Z P 7.II.2017 IA R M D T

M ^ETODY D ^OWODZENIA T ^{WIERDZE ´ N}

I A UTOMATYZACJA R ^{OZUMOWA ´ N}

Z ^ALICZENIE P ^OPRAWKA 7.II.2017

III rok kognitywistyki UAM

Imi˛e i nazwisko: . . . REKINY Z GŁ ˛EBINY

1. Dokonaj przekładu z notacji infiksowej na prefiksow ˛a oraz narysuj drzewo skła- dniowe formuły:

¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r) 2. Znajd´z koniunkcyjn ˛a posta´c normaln ˛a formuły:

(r ∨ s) → (q ∧ ¬p) 3. Ustal czy wniosek:

∃x(R(x) ∧ ¬Q(x)) wynika tablicowo z przesłanki:

¬∃x(P (x) ∧ Q(x)) ∧ ∃x(R(x) ∧ P (x)) 4. Ustal czy jest rezolucyjnie sprzeczny zbiór formuł:

{ s → r, q → p, ¬(s → p), q ∨ ¬r } 5. Podaj:

1. Definicj˛e zdaniowego zbioru Hintikki.

2. Sformułowanie TWIERDZENIA O ZWARTO ´SCIdla KRZ.

JERZY POGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

R ^{OZWI ˛ AZANIA}

1. Formuła ¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r) przekształcona do postaci prefiksowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: AN CpqKsN N r.

Pełne drzewo składniowe tej formuły (w notacji infiksowej) wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco:

¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r)

 H HH

¬(p → q) p → q

 HH

p q

s ∧ ¬¬r

 HH s ¬¬r

¬r r

Skrócone drzewo składniowe tej formuły (w notacji prefiksowej) wygl ˛ada na- st˛epuj ˛aco:

A

 H HH N C

 HH

p q

K

 HH

s N

N r 2. Działamy wedle podanego algorytmu:

h[(r ∨ s) → (q ∧ ¬p)]i h[¬(r ∨ s), q ∧ ¬p]i

h[¬(r ∨ s), q], [¬(r ∨ s), ¬p]i h[¬r, q], [¬s, q], [¬(r ∨ s), ¬p]i h[¬r, q], [¬s, q], [¬r, ¬p], [¬s, ¬p]i

Zauwa˙zmy, ˙ze badana formuła nie jest tautologi ˛a KRZ, poniewa˙z nie jest tak, i˙zby ka˙zda alternatywa elementarna wchodz ˛aca w skład powy˙zszej koniunkcji zawierała par˛e literałów komplementarnych.

3. Budujemy tablic˛e analityczn ˛a dla przesłanki oraz zaprzeczonego wniosku:

¬∃x(P (x) ∧ Q(x)) ∧ ∃x(R(x) ∧ P (x))^1.∧

¬∃x(R(x) ∧ ¬Q(x))^4.∗a (1_g) ¬∃x(P (x) ∧ Q(x))^3.∗a

(1d) ∃x(R(x) ∧ P (x))^2.

√a

(2) R(a) ∧ P (a)^5.∧

(3) ¬(P (a) ∧ Q(a))^6.¬∧

(4) ¬(R(a) ∧ ¬Q(a))^7.¬∧

(5g) R(a) (5_d) P (a)



HH HH H H (6l) ¬P (a)

×_5d,6l

(6p) ¬Q(a)

 HH HH (7_l) ¬R(a)

×_5g,7l

(7_p) ¬¬Q(a)

×_6p,7p

Wszystkie gał˛ezie tablicy analitycznej s ˛a zamkni˛ete, a wi˛ec wniosek wynika tablicowo z przesłanki.

4. Poka˙zemy, ˙ze z podanego zbioru formuł mo˙zna wyprowadzi´c rezolucyjnie klau- zul˛e pust ˛a, czyli ˙ze zbiór ten jest rezolucyjnie sprzeczny:

1. [s → r]

2. [q → p]

3. [¬(s → p)]

4. [q ∨ ¬r]

5. [¬s, r] β,1 6. [¬q, p] β,2

7. [s] α,3

8. [¬p] α,3

9. [q, ¬r] β,4

10. [r] RR:5,7

11. [q] RR:9,10

12. [p] RR:6,11

13. [ ] RR:8,12

5.1. Zbiór H formuł j˛ezyka KRZ nazywamy zdaniowym zbiorem Hintikki, je´sli:

1. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p, zachodzi co najmniej jedno z dwojga:

p /∈ H lub ¬p /∈ H 2. ⊥ /∈ H oraz ¬> /∈ H;

3. Je´sli ¬¬ψ ∈ H, to ψ ∈ H;

4. Je´sli α ∈ H, to α1 ∈ H oraz α₂ ∈ H;

5. Je´sli β ∈ H, to β₁ ∈ H lub β₂ ∈ H.

5.2. TWIERDZENIE OZWARTO ´SCI. Niech S b˛edzie zbiorem formuł j˛ezyka KRZ.

Je´sli ka˙zdy sko´nczony podzbiór zbioru S jest spełnialny, to S jest spełnialny.

Wszystkie prace zaliczeniowe s ˛a zarchiwizowane w pokoju 80. Ka˙zdy ze słu- chaczy mo˙ze obejrze´c swoj ˛a prac˛e w godzinach dy˙zuru wykładowcy.

JERZY POGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl