Asymptotyczne wªasno±ci estymatorów
Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ na przestrzeni próbkowej Xn, za± {Pθ : θ ∈ Θ}b¦dzie rodzin¡ rozkªadów prawdopodobie«stwa na Xn.
Twierdzenie (Mocne Prawo Wielkich Liczb). Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem nie- zale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Je»eli E|X1| < ∞, to
X1+ . . . + Xn n
n→∞−→ EX1, P-prawie wsz¦dzie.
De nicja 1. Estymator ˆg(X) wielko±ci g(θ) jest mocno zgodny, je»eli
∀θ∈Θ g(X) −→ˆ p.w.g(θ), n → ∞, czyli dla ka»dego θ ∈ Θ mamy
Pθ
n→∞lim g(X) = g(θ)ˆ
= 1.
Twierdzenie (Centralne Twierdzenie Graniczne). Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie, wspólnej i sko«czonej warto-
±ci oczekiwanej EX1 oraz wspólnej, sko«czonej i dodatniej wariancji V arX1. Wówczas dla n → ∞ zachodzi nast¦puj¡ca zbie»no±¢ wg rozkªadu
X1+ X2+ . . . + Xn− n · EX1
pn · V ar(X1) −→d Y ∼ N (0, 1)
De nicja 2. Estymator ˆg(X1, . . . , Xn)wielko±ci g(θ) jest asymptotycznie normalny, je»eli
∀θ∈Θ ∃σ2(θ) √
n(ˆg(X1, . . . , Xn) − g(θ)) −→dN (0, σ2(θ)), n −→ ∞,
tzn. rozkªad statystyki ˆg(X1, . . . , Xn)jest (dla du»ych n) zbli»ony do rozkªadu N(g(θ),σ2n(θ)). Ozn. ˆg(X) ∼ AN(g(θ),σ2n(θ)). Wielko±¢ σ2n(θ) nazywamy asymptotyczn¡ wariancj¡ esty- matora ˆg(X1, . . . , Xn).
Twierdzenie (Metoda delta) Je»eli dla ci¡gu zmiennych Tn mamy √
n(Tn− µ) −→d N (0, σ2)przy n −→ ∞ i h : R −→ R jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w punkcie µ, to
√n (h(Tn) − h(µ)) −→dN (0, σ2· (h0(µ)2).
