OBLICZANIE PIERWSZEJ CZĉSTOĝCI DRGAē WàASNYCH SàUPÓW STALOWYCH O ZMIENNYM PRZEKROJU POPRZECZNYM

OBLICZANIE PIERWSZEJ CZSTOCI DRGA

WASNYCH SUPÓW STALOWYCH O ZMIENNYM PRZEKROJU POPRZECZNYM

CZ II. WYNIKI

Jacek Jaworski, Marta Boniecka, Marcin Nycz

Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. W pracy dla wybranych przykadów przedstawiono wyniki oblicze okresu drga wasnych supów stalowych otrzymane ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej cz ci tego artykuu. Wyniki te dotycz supa w ksztacie stoka ci tego, szczególnego przypadku wydronego stoka ci tego (rury stokowej) i ci tych ostrosupów prawi- dowych – penych i wydronych. Wyniki oblicze wasnych porównano z obliczeniami wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 i obliczeniami wykonanymi w programie komputerowym ANSYS.

Sowa kluczowe: sup stalowy, okres drga wasnych, pierwsza cz sto drga wasnych

WSTP

Do szacunkowego obliczenia obcie konstrukcji wiatrem wedug normy PN-77/

/B-02011 wymagane jest okrelenie okresu drga wasnych konstrukcji, zwizanego z pierwsz cz stoci drga. Dotyczy to mi dzy innymi stalowych supów, wie, ko- minów, które nale do konstrukcji podatnych na dynamiczne oddziaywanie porywów wiatru.

W przypadku supów w ksztacie ci tego stoka lub ci tego ostrosupa prawido- wego wygodn alternatyw wobec oblicze okresu drga, wedug zacznika 2 wyej wymienionej normy, jest skorzystanie ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej cz ci tego artykuu [Jaworski i in. 2009].

Adres do korespondencji – Corresponding author: Jacek Jaworski, Szkoa Gówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie, Wydzia Inynierii i Ksztatowania rodowiska, Katedra Budownictwa i Geodezji, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: jacek_jaworski@sggw.pl

METODYKA I ZAKRES OBLICZE

W celu pokazania moliwoci praktycznego zastosowania wzorów podanych w pierwszej cz ci tej pracy porównano wyniki uzyskane z ich wykorzystaniem z wyni- kami oblicze wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 i obliczeniami wykonany- mi w programie komputerowym ANSYS.

Do porównania wyników oblicze okresu drga wasnych wybrano supy stalowe o wysokoci H = 6 m, b dce konstrukcjami wspornikowymi utwierdzonymi w podsta- wie. rednica przy podstawie supów o ksztacie stoka wynosi D_k = 20 cm, rednica przy wierzchoku jest zmienna (rys. 2). Dla supów o ksztacie stoka wydronego (rury stokowej) rednica zewn trzna przy podstawie wynosi D_k = 20 cm, a rednice przy wierzchoku i gruboci cianek s zmienne. W kadym z tych przypadków tworzce sto- ka zewn trznego i wewn trznego przecinaj si w jednym punkcie na osi stoka (rys. 1d).

Inaczej mówic, zachowana jest staa warto ilorazu gruboci cianki i rednicy:

p k

p k

g g D  D

gdzie: g_p, D_p – grubo cianki i rednica zewn trzna przy wierzchoku supa [cm], g_k, D_k – grubo cianki i rednica zewn trzna przy podstawie supa [cm].

Dokadniej ksztaty tych supów pokazano na rysunkach 2 i 3b w pierwszej cz ci tej pracy [Jaworski i in. 2009]. Dla stali przyj to: modu Younga E = 205 GPa i g sto

 = 7850 kg·m^–3.

Wyniki oblicze dla stoka ci tego i rury stokowej (dla przypadku szczególnego, gdy tworzce stoka zewn trznego i wewn trznego przecinaj si w tym samym punkcie na osi stoka) otrzymane ze wzorów (31), (32), (59), (60), wyprowadzonych w pierwszej cz ci tego artykuu [Jaworski i in. 2009], porównano z wynikami otrzymanymi wedug schematu 1 zacznika 2 normy PN-77/B-02011 – wzór (1) z pierwszej cz ci tej pracy i z wynikami analizy modalnej wykonanej w pracujcym z wykorzystaniem MES programie komputerowym ANSYS.

Dodatkowo porównano okres pierwszej postaci drga wasnych dla supów w kszta- cie penego i wydronego stoka i penych i wydronych ostrosupów prawidowych (trójktnego, czworoktnego i szecioktnego) – wedug wzorów (68)–(70) dla przekroju kwadratowego (jak na rys. 4 z pierwszej cz ci tej pracy [Jaworski i in. 2009]) i analo- gicznie wyprowadzonych wzorów dla pozostaych przekrojów. Przekrój poprzeczny przy podstawie supów by zrónicowany, przy czym uwzgl dniono tu nast pujce przypadki:

wielokty foremne wpisane w okrg o rednicy D_k = 20 cm (rys. 1a), wielokty foremne o polu równym polu koa o rednicy D_k = 20 cm (rys. 1b), wielokty foremne opisane na okr gu o rednicy D_k = 20 cm (rys. 1c). Analogicznie, przekrój poprzeczny przy wierz- choku supów by wieloktem wpisanym, wieloktem o równym polu i wieloktem opi- sanym na okr gu o rednicy D_p.

WYNIKI OBLICZE

Supy w ksztacie ci tego stoka

Wyniki oblicze pierwszej postaci okresu drga dla stalowych supów w ksztacie

ci tego stoka o rednicy przy podstawie D_k = 20 cm i rónych wartociach rednicy przy wierzchoku (odpowiadajcych rónym zbienociom stoka) przedstawiono na ry- sunku 2. Na osi odci tych podano rednice przy wierzchoku (D_p), ale warto zauway,

e ten sam wykres mona przedstawi, przyjmujc na osi odci tych stosunek rednic

1 p

k

D

n  D lub ^k

p

n D

D . W tym ostatnim przypadku, jeli wartoci n uporzdkowa w skali liniowej lub logarytmicznej, to otrzymane zalenoci b d tworzyy krzywe o zupenie innych ksztatach.

Analizujc uzyskan ze wzorów wyprowadzonych w pierwszej cz ci tej pracy [Ja- worski i in. 2009] zaleno okresu drga (T) od rednicy (D_p), mona stwierdzi, e jest ona funkcj cig. Dla duych zbienoci stoka (maych wartoci D_p) okres drga

gwatownie ronie wraz ze wzrostem D_p. Dla maych zbienoci stoka (duych wartoci D_p) okres ronie w przyblieniu proporcjonalnie do D_p. Gdy warto D_p zblia si do D_k = 20 cm, okres drga zblia si do wartoci obliczonej ze wzorów dla walca. Na wy- kresie zaznaczono te okres drga dla supa w ksztacie walca, obliczony zgodnie z roz- wizaniem dla fali stojcej [np. Chmielewski i Zembaty 1998, Dylg i in. 2000]. Pokrywa si on praktycznie z wynikiem z programu ANSYS (rónica nie przekracza 0,25%) i jest o niecae 1,5% wi kszy od wartoci okresu obliczonego przez autorów.

a b c d

Rys. 1. Zasada tworzenia przekrojów ostrosupów prawidowych porównywanych w tej pracy:

a – wielokty foremne wpisane w okrg o rednicy D_k = 20 cm, b – wielokty foremne o polu równym polu koa o rednicy D_k = 20 cm, c – wielokty foremne opisane na okr - gu o rednicy D_k = 20 cm, d – ksztat stoka i ostrosupa prawidowego wydronego;

D_k – rednica przy podstawie supa, D_p – rednica przy wierzchoku supa, g_k – grubo

cianki przy podstawie supa, H – wysoko supa

Fig. 1. Principle of generating of transversal sections for pyramids compared in this paper:

a – regular polygons inscribed of a circle with a diameter D_k = 20 cm, b – regular poly- gons with an area equal to area of a circle with a diameter D_k = 20 cm, c – regular poly- gons circumscribed about a circle with a diameter D_k = 20 cm, d – form of a frustum of cone and tube shaped like a pyramid; D_k – diameter at column footing, D_p – diameter at column head, g_k – wall thickness at column footing, H – height

Krzywa wyznaczona wedug schematu 1 zacznika 2 do normy PN-77/B-02011 ma w zakresie rednic D_p = 10–20 cm bardzo podobny ksztat i wartoci bardzo bliskie wy- nikom z rozwizania autorów, ale wyranie odbiega od wyników oblicze wasnych dla duych zbienoci stoka (maych rednic D_p). Ksztat tej linii jest zbliony do prostej a

do D_p = 0 (czyli w caym zakresie zbienoci – od walca do stoka).

Krzywa wyznaczona przy uyciu programu ANSYS dla maych zbienoci ci tego stoka (w zakresie rednic D_p = 10–20 cm) do dobrze odpowiada dwóm pozostaym krzywym, a dla duych zbienoci stoka jej przebieg jest bliszy krzywej obliczonej wedug normy PN-77/B-02011.

Supy w ksztacie rury stokowej – przypadek szczególny, gdy L = l

Wyniki oblicze wasnych, oblicze wedug normy PN-77/B-02011 i oblicze

w programie ANSYS dla stoka wydronego i ostrosupów prawidowych wydronych porównano na rysunku 3. Uwzgl dniono cztery gruboci cianek. Im mniejsza grubo

cianki, tym mniejsza warto okresu drga. Widoczna jest dua zbieno wyników wszystkich trzech wykresów dla duych i rednich wartoci D_p, natomiast dla maych wartoci D_p okres drga obliczony za pomoc wzorów wyprowadzonych w tej pracy jest mniejszy. Ogólny charakter zalenoci okresu drga od stopnia nachylenia tworzcej stoka zewn trznego (rednicy przy wierzchoku D_p) jest dla supa w ksztacie rury sto- kowej podobny jak przy supie w ksztacie ci tego stoka (rys. 2).

Rys. 2. Porównanie wyników oblicze okresu drga wasnych stalowego supa w ksztacie ci - tego stoka o rónym stopniu nachylenia cianek: T – okres drga, D_k – rednica przy podstawie supa, D_p – rednica przy wierzchoku supa, n – stosunek rednic, H – wyso- ko supa

Fig. 2. Comparison of calculation results of natural period of steel columns in form of frustum of cone with different inclination of generating line: T – period, D_k – diameter at column footing, D_p – diameter at column head, n – diameters ratio, H – height

Niewielka rónica mi dzy wynikami oblicze wasnych i wedug normy PN-77/B- -02011 dla D_p = 20 cm bierze si std, e w schemacie 1 zacznika 2 do normy podano,

eby dla walca przyjmowa K = 1,79 (i tak obliczone wyniki zamieszczono na rysunku 3), warto za tego wspóczynnika odczytana z wykresu wynosi okoo 1,8, a obliczona z podanych w normie wzorów K = 1,774.

Porównanie uzyskanych wyników wasnych z wynikami z programu ANSYS ukazuje sytuacj podobn do opisanej w przypadku supów o ksztacie penego stoka ci te- go. Dla supa w ksztacie rury walcowej wyniki wykazuj du zgodno. Dla stoków o maej zbienoci cianki bocznej (w zakresie rednic D_p > 10 cm) wykresy maj po- dobny charakter, a rónice wynosz od 1% (dla D_p = 20 cm) do 10% (dla D_p = 10 cm).

Dla wi kszych któw nachylenia tworzcej stoka do jego osi (dla rednic D_p < 10 cm) krzywe maj róny ksztat, a wartoci okresu drga s, wraz ze zmniejszaniem si red- nicy D_p, coraz bardziej odlege od siebie.

Supy w ksztacie ostrosupów ci tych prawidowych

Wyniki oblicze okresu drga wasnych supów w ksztacie ci tego stoka i w ksztacie ostrosupów prawidowych o podstawie trójktnej, czworoktnej i szeciokt- nej porównano na rysunkach 4, 5 i 6. Rysunek 4 dotyczy supów penych, rysunki 5 i 6 supów wydronych. Grubo cianki przy podstawie (okrelona jak na rys. 1d) wy- nosi dla supów na rysunku 5: g_k = 5 cm, a na rysunku 6: g_k = 1,25 cm. Rysunki 4a, 5a i 6a dotycz ostrosupów o podstawach, b dcych wieloktami foremnymi wpisanymi Rys. 3. Porównanie wyników oblicze okresu drga wasnych stalowego supa w ksztacie wy-

dronego ci tego stoka (rury stokowej) i o rónym stopniu nachylenia i rónych gru- bociach cianek: T – okres drga, D_k – rednica przy podstawie supa, D_p – rednica przy wierzchoku supa, g_k – grubo cianki przy podstawie supa, H – wysoko supa Fig. 3. Comparison of calculation results of natural period of steel columns in form of tube

shaped like a cone with different inclination of generating lines and different wall thick- nesses: T – period, D_k – diameter at column footing, D_p – diameter at column head, g_k – wall thickness at column footing, H – height

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

Rys. 4. Okresy drga supów w ksztacie ci tego stoka i ci tych ostrosupów prawidowych o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej: a – wielokty wpisane w okrg o rednicy D_k = 20 cm, b – wielokty o polu równym polu koa o rednicy D_k = 20 cm, c – wielokty opisane na okr gu o rednicy D_k = 20 cm; T – okres drga, D_p – rednica przy wierzchoku supa

Fig. 4. Natural periods for columns shaped like frustum of cone and frustum of pyramid with triangle, square and hexagon basis: a – regular polygons inscribed of a circle with a dia- meter D_k = 20 cm, b – regular polygons with an area equal to area of a circle with a diam- eter D_k = 20 cm, c – regular polygons circumscribed about a circle with a diameter D_k = 20 cm; T – period, D_p – diameter at column head

a

c b

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0 5 10 15 20Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23

0 5 10 15 20Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

Rys. 5. Okresy drga supów w ksztacie wydronego ci tego stoka i wydronych ostrosu- pów prawidowych o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej dla g_k = 5 cm:

a – wielokty wpisane w okrg o rednicy D_k = 20 cm, b – wielokty o polu równym polu koa o rednicy D_k = 20 cm, c – wielokty opisane na okr gu o rednicy D_k = 20 cm;

T – okres drga, D_p – rednica przy wierzchoku supa, g_k – grubo cianki przy pod- stawie supa

Fig. 5. Natural periods for columns shaped like tubes in form of cone and of pyramid with tri- angle, square and hexagon basis for g_k = 5 cm: a – polygons inscribed of a circle with a diameter D_k = 20 cm, b – polygons with an area equal to area of a circle with a diameter D_k = 20 cm, c – polygons circumscribed about a circle with a diameter D_k = 20 cm;

T – period, D_p – diameter at column head, g_k – wall thickness at column footing a

c b

0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,090 0,115 0,140 0,165 0,190

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200

0 5 10 15 20

Dp [cm]

T [s]

koo circle szeciokt hexagon czworokt square trójkt triangle

Rys. 6. Okresy drga supów w ksztacie wydronego ci tego stoka i wydronych ostro- supów prawidowych o podstawie trójktnej, kwadratowej i szecioktnej dla g_k = 1,25 cm: a – wielokty wpisane w okrg o rednicy D_k = 20 cm, b – wielokty o polu równym polu koa o rednicy D_k = 20 cm, c – wielokty opisane na okr gu o rednicy D_k = 20 cm;

T – okres drga, D_p – rednica przy wierzchoku supa, g_k – grubo cianki przy pod- stawie supa

Fig. 6. Natural periods for columns shaped like tubes in form of cone and of pyramid with trian- gle, square and hexagon basis for g_k = 1,25 cm: a – polygons inscribed of a circle with a diameter D_k = 20 cm, b – polygons with an area equal to area of a circle with a diameter D_k = 20 cm, c – polygons circumscribed about a circle with a diameter D_k = 20 cm;

T – period, D_p – diameter at column head, g_k – wall thickness at column footing a

c b

w okrg rednicy Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1a. Rysunki 4b, 5b i 6b dotycz

ostrosupów o podstawach, b dcych wieloktami foremnymi o polu równym polu koa o rednicy Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1b. Rysunki 4c, 5c i 6c dotycz ostro- supów o podstawach, b dcych wieloktami foremnymi opisanymi na okr gu o rednicy Dk = 20 cm, jak pokazano na rysunku 1c. Przekroje poprzeczne przy wierzchokach su- pów byy, podobnie jak w przypadku podstawy supów, wieloktami wpisanymi, wielo- ktami o równym polu i wieloktami opisanymi na okr gu o rednicy Dp.

Dla wszystkich badanych ksztatów supów zaleno okresu drga od zbienoci

cianek bocznych ma podobny charakter. Im wi ksza zbieno cianek, tym mniejsza

rednica przekroju supa przy jego wierzchoku. Okres drga na rysunkach 4, 5 i 6 po- dano w zalenoci od rednicy Dp. Dla rednic Dp > 10 cm zaleno jest zbliona do prostej, dla Dp < 10 cm – przechodzi w krzywoliniow. Z rysunków 5 i 6 widoczna jest tendencja, e – podobnie jak na rysunku 3 – im ciesze s cianki supa wydronego, tym mniejsza jest warto okresu drga.

Porównujc supy o przekroju poprzecznym koowym i w ksztacie wieloktów o tym samym polu powierzchni (rys. 4b, 5b i 6b) widzimy, e najmniejsza warto okresu drga

wyst puje dla supów trójktnych, a mi dzy pozostaymi przypadkami rónice s bardzo niewielkie. Dla wieloktów wpisanych w okrg i opisanych na okr gu (rys. 4a, c, 5a, c i 6a, c) wyst puj natomiast wyrane rónice wyników w zalenoci od liczby boków wielokta. Doda jeszcze trzeba, e przypadek trójkta wpisanego w okrg o rednicy Dk = 20 cm i gruboci cianki gk = 5 cm oznacza w rzeczywistoci sup peny.

WNIOSKI

Z przeprowadzonych w pracy rozwaa i z porównania wyników oblicze wynikaj

nast pujce wnioski:

1. Wyprowadzone w pierwszej cz ci tej pracy [Jaworski i in. 2009] wzory na obli- czenie okresu (lub pierwszej cz stoci) drga wasnych supów pozwalaj na wykonanie oblicze dla supów w ksztacie stoka ci tego penego i wydronego (w szczególnym przypadku, gdy L = l, czyli gdy tworzce stoka wewn trznego i zewn trznego przecinaj

si w jednym punkcie na osi stoka) oraz penych i wydronych ci tych ostrosupów prawidowych.

2. Z analizy modalnej wykonanej w programie ANSYS wynika, e w zakresie bada- nych ksztatów supa wyznaczony przez program ksztat osi supa przy pierwszej postaci drga nie odbiega znacznie od przyj tej przy wyprowadzaniu wzorów linii ugi cia supa pod statycznym dziaaniem poziomej siy przyoonej do jego wierzchoka.

3. Dla supów o staym przekroju (w ksztacie walca, rury, graniastosupa prawido- wego penego i wydronego) otrzymano du zbieno wyników oblicze wasnych, oblicze wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-0201, oblicze w programie ANSYS i rozwizania dla fali stojcej.

4. Dla supów o zmiennym przekroju, w ksztacie ci tego stoka:

– w zakresie niewielkich zbienoci stoka, gdy D_p jest wi ksze od 10 cm (co od- powiada stosunkowi rednic ^{1 p} 0, 5

k

D

n D  i ktowi nachylenia tworzcej do osi stoka

 < 0,95°) wyniki oblicze wasnych i wedug zacznika 2 do normy PN-77/B-0201 oraz wyniki z programu ANSYS cechuj si znaczn zbienoci,

– w zakresie wi kszych zbienoci stoka, gdy Dp jest mniejsze od 10 cm (co odpo- wiada stosunkowi rednic ^{1 p} 0, 5

k

D

n D  i ktowi nachylenia tworzcej do osi stoka  >

0,95°) obliczenia wykonane z uyciem wzorów wyprowadzonych w tej pracy prowadz

do mniejszych okresów drga; rónica ta jest tym wyraniejsza, im bardziej warto Dp

zblia si do zera.

5. Podobn zaleno mi dzy wynikami oblicze wasnych, wedug PN-77/B-02011 i w programie ANSYS zaobserwowano take w pozostaych badanych przypadkach, to jest dla supów w ksztacie stoka wydronego, czyli rury stokowej, i w ksztacie ci - tych ostrosupów prawidowych penych i wydronych.

6. Zbieno cian bocznych ci tego stoka wydronego lub ostrosupa prawido- wego (zarówno penego, jak i wydronego) ma istotny wpyw na cz sto drga supa.

Im wi ksza zbieno, tym mniejsza warto okresu drga. Doda tu naley, e wszystkie badane w tej pracy supy charakteryzoway si ma zbienoci cian bocznych, kt na- chylenia tworzcej do osi stoka lub ostrosupa by zawsze mniejszy od 2°.

7. Uzyskane wykresy pozwalaj na okrelenie wpywu na okres drga rónych ele- mentów ksztatu supa, takich jak zbieno cianek stoka lub ostrosupa, grubo cia- nek czy ksztat wielokta tworzcego przekrój poprzeczny supa.

8. Podany w pracy sposób obliczania pierwszej cz stoci drga wasnych nadaje si do zastosowania dla konstrukcji o cigym rozkadzie mas, dla których zaleno mo- mentu bezwadnoci przekroju od wysokoci jest opisana funkcj cig. W wi kszoci przypadków konstrukcji wieowych wyst puj jednak masy skupione i wtedy obliczenia trzeba prowadzi, dzielc konstrukcj na skoczon liczb elementów. Dotyczy to take stalowych wie kratowych o zbienych liniowo kraw nikach o staym przekroju [Ja- worski i Zadrony 2008], w których mona w uproszczeniu przyj, e warto momentu bezwadnoci trzonu wiey jest proporcjonalna do kwadratu wysokoci.

Podzi kowanie

Autorzy skadaj serdeczne podzi kowanie dr. Janowi Grudziskiemu za wykonanie oblicze w programie komputerowym ANSYS.

PIMIENNICTWO

Chmielewski T., Zembaty Z., 1998. Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warszawa.

Dylg Z., Jakubowicz A., Oro Z., 2000. Wytrzymao materiaów. T. 2. WNT, Warszawa.

Jaworski J., Zadrony M., 2008. Obliczanie pierwszej cz stoci drga wasnych wie kratowych o zbienych liniowo kraw nikach. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 7 (1), 3–17.

Jaworski J., Boniecka M., Nycz M., 2009. Obliczanie pierwszej cz stoci drga wasnych supów stalowych o zmiennym przekroju poprzecznym. Cz  I. Wyprowadzenie wzorów. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 8 (1–2), 3–20.

PN-77/B-02011 Obcienia w obliczeniach statycznych. Obcienia wiatrem.

CALCULATION OF FIRST NATURAL FREQUENCY OF STEEL COLUMNS WITH VARIABLE CROSS-SECTIONS PART II. RESULTS

Abstract. Results of calculations of the natural period of steel columns, determined us- ing formulas developed in the rst part of this paper, are presented for selected examples.

Results concern columns in form of frustum of cone, special case of a tube shaped like a cone and frustum of regular pyramid. Results of calculations were compared with calcula- tions according to the PN-77/B-02011 standard and calculations by the computer program ANSYS.

Key words: steel column, post, natural period, rst natural frequency

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 21.12.2009