 1 i 2 gatunku). Miesięczne zewnętrzne zapotrzebowanie na tarcicę wynosi 44 m3. Do ogrzania zakładu potrzeba 17 m3 opału miesięcznie. Ile powinien zakupić miesięcznie drewna 1 i 2 gatunku, aby w pełni wykorzystać surowiec i aby nie zostały mu zapasy? Ile zapłaci za surowiec?

Oznaczmy przez x miesięczny zakup drewna 1 gatunku, a przez y miesięczny zakup drewna 2 gatunku.

Wtedy otrzymujemy miesięcznie 0, 43x tarcicy 1 gatunku oraz 0, 35y tarcicy drugiego gatunku. Ma to być równe 44 m3. Drewna opałowego otrzymujemy 0, 21x + 0, 22y. Zapotrzebowanie na drewno opałowe z trocinami do suszenia wynosi 0, 9 · 0, 43x + 1 · 0, 35y a do ogrzania zakładu 17. Ostatecznie otrzymujemy układ równań

0, 43x + 0, 35y = 44 0, 18x + 0, 13y = 17 Rozwiązujemy. Odp. x = 38, 02; y = 79, 01; Zapłaci 47935,54,

Cytaty

Powiązane dokumenty

Sprawdzenie, że funkcja ta jest bijekcją pozostawiamy czytelnikowi jako łatwe ćwiczenie... Izomorfizm przestrzeni liniowych jest relacją równoważności w klasie wszystkich

[r]

(3) U(R) jest grupą abelową, nazywamy ją grupą elementów odwracalnych pierścienia

Charakterystyka pierścienia i ciała, ciała proste i klasyfikacja ciał

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

Powyższy wniosek oznacza, że w zakresie ciał o charakterystyce zero rozszerzenia algebraiczne skoń- czone i algebraiczne pojedyńcze to to samo..

Zbiór wszystkich elementów stałych na wszystkich automorfizmach z G jest podciałem ciała

Wynika bezpośrednio z Wniosku 14.6 i tego, że skończona grupa abelowa jest sumą prostą