• Nie Znaleziono Wyników

lim f ( x )= g ⇔∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x 0 <| x − x |¿ δ ⇒| f ( x )− g |< ε lim f ( x )= g ⇔∀ x ¿ D : x ¿ x lim x = x ⇒ lim f ( x )= g

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "lim f ( x )= g ⇔∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x 0 <| x − x |¿ δ ⇒| f ( x )− g |< ε lim f ( x )= g ⇔∀ x ¿ D : x ¿ x lim x = x ⇒ lim f ( x )= g"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład Granica funkcji

W literaturze spotykać można dwa (równoważne, co można udowodnić) podejścia do problemu zdefiniowania pojęcia granicy funkcji.

Funkcjonują mianowicie równolegle definicja Heinego i Cauchy’ego.

Definicja Heinego granicy funkcji nawiązuje wyraźnie do definicji granicy ciągu.

Definicja 8 Heinego

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x0,co zapisujemy symbolicznie

x → xlim0f ( x )= g

lub

f ( x ) →

x → x0

g

jeżeli dla każdego ciągu argumentów

{

xn

}

zbieżnego do x0 o wyrazach różnych od x0

odpowiadający mu ciąg wartości

{

f ( xn)

}

ma granicę równą g

Czyli inaczej mówiąc jeśli argumenty funkcji zbliżają się do x0 .to za każdym razem obliczone dla tych argumentów wartości zbliżają się do g.

Zatem niech

f : D→Y

Wówczas

lim

x → x0

f ( x )= g ⇔ ∀

{

xn

}

¿D : xn¿x0 lim

n→+∞

xn=x0⇒ lim

n →+∞

f ( xn)=g Definicja 9 Cauchy’ego

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x0, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba δ>0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających nierówność

|x−x

0

|<δ

zachodzi nierówność

|f ( x )−g|<ε

.

Zapiszemy tę definicję bardziej formalnym językiem z użyciem odpowiedniego układu kwantyfikatorów następująco:

x → xlim0

f ( x )=g ⇔ ∀ ε >0 ∃ δ > 0 ∀ x 0<|x−x

0|¿

δ ⇒|f ( x )−g|<ε

Obrazowo można powiedzieć, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0, jeżeli dla argumentów dostatecznie bliskich x0, wartości funkcji różnią się dowolnie mało od granicy g.

Przykład

Spróbujmy przyjrzeć się, jak funkcjonuje definicja Heinego, wyliczając granicę funkcji

lim

x →1

f ( x )= 1

x −3

(2)

Granice niewłaściwe:

Definicja 10

Funkcja f ma w punkcie x0 granicę +∞ , jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje taka liczba δ > 0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających warunek

|x−x

0

|<δ

zachodzi nierówność f ( x )> M .

lim

x → x0

f ( x )=+∞ ⇔∀ . . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..

Analogicznie definiujemy granicę równą −∞ .

Granice w nieskończoności

Definicja 11 Funkcja f ma granicę równą g przy x zmierzającym do −∞ jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje P<0 takie, że dla wszystkich x spełniających

warunek x<P zachodzi nierówność

|f ( x )−g|<ε

.

Zapiszemy to symbolicznie:

Analogicznie zdefiniujemy granicę funkcji przy x zmierzającym do +∞

W każdym z powyższych przypadków można podać wersję „ciągową” (Heinego) definicji.

Pozostała do zdefiniowania granica niewłaściwa przy x zmierzającym do +∞ lub do −∞

Definicja 12

(3)

Własności granic funkcji Twierdzenie 6

Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=b to: x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=a+b

x → xlim0[f ( x )−g( x )]=a−b

x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=a⋅b lim

x→ x0

f ( x) g( x)=a

b przy dodatkowym założeniu, że b≠0 Twierdzenie 7

Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=+ ∞ to x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=+∞

x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=+∞

jeżeli a>0 lub x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=−∞

gdy a<0 lim

x→ x0

f ( x ) g( x)=0

Analogicznie będziemy liczyć granicę, w przypadku, gdy x → xlim0g( x )=−∞ . Stąd:

Twierdzenie 7’

Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=−∞

To: x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=− ∞

x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=−∞

jeżeli a>0 lub x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=+∞

gdy a<0

x→ xlim0 f ( x ) g( x)=0 Twierdzenie 8

Jeżeli x → xlim0f ( x )=a≠0

i x→ xlim0g( x )=0 oraz g( x)≠0 dla x≠x0

to

lim

x → x0

f ( x )

g( x )=

{

+∞ gdy g ( x )>0 i a> 0

−∞ gdy g ( x )>0 i a< 0

−∞ gdy g ( x )<0 i a> 0 + ∞ gdy g (x )< 0 i a< 0

(4)

Twierdzenie 9 (o trzech funkcjach)

Jeżeli x → xlim0f ( x )=lim

x→ x0h( x )=a

oraz f (x )≤g( x)≤h( x) w pewnym otoczeniu punktu x0

to x → xlim0g( x )=a

W przypadkach nie objętych powyższymi twierdzeniami (tzw. symbole nieoznaczone opisane w wykładzie 2) należy dokonać odpowiednich przekształceń algebraicznych, tak, aby usunąć nieoznaczoność i uzyskać warunki do zastosowania tw. 1-4,5,6.

Granice jednostronne

Niekiedy, przy obliczaniu granicy ograniczamy się (z różnych względów) do lewo- lub prawostronnego sąsiedztwa punktu skupienia x0 czyli rozważamy

x< x

0 lub x>x0 .

Obliczamy w ten sposób lewo– lub prawostronną granicę funkcji.

Definicja 13

Liczbę g nazywamy lewostronną granicą funkcji w punkcie x0, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających warunek 0> x−x0>−δ zachodzi nierówność

|f ( x )−g|<ε

.

Zatem możemy to zapisać symbolicznie:

x → xlim

0−

f ( x )= g ⇔ ∀ ε >0 ∃ δ > 0 ∀ x −δ < x−x0¿0 ⇒|f ( x )−g|< ε Definicja 14

Liczbę g nazywamy prawostronną granicą funkcji w punkcie x0

Wniosek

Jeżeli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie x0, to posiada w tym punkcie także granice jednostronne i są one równe granicy funkcji.

Twierdzenie 10

Jeżeli funkcja posiada obie granice jednostronne równe sobie, to posiada ona granicę.

Przykład

Obliczymy granicę lim

x →5

1 x−5

(5)

opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985

Cytaty

Powiązane dokumenty

Marzantowicz, Nielsen number and lower estimate for the number of solutions to a certain system of nonlinear integral equations, in: Applied Aspects of Global Analysis..

jest funk j¡ Lips hitza lokalnie, je»eli speªnia warunek Lips hitza w ka»dym punk ie

Przerabianie zada« z tej listy na ¢wi zenia h jest

Generalnie pochodne przybliżamy ilorazami różnicowymi, które konstruujemy wykorzystując rozwinięcie funkcji w

[r]

[r]

Oblicz przy±pieszenie punktu w chwili, w której jego pr¦dko±¢ jest równa

[r]