Wykład Granica funkcji
W literaturze spotykać można dwa (równoważne, co można udowodnić) podejścia do problemu zdefiniowania pojęcia granicy funkcji.
Funkcjonują mianowicie równolegle definicja Heinego i Cauchy’ego.
Definicja Heinego granicy funkcji nawiązuje wyraźnie do definicji granicy ciągu.
Definicja 8 Heinego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x0,co zapisujemy symbolicznie
x → xlim0f ( x )= g
lub
f ( x ) →
x → x0
g
jeżeli dla każdego ciągu argumentów
{
xn}
zbieżnego do x0 o wyrazach różnych od x0odpowiadający mu ciąg wartości
{
f ( xn)}
ma granicę równą gCzyli inaczej mówiąc jeśli argumenty funkcji zbliżają się do x0 .to za każdym razem obliczone dla tych argumentów wartości zbliżają się do g.
Zatem niech
f : D→Y
Wówczaslim
x → x0
f ( x )= g ⇔ ∀
{
xn}
¿D : xn¿x0 limn→+∞
xn=x0⇒ lim
n →+∞
f ( xn)=g Definicja 9 Cauchy’ego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x0, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba δ>0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających nierówność
|x−x
0|<δ
zachodzi nierówność|f ( x )−g|<ε
.Zapiszemy tę definicję bardziej formalnym językiem z użyciem odpowiedniego układu kwantyfikatorów następująco:
x → xlim0
f ( x )=g ⇔ ∀ ε >0 ∃ δ > 0 ∀ x 0<|x−x
0|¿δ ⇒|f ( x )−g|<ε
Obrazowo można powiedzieć, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0, jeżeli dla argumentów dostatecznie bliskich x0, wartości funkcji różnią się dowolnie mało od granicy g.Przykład
Spróbujmy przyjrzeć się, jak funkcjonuje definicja Heinego, wyliczając granicę funkcji
lim
x →1f ( x )= 1
x −3
Granice niewłaściwe:
Definicja 10
Funkcja f ma w punkcie x0 granicę +∞ , jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0 istnieje taka liczba δ > 0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających warunek
|x−x
0|<δ
zachodzi nierówność f ( x )> M .lim
x → x0
f ( x )=+∞ ⇔∀ . . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..
Analogicznie definiujemy granicę równą −∞ .
Granice w nieskończoności
Definicja 11 Funkcja f ma granicę równą g przy x zmierzającym do −∞ jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje P<0 takie, że dla wszystkich x spełniających
warunek x<P zachodzi nierówność
|f ( x )−g|<ε
.Zapiszemy to symbolicznie:
Analogicznie zdefiniujemy granicę funkcji przy x zmierzającym do +∞
W każdym z powyższych przypadków można podać wersję „ciągową” (Heinego) definicji.
Pozostała do zdefiniowania granica niewłaściwa przy x zmierzającym do +∞ lub do −∞
Definicja 12
Własności granic funkcji Twierdzenie 6
Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=b to: x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=a+b
x → xlim0[f ( x )−g( x )]=a−b
x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=a⋅b lim
x→ x0
f ( x) g( x)=a
b przy dodatkowym założeniu, że b≠0 Twierdzenie 7
Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=+ ∞ to x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=+∞
x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=+∞
jeżeli a>0 lub x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=−∞
gdy a<0 lim
x→ x0
f ( x ) g( x)=0
Analogicznie będziemy liczyć granicę, w przypadku, gdy x → xlim0g( x )=−∞ . Stąd:
Twierdzenie 7’
Jeżeli x → xlim0f ( x )=a i x → xlim0g( x )=−∞
To: x → xlim0[f ( x )+ g( x )]=− ∞
x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=−∞
jeżeli a>0 lub x → xlim0[f ( x )⋅g( x )]=+∞
gdy a<0
x→ xlim0 f ( x ) g( x)=0 Twierdzenie 8
Jeżeli x → xlim0f ( x )=a≠0
i x→ xlim0g( x )=0 oraz g( x)≠0 dla x≠x0
to
lim
x → x0
f ( x )
g( x )=
{
+∞ gdy g ( x )>0 i a> 0−∞ gdy g ( x )>0 i a< 0
−∞ gdy g ( x )<0 i a> 0 + ∞ gdy g (x )< 0 i a< 0
Twierdzenie 9 (o trzech funkcjach)
Jeżeli x → xlim0f ( x )=lim
x→ x0h( x )=a
oraz f (x )≤g( x)≤h( x) w pewnym otoczeniu punktu x0
to x → xlim0g( x )=a
W przypadkach nie objętych powyższymi twierdzeniami (tzw. symbole nieoznaczone opisane w wykładzie 2) należy dokonać odpowiednich przekształceń algebraicznych, tak, aby usunąć nieoznaczoność i uzyskać warunki do zastosowania tw. 1-4,5,6.
Granice jednostronne
Niekiedy, przy obliczaniu granicy ograniczamy się (z różnych względów) do lewo- lub prawostronnego sąsiedztwa punktu skupienia x0 czyli rozważamy
x< x
0 lub x>x0 .Obliczamy w ten sposób lewo– lub prawostronną granicę funkcji.
Definicja 13
Liczbę g nazywamy lewostronną granicą funkcji w punkcie x0, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0 (dobrana do ε), że dla wszystkich x≠x0 spełniających warunek 0> x−x0>−δ zachodzi nierówność
|f ( x )−g|<ε
.Zatem możemy to zapisać symbolicznie:
x → xlim
0−
f ( x )= g ⇔ ∀ ε >0 ∃ δ > 0 ∀ x −δ < x−x0¿0 ⇒|f ( x )−g|< ε Definicja 14
Liczbę g nazywamy prawostronną granicą funkcji w punkcie x0
Wniosek
Jeżeli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie x0, to posiada w tym punkcie także granice jednostronne i są one równe granicy funkcji.
Twierdzenie 10
Jeżeli funkcja posiada obie granice jednostronne równe sobie, to posiada ona granicę.
Przykład
Obliczymy granicę lim
x →5
1 x−5
opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985