Pęd ciała i układu ciał Zasada zachowania pędu

Pęd ciała i układu ciał Zasada zachowania pędu

Zderzenia

Pęd ciała

V m p

r r

=

Pęd =iloczyn masy ciała i jego prędkości.

Pęd jest wektorem skierowanym zgodnie z wektorem prędkości

i p_x

r j

p_y

r V

r

z z

y y

x

x

mV p mV p mV

p = , = , =

Pęd układu ciał

Jest równy sumie wektorowej pędów wszystkich ciał wchodzących w skład układu

gdzie F_zw-suma wektorowa wszystkich sił zewnętrznych

działających na ciała wchodzące w skład układu

zw u

t

u

F

t p dt

p

d r r r

∆ =

= ∆

→

∆

lim

Związek pędu układu z wypadkową siłą

Zasada zachowania pędu dla układu ciał

Kiedy F _zw = 0 r

to const p

p

i

i

u = ∑ ^r =

r

0

zwx

= F

Gdy ⁼

∑

i

ix

ux p const to p

Przedstawione relacje dotyczące pędu obowiązują w układach zamkniętych nie wymieniających materii z otoczeniem

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru to całkowity pęd układu nie ulega zmianie

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych ma wzdłuż pewnej osi (np.

Ox) składową równą zeru to składowa pędu wzdłuż tej osi nie ulega zmianie

Zasada zachowania pędu

konc

VS_,

r

konc

VK_,

r

konc

VK_,

r

Zasada zachowania pędu

Ze strzelby o masie m_S=3kg wystrzelono poziomo kulę o masie m_K=5g z prędkością o wartości V_K,konc=300m/s.

Określić prędkość odrzutu strzelby V_S

,

0

,

,_konc

=

+

=

u

m V m V

p

r r r

,

0

,

,_pocz

=

+

=

u

m V m V

p

r r r

,

0

, _pocz

=

=

u

p

p r r

konc S

S konc

K

K

V m V

m

r r

−

=

S

konc K

K konc

S

m

V V

m

r r

−

=

konc

VK_,

r

konc

VS_,

r

mK

mS

, 0

,_pocz = _{s pocz} =

K V

V

r r

Wartość prędkości odrzutu strzelby

s m s

m kg

s kg m

m V V m

S

konc K

K konc

S

500 10 0 , 5

3

300

* 10

* 5

3 3

,

,

= = = ⋅

=

−

Zwrot prędkości strzelby przeciwny do

zwrotu prędkości kuli

W trakcie zderzenia ciała zderzające się oddziałują na siebie dużymi siłami w krótkim czasie co prowadzi do zmiany pędu pojedynczych ciał W trakcie zderzenia zmiana p^ędu układu zderzających się ciał

zaniedbywalnie mała gdyż siły zewnętrzne są pomijalnie małe w

stosunku do sił jakimi działają na siebie ciała wchodzące w skład układu, a czas zderzenia jest bardzo krótki. Wynika z tego też to iż w trakcie

zderzenia pęd układu jest zachowany a także prędkość środka masy układu nie ulega zmianie w trakcie zderzenia

Zderzenia

pr₁p

pr₁k

pr₂k

pr₂p

m1

m1

m2

m2

k k

p

p

p p p

p r

r

r

r

+

= +

k k

p

p

m V m V m V

V

m

r r

r r

+

=

+

Zderzenia centralne i niecentralne

Zderzenia centralne -wszystkie ciała uczestniczące w zderzeniu zarówno przed jak i po zderzeniu poruszają się wzdłuż tej samej prostej

Zderzenia niecentralne – prędkości zderzających się ciał przed lub po

zderzeniu nie są do siebie równoległe i antyrównoległe

przed po

V₁p

r

V₁k

r

V₂k

r V₂p

r

m₁ m₂ m₁ m₂

Przed zderzeniem Po zderzeniu

V₁p

r

V₁k

r

V₂k

r V₂p

r

m₁ m₂ m₁ m₂

Przed zderzeniem Po zderzeniu

Zderzenia sprężyste i niesprężyste

Zderzenia sprężyste –

zderzenia w których obowiązuje zasada zachowania energii mechanicznej (równej energii kinetycznej zderzających się ciał).

Np. zderzenie kul bilardowych

Same zasady zachowania pędu i energii pozwalają na określenie ruchu ciał po zderzeniu sprężystym gdy znamy ich ruch przed zderzeniem jedynie w przypadku gdy zderzenie są centralnie

W innym przypadku musimy dysponować

dodatkowymi informacjami dotyczącymi zderzenia Zderzenia niesprężyste –zderzenia w których

energia mechaniczna nie jest zachowana np.

zderzenie samochodów ulegających

odkształceniu w trakcie zderzenia . Część

energii mechanicznej ulega zmianie na energie wewnętrzną zderzających się ciał i otoczenia

przed po

M.Winokur

Zasady zachowania pędu pozwala na określenie ruchu ciał po zderzeniu niesprężystym w oparciu o znajomość ich ruchu przed zderzeniem jedynie w przypadku gdy w trakcie zderzenia ciała łączą się ze sobą (zderzenie jest doskonale (idealnie) niesprężyste)

Zderzenia sprężyste ciał

V₁p

r ^{V1k =[V1kx,V1ky] = ?} r

? ]

, [

2_k

= V

V

= V

r

V₂p

r m1

m1

m2

m2

x y

Zasada zachowania pędu ( w przestrzeni

dwuwymiarowej 2 równania)

k k

p

p m V mV m V

V

m_{1 1 2 2 1 1 2 2} r r

r r

+

= +

Zasada zachowania energii kinetycznej (1 równanie)

2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1V p m V p mV k m V k

m + = +

Informacja o ruchu ciał przed zderzeniem niewystarczająca do opisu ich ruchu po zderzeniu gdy zderzenie jest niecentralne ( ciała nie poruszają się wzdłuż tej samej prostej)

kx kx

px

px m V mV m V

V

m_{1 1} + _{2 2} = _{1 1} + _{2 2}

ky ky

py

py m V mV m V

V

m_{1 1} + _{2 2} = _{1 1} + _{2 2}

m₁,m₂-masy ciał

Zderzenia sprężyste ciał centralne

( wszystkie ciała poruszają się po linii prostej)

V₁p

r

V₁k

r

V₂k

r V₂ p

r

m₁ m₂ m₁ m₂

Przed zderzeniem Po zderzeniu

V_1p,V_2p,V_1k,V_2k --x-owe (jedyne niezerowe) składowe wektora prędkości ( mogące przyjmować wartości dodatnie lub ujemne)

k k

p

p

m V m V m V

V

m

+

=

+

2 2

2 2

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1

V

m V

m V

m V

m + = +

x

( zasada zachowania pędu) ( zasada zachowania energii)

i r

1 i = r

p p

k

V

m m

V m m m

m

V m

2 1

2 1

2 1

2 1

1

2 + +

+

= −

V

m m

m V m

m m

V m

2 1

1 2

1 2 1

1 2

2

+ + −

= +

Znając prędkości ciał przed zderzeniem można określić w oparciu o zasady zachowania prędkości ciał po zderzeniu

Zderzenia doskonale (całkowicie) niesprężyste ciał (w trakcie zderzenia ciała się łączą)

V

r

V

r

V

r

m₁ m₂

m₁+m₂

( m m ) V

V

m V

m

r r

r

2 1

2 2 1

1

+ = +

Zasada zachowania pędu

2 1

2 2 1

1

m m

V m V

V

m

+

= +

r r r

Energia mechaniczna układu w trakcie zderzenia maleje

( )

2 2

2

2 2 2 2

1 1 2

2 1

, ,

V m V

m V

m E m

E

+

< +

< ⇒

1

1 V

V

r

= V₂ V₂ r

=

k

k V

V

r

=

i V V

r r

2

2

= V V j

r r

1 1

= j

V i

V

V

r r r

+

=

2 1

1 1 2

2

m m

j V m i

V j m

V i

V

+

= + +

r r r

r

2 1

2 2

m m

V V

m

= +

2 1

1 1

m m

V V

m

= +

(

)

2 1 2 1 2

2 2 2 2

2

m m

V m V

V m V

V_{k kx ky}

+

= + +

= r

• Zderzenie doskonale niesprężyste ciał poruszających się w kierunkach prostopadłych do siebie

V1

r

Vk

r

V2

r

m₁ m₂

m₁+m₂

x y

ir j

2 r

1

2 2 1

1

m m

V m V

V_k m

+

= +

r r r

Wcześniej pokazano iż

A zatem

(

)

2 1 2 1 2

2 2 2 2

2 1

, 2 2

) E (

m m

V m V

m V

m

m _k

k

kin +

= +

= +

2 2

2 1 1 2

2 2 ,

V m V

E

= m +

( )

( ) ⁰

2

2 2 2

1 2 1 ,

,

<

+

− +

=

−

=

∆ m m

V V

m E m

E

E

• Energia kinetyczna układu ciał zmalała. Część z niej ulegała zamianie na inne formy energii np. energię termiczną ciał i otoczenia.