MODEL MATEMATYCZNY ZAGREGOWANEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO W CYFROWYCH SYMULATORACH PRACUJĄCYCH W CZASIE RZECZYWISTYM

__________________________________________

* Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy.

Sławomir CIEŚLIK*

MODEL MATEMATYCZNY ZAGREGOWANEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO W CYFROWYCH SYMULATORACH PRACUJĄCYCH

W CZASIE RZECZYWISTYM

W artykule przedstawiono koncepcję modelu matematycznego zagregowanego elementu układu elektrycznego stosowanego w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym. W tego typu symulatorach, oprócz odpowiedniej dokładności wyników, ważny jest czas obliczeń. Zastosowanie proponowanego modelu wraz z dekompozycją modelu układu elektrycznego na potrzeby obliczeń równoległych zmniejsza liczbę równań w układzie rozwiązywanym w każdym kroku całkowania. Wymiernym efektem tego jest uzyskanie wyników w krótszym czasie.

1. WSTĘP

Problemy dotyczące modelowania matematycznego układów elektrycznych należą do grupy zagadnień numerycznych charakteryzujących się dużą intensywnością arytmetyczną. Jest ona definiowana [5] jako stosunek czasu na wykonanie operacji arytmetycznych w programie do czasu na transfer danych do i z pamięci operacyjnej. Właśnie dla tego typu zagadnień możliwe jest wykorzystanie procesorów graficznych (GPU) [3]. Zatem celowe jest poszukiwanie efektywnych sposobów podziału procesu obliczeniowego na zadania realizujące te same operacje dla różnych danych.

System pracujący w czasie rzeczywistym rozumiany jest jako cyfrowa platforma komputerowa, w której wyniki obliczeń zależą nie tylko od danych generowanych przez otoczenie, ale również od upływu czasu. Bazując na standardach IEEE [4, 6], można zdefiniować pojęcie symulatora działającego w czasie rzeczywistym jako platformę cyfrową, w której obliczenia wykonywane są współbieżnie z procesem zewnętrznym (otoczenie) w celu sterowania, nadzoru lub terminowego reagowania na zdarzenia występujące w tym procesie.

Specyfiką pracy symulatorów pracujących w czasie rzeczywistym jest wymiana danych z otoczeniem, która odbywa się w ściśle określonych chwilach. Zakłada się, że wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych są w określonych chwilach

„zatrzaskiwane” w jednostkach pamiętających. Wymiana danych z otoczeniem odbywa się zgodnie z taktowaniem zegara sterującego z określoną stałą częstotliwością, zwaną częstotliwością wymiany danych pomiędzy symulatorem i otoczeniem. Z częstotliwości tej bezpośrednio wynika kwant czasu pracy symulatora. Obliczenia numeryczne w symulatorze w rzeczywistości muszą być wykonywane w czasie krótszym od kwantu czasu pracy tego symulatora, aby umożliwić terminowe reagowanie na zdarzenia. W związku z tym wprowadza się pojęcie programowego kroku całkowania równań różniczkowych, z którym są rozwiązywane równania występujące w modelu matematycznym. Symulator działa skutecznie pod względem terminowego reagowania na zdarzenia wtedy, gdy równania modelu matematycznego układu elektrycznego całkowane z określonym programowym krokiem rozwiązywane są w rzeczywistości w czasie krótszym od przyjętego kwantu czasu pracy tego symulatora.

Zagadnienia związane z obwodowymi modelami matematycznymi układów elektrycznych w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym przedstawiono w rozprawie [2]. W niniejszym artykule zaprezentowano model matematyczny zagregowanego elementu układu elektrycznego, który wraz z dekompozycją modelu tego układu na potrzeby obliczeń równoległych zmniejsza liczbę równań w matematycznym układzie rozwiązywanym w każdym kroku całkowania. Wymiernym efektem tego jest uzyskanie wyników w krótszym czasie.

2. MODEL MATEMATYCZNY ZAGREGOWANEGO LINIOWEGO TRÓJFAZOWEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO [2]

Zagregowany liniowy trójfazowy element strukturalny jest to połączenie przynajmniej dwóch podstawowych liniowych trójfazowych elementów strukturalnych, w którym w sposób jawny wyróżnione są wewnętrzne węzły obwodu elektrycznego (węzeł jako połączenie minimum trzech gałęzi). Celem praktycznym tworzenia zagregowanych elementów strukturalnych jest zmniejszenie liczby węzłów w analizowanym układzie elektrycznym, a tym samym zmniejszenie liczby równań w rozwiązywanych numerycznie równaniach.

Na rysunku 1 przedstawiono schemat liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL w postaci trójbiegunnika.

Liniowy trójfazowy zagregowany element strukturalny typu RL+RL składa się z połączenia dwóch liniowych trójfazowych elementów strukturalnych typu RL.

Dla odróżnienia samych elementów, ich parametrów oraz wielkości fizycznych z nimi związanych zastosowano oznaczenia: element RLx oraz RLy. Element zagregowany, jego parametry oraz wielkości fizyczne oznaczono symbolem RLz.

Wewnątrz elementu RLz wyróżniono trzy węzły: 1w, 2w i 3w.

Dla przykładu wyprowadzony jest dyskretny model liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL (rys. 1) stowarzyszony z interpolacyjnym algorytmem Eulera.

R_Ay LAy

i1

1

4 RAx

LAx

1

4 1

i1x

i1y

R_By LBy

i2

2

5 RBx

LBx

2

5 2

i2x

i2y

R_Cy LCy

i3

3

6 RCx

LCx

3

6 3

i3x

i3y RLx

RLy

RLxy

Rys. 1. Schemat liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL w postaci trójbiegunnika [2]

Równanie wektorowe dla elementu RLy, z uwagi na zewnętrzne (względem elementu RLy) połączenie węzłów (układ trójkąta), zapisano:

0



 _{RLy w RLy}

RLy A v B

i , (1)

gdzie: iRLy



i1RLy i2RLy i3RLy



^T – wektor prądów gałęzi elementu RLy,



_{1w 2w 3w}



^T

w  v v v

v – wektor potencjałów węzłów wewnętrznych elementu RLz,





























CRLy CRLy

BRLy BRLy

ARLy ARLy

RLy

0 0

0













A – macierz, której elementy _RLy

wyznacza się z zastosowaniem wzoru



1 ζES



¹

ζES ζES

 



 R h L

 ,



ARLy BRLy CRLy



^T

RLy   

B – wektor, którego elementy _RLy wyznacza

się z zastosowaniem wzoru



ζES ES

 

n



ζES 1

ζES h^ L i_k t

 .

Równanie wektorowe dla elementu RLx, z uwagi na bezpośrednie wyprowadzenie gałęzi na zewnątrz zagregowanego elementu RLz



ⁱ_1RLz^i_1RLx ^,

2RLx 2RLz i

i  , i_3RLzi_3RLx



, zapisano:

0







 _{RLx RLz RLx w RLx}

RLz a v a v B

i , (2)

gdzie: i_RLz



i_1RLz i_2RLz i_3RLz



^T – wektor prądów gałęzi zewnętrznych zagregowanego elementu RLz,



_{1RLz 2RLz 3RLz}



^T

RLz  v v v

v – wektor potencjałów węzłów zewnętrznych

zagregowanego elementu RLz,



_{ARLx BRLx CRLx}



RLx diag , ,

a – macierz, której elementy _RLx wyznacza się z zastosowaniem wzoru



1 ζES



¹

ζES ζES

 



 R h L

 ,



_{ARLx BRLx CRLx}



^T

RLx    

B – wektor, którego elementy _RLx wyznacza

się z zastosowaniem wzoru



ζES ES

 

n



ζES 1

ζES h^ L i_k t

 , z uwzględnieniem, że

RLx RLz i i  .

Na podstawie I prawa Kirchhoffa zapisano równanie:

0



 _{wRLz RLy}

RLz P i

i , (3)

gdzie





























1 1 0

0 1 1

1 0 1

PwRLz – macierz incydencji wewnętrznych połączeń zagregowanego elementu RLz.

Po przekształceniach równań (1), (2) oraz (3) otrzymano następujące zależności do wyznaczania wartości macierzy A_RLz oraz wektora B_RLz w zewnętrznym równaniu i_RLzA_RLzv_RLzB_RLz 0 liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego (rys. 1):

RLy wRLz

RLz HP A

A  ,



1 RLx RLy



RLx RLy wRLz

RLz HP A a B B

B  ^  , (4)

gdzie



wRLz RLy RLx¹



¹

  

 P A a 1

H .

Wartości prądów elementu strukturalnego RLy oblicza się ze wzoru:

 



1 RLz RLx RLz



RLy

RLx RLy

RLy A a i B v B

i  ^    . (5)

Wektor potencjałów węzłów wewnętrznych zagregowanego elementu strukturalnego RLz wyznacza się, przekształcając równanie (2)



_{RLz RLx}



_RLz

1 RLx

w a i B v

v  ^   . (6)

Przykład modelu matematycznego tranzystorowego przekształtnika z kondensatorem i trójfazowym dławikiem, jako trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego (trójbiegunnika elektrycznego), przy zastosowaniu modelowania matematycznego z elementami RLC, przedstawiono w pracy [1].

3. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA MODELU ZAGREGOWANEGO TRÓJFAZOWEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO

Na rysunku 2 przedstawiono schemat zastępczy przykładowego układu elektrycznego. Modelowany układ elektryczny składa się z połączenia dwudziestu pięciu elementów strukturalnych ES1 – ES25. Przy tak wyodrębnionych elementach strukturalnych w analizowanym układzie elektrycznym występuje w sposób jawny 39 węzłów.

Każdy sześciobiegunnik posiada sześć węzłów zewnętrznych, teoretycznie każdy ma inną wartość potencjału elektrycznego oraz trzy prądy zewnętrzne (odpowiednie pary węzłów zewnętrznych wielobiegunników połączone są jedną gałęzią). W dwóch elementach strukturalnych (ES24 i ES25) występują po dwie zmienne na jedną fazę, a w pozostałych 23 elementach po jednej zmiennej na fazę.

W analizowanym układzie elektrycznym występuje zatem 81 zmiennych, których wartości muszą być obliczane w każdym kroku całkowania.

Zadaniem jest skonstruowanie symulatora do badania stanów przejściowych i ustalonych w przykładowym układzie elektrycznym (rys. 2), który ma współpracować z rzeczywistymi urządzeniami zewnętrznymi. Z uwagi na to ostatnie określa się wartość kwantu czasu pracy symulatora równą 0,2 ms. Z tego wynika wartość programowego kroku całkowania równań występujących w modelu matematycznym układu również równa 0,2 ms. Chociaż można przyjąć, że możliwe jest wykonywanie obliczeń z programowym krokiem całkowania mniejszym niż kwant czasu pracy symulatora. Wówczas w jednym kwancie czasu pracy symulatora wykona się k kroków całkowania z h równym kwantowi czasu pracy symulatora podzielonym przez k. W praktyce, jeżeli taka sytuacja jest możliwa, odpowiednio zmniejsza się kwant czasu pracy symulatora.

Badania eksperymentalne modelu matematycznego przykładowego układu elektrycznego wykonywane były na platformie cyfrowej (platforma nr 1) opartej na komputerze osobistym z sześciordzeniowym procesorem Intel® Core™ i7 970 @ 3,20 GHz, 1597 MHz (pamięć fizyczna 6,00 GB, dostępna pamięć fizyczna 4,51 GB, całkowity rozmiar pamięci wirtualnej 12,0 GB, dostępna pamięć wirtualna 10,3 GB). Wykorzystano klasyczny 64-bitowy system operacyjny Microsoft Windows 7 Professional (6.1.7601 Service Pack 1).

Wyniki eksperymentów z zastosowaniem zagregowanego modelu matematycznego elementu strukturalnego oznaczonego symbolem ES78, który zastępuje dwa elementy strukturalne ES7 i ES8 (rys. 2) przedstawiono na rys. 3.

Zastosowanie zagregowanego elementu strukturalnego ma na celu przeniesienie określonych węzłów układu elektrycznego do wewnątrz zagregowanego elementu strukturalnego, co w efekcie prowadzi do zmniejszenia liczby równań do rozwiązania i przyspieszenia obliczeń. Potwierdzają to wyniki eksperymentu przedstawione na rys. 3.

ES 4

1 2 3 4 5 6

ES 5

1 2 3 4 5 6

ES 1

1 2 3 4 5 6

ES 3

1 2 3 4 5 6

ES 6

1 2 3 4 5 6

ES 7

1 2 3 4 5 6

ES 8

1 2 3 4 5 6

ES 9

1 2 3 4 5 6

ES 15

1 2 3 4 5 6

ES 14

1 2 3 4 5 6

ES 13

1 2 3 4 5 6

ES 20

1 2 3 4 5 6

ES 17

1 2 3 4 5 6

ES 23

4 5 6 1 2 3

ES 24

4 5 6 1 2 3

ES 25

4 5 6 1 2 3

ES 2

1 2 3 4 5 6

ES 10

1 2 3 4 5 6

ES 11

1 2 3 4 5 6

ES 12

1 2 3 4 5 6

ES 18

1 2 3 4 5 6

ES 21

1 2 3 4 5 6

ES 22

1 2 3 4 5 6

ES 16

1 2 3 4 5 6

ES 19

1 2 3 4 5 6

v36

v37

v38

v1

v2

v3

v4

v5 v6

v7

v8

v9 v10

v11 v12 v13

v14

v15 v16

v17

v18

v19

v20

v21

v22

v23

v24

v25

v26 v27

v28

v29

v30

v31 v32

v33 v34 v35

Rys. 2. Schemat zastępczy analizowanego układu elektrycznego [2]

Rys. 3. Czas wykonania fragmentu obliczeń w jednym kroku całkowania w symulatorze stanów przejściowych układu elektrycznego (rys. 2) z zastosowaniem modelu zagregowanego

elementu ES78 [2]

4. WNIOSEK

Pokazano na przykładzie liniowego trójfazowego elementu strukturalnego możliwość konstruowania zagregowanego modelu matematycznego jako połączenie przynajmniej dwóch podstawowych elementów strukturalnych, w którym w sposób jawny wyróżnione są wewnętrzne węzły obwodu elektrycznego (w tej sytuacji węzeł jest traktowany jako połączenie minimum trzech gałęzi).

Wykazano, że użycie zagregowanego modelu powoduje przeniesienie określonych węzłów układu elektrycznego do wewnątrz elementu strukturalnego, co przy zastosowaniu obliczeń równoległych skróci czas otrzymywania wyników dla całego układu elektrycznego.

LITERATURA

[1] Cieślik S., Modelowanie matematyczne i symulacja układów elektroenergetycznych z generatorami indukcyjnymi. Wyd. Uczelniane Uniwersytetu Technologiczno-Przyrodniczego, Bydgoszcz 2008.

[2] Cieślik S., Obwodowe modele układów elektrycznych w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym. Wyd. Politechn. Poznańskiej 2013.

[3] Drechny M., Możliwości zastosowania obliczeń równoległych w elektroenergetyce.

Rynek Energii, nr 4 (101), 2012, s. 66–70.

[4] Glossary of Software Engineering Terminology. IEEE/ANSI Standard 729, 1983.

[5] Karbowski A., Niewiadomska-Szynkiewicz E. (red.), Programowanie równoległe i rozproszone. Warszawa, Oficyna Wyd. Politechn. Warszawskiej 2009.

[6] Standard Computer Dictionary, IEEE Std 610, 1990.

MATHEMATICAL MODEL OF INTEGRATED UNIT OF ELECTRIC POWER SYSTEM IN REAL-TIME DIGITAL SIMULATORS

This paper presents the concept of a mathematical model of a theintegrated unit of the electrical power system used in real-time digital simulators. In this type of simulators, in addition to adequate accuracy of the results, it is important computation time. The use of the proposed model with the decomposition of the electrical system model for parallel computing reduces the number of equations in the system, whith is solved at each step of integration. Measurable effect of this is to obtain results in less time.