Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa - zadania do samodzielnego

Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa - zadania do samodzielnego

rozwi¸ azania

Zad. 11.1 Z partii kondensator´ow wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemno´sci otrzymuj¸ac (w pF): 4,45 4,40 4,42 4,38 4,44 4,36 4,40 4,39 4,45 4,35 4,40 4,36.

(a) Znajd´z oszacowanie nieznanej warto´sci przeci¸etnej pojemno´sci kondensatora pochodz¸acego z danej partii.

(b) Znajd´z nieobci¸a˙zone oszacowanie wariancji pojemno´sci tych kondensator´ow.

Zad. 11.2 Zmienne losowe X₁, . . . , X_n maj¸a rozk lad o tej samej warto´sci oczekiwanej EX_i = a, i = 1, . . . , n. Wyka˙z, ˙ze estymatory postaci

T = a₁X₁+ · · · + a_nX_n a₁+ · · · + a_n ,

n

X

i=1

a_i 6= 0, a_i ∈ R,

s¸a nieobci¸a˙zonymi estymatorami parametru a.

Zad. 11.3 Niech X₁, X₂, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu o g¸esto´sci f (x) = _2a¹ sin ^x_a
1_(0,aπ)(x).

Wyka˙z, ˙ze ˆan = _π² x¯n jest zgodnym i nieobci¸a˙zonym estymatorem parametru a.

Zad. 11.4 Rozwa˙zmy estymator

θ(xˆ 1, . . . , xn) = 1 − 1 n

n

X

i=1

1(0,1)(xi)

parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozk ladzie E(λ).

(a) Czy ˆθ jest zgodnym ci¸agiem estymator´ow parametru θ?

(b) Oblicz ryzyko estymatora ˆθ w punkcie θ.

Zad. 11.5 Zmienna losowa X ma rozk lad o g¸esto´sci f (x) = _p²2 x1_[0,p)(x). Dla pr´oby n- elementowej przyj¸eto, ˙ze ˆθ = ¯X² + ¯X jest estymatorem parametru θ = ²₃p(²₃p + 1).

Czy jest to estymator asymptotycznie nieobci¸a˙zony?

Zad. 11.6 Niech ˆp_n : R → R,

ˆ

p_n(x₁, . . . , x_n) = 1 n

n

X

i=1

1{1}(x_i).

Poka˙z, ˙ze {ˆp_n} jest mocno zgodnym ci¸agiem estymator´ow parametru p rozk ladu geometrycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Oblicz ryzyko estymatora ˆp_n w punkcie p ∈ (0, 1).

Zad. 11.7 Niech X₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a losow¸a prost¸a z rozk ladu wyk ladniczego z parametrem λ. Czy

λ : Rˆ ⁿ→ R, λ(xˆ ₁, . . . , x_n) = ¯x − x₍₁₎,

gdzie x₍₁₎ = min(x1, . . . , xn) jest asymptotycznie nieobci¸a˙zonym estymatorem warto´sci oczekiwanej?

Zad. 11.8 Rozwa˙zmy estymator ˆθ_n : Rⁿ→ R,

θˆ_n(x₁, . . . , x_n) = exp(−x₁+ · · · + x_n

n ).

Uzasadnij, ˙ze {ˆθ_n}_n∈N jest mocno zgodnym ci¸agiem estymator´ow parametru θ = P (X = 0), gdzie X ∼ P (λ).

Zad. 11.9 Niech X₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu normalnego N (a, σ²). Do- bierz sta l¸a k tak, aby estymator

T = k

n−1

X

i=1

(X_i+1− X_i)²

by l nieobci¸a˙zonym estymatorem parametru σ².

Zad. 11.10 Niech X₁, . . . , X_nb¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu jednostajnego U (0, a). Czy estymatory

T₁ = n + 1

n X_(n), T₂ = n

n − 1X_(n) parametru a s¸a

(a) nieobci¸a˙zone,

(b) asymptotycznie nieobci¸a˙zone?

Zad. 11.11 Niech X1, . . . , Xn b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu gamma G(α, λ) o g¸esto´sci f (x) = λ^α

Γ(α) x^α−1e^−λx1_(0,∞)(x),

gdzie α jest znane, a λ nie znane. Udowodnij, ˙ze je´sli nα > 2, to statystyka T = nα − 1

n¯x

jest nieobci¸a˙zonym i zgodnym estymatorem parametru λ.