ZESTAW 3:
Wprowadzamy bardzo wygodną notację (K.E. Iverson):
[warunek] = 1 jeśli, warunek ma wartość logiczną prawda 0 jeśli, warunek ma wartość logiczną fałsz A teraz zadania:
1. Proszę uprościć wyrażenie x · ([x > 0] − [x < 0]).
2. Proszę wypisać wszystkie wyrazy sum X
0≤k≤5
ak i X
0≤k2≤5
ak2
(uwaga na drugą sumę!).
3. Jaka jest wartość sumy
X
k
[1 ≤ j ≤ k ≤ n]
4. Proszę zapisać potrójną sumę
X
1≤i<j<k≤4
aijk jawnie z trzema znakami sumowania
(a) sumując najpierw względem k, potem względem j, na końcu względem i;
(b) sumując najpierw względem i, potem względem j, na końcu względem k.
Następnie w każdym z tych przypadków proszę wypisać tę sumę wyraz po wyrazie i za pomocą nawiasów pokazać co i w jakiej kolejności jest sumowane.
5. Proszę obliczyć sumę Pn
k=0Hk zaburzając sumę Sn = Pn
k=0k Hk. (Zaburzając - czyli przyrównując sumę Sn+1 zapisaną na 2 sposoby: (a) wyłaczając z sumy Sn+1
pierwszy wyraz, (b) wyłaczając z sumy Sn+1 ostatni wyraz). Hn oznacza sumę harmoniczną:
Hn = X
1≤k≤n
1 n Ile wynosi H0?
6. Proszę wyrazić sumę
X
1≤k≤n
1 k+ 1 przez Hn. Wskazówka: zmienić indeks sumowania.
7. Proszę obliczyć sumę Pn
k=1k2k wyrażając ją jako sumę podwójnąPn k=1
Pk
j=12k, a następnie zmieniając kolejność sumowań.
Systematyczne omówienie metod sumowania można znaleźć w książce R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, rozdział 2.
