Obliczy¢ caªki: a) R (x3−1)x 2 dx b) R 8−x2−√√xxdx c) R 333xx+1+1dx c) R sin22 dxx cos2x d) R √ 1 + sin 2x dx e) R tgh2x dx Zadanie 2

I seria zada« z matematyki IIA 17 lutego 2004 r.

Zadanie 1.

Obliczy¢ caªki:

a) ^{R (x3−1)}_x ² dx b) ^{R 8−x}₂₋^√√_x^xdx c) ^{R 3}₃^3xx+1⁺¹dx c) ^R _sin^{22 dx}_{x cos}2x

d) ^R √

1 + sin 2x dx e) ^R tgh²x dx Zadanie 2.

Wykorzystuj¡c caªkowanie przez podstawienie i przez cz¦±ci, obliczy¢ caªki ( a 6= 0):

a) ^{R √5x}_x²3^dx+5

b) ^{R (ln x)}_x ² dx c) ^R _(1+x2^dx)arctg x

d) ^R x²arcsin x dx e) ^{R √}_1+x−x^{x dx} 2

f) ^R(^{ln x}_x )³dx g) ^{R √}_ax2^dx+bx+c

h) ^R √

x²+ a²dx i)^R √

x²− a²dx j) ^R x√

x⁴+ x²+ 1 dx k) ^R arcsin^x_adx l)^R arctg^x_adx Zadanie 3.

Wykorzystuj¡c caªkowanie przez cz¦±ci, wyprowadzi¢ wzory rekurencyjne ( n = 1, 2, ...):

a) ^R xⁿe^xdx = xⁿe^x− n^R xⁿ⁻¹e^xdx

b) ^R(ln x)ⁿdx = x(ln x)ⁿ− n^R(ln x)ⁿ⁻¹dx c) ^R xⁿsin x dx =−xⁿcos x + n^R xⁿ⁻¹cos x dx d) ^R xⁿcos x dx = xⁿsin x− n^R xⁿ⁻¹sin x dx

e) ^R sinⁿx dx =−¹_nsinⁿ⁻¹x cos x + ⁿ⁻¹_n ^R sinⁿ⁻²x dx