• Nie Znaleziono Wyników

jest zbiorem wszystkich bijekcji z X w X.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "jest zbiorem wszystkich bijekcji z X w X."

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 1

Dla zbioru X, P(X) jest zbiorem wszystkich podzbiorów X i S

X

jest zbiorem wszystkich bijekcji z X w X.

1. Poda¢ przykªad (tabelk¦) dziaªania F na zbiorze {0, 1} takiego, »e 0F(0F0) 6= (0F0)F0.

Ile istnieje takich dziaªa«?

2. Udowodni¢, »e dziaªanie + na zbiorze R∪{∞} (zdeniowane na wykªadzie) jest ª¡czne i ma element neutralny, ale (R ∪ {∞}, +) nie jest grup¡.

3. Udowodni¢, »e odejmowanie na Z nie ma elementu neutralnego i »e nie jest ª¡czne.

4. Niech G b¦dzie pewn¡ grup¡ przeksztaªce« X. Udowodni¢, »e id

X

∈ G . 5. Udowodni¢, »e je±li X ma co najmniej 2 elementy, to (X, L) nie jest

grup¡, gdzie dla a, b ∈ X mamy aLb = a.

6. Niech ∗ b¦dzie dziaªaniem na zbiorze X i a, b, c ∈ X. Udowodni¢, »e:

(a) Je±li b i c s¡ elementami neutralnymi ∗, to b = c.

(b) Je±li ∗ jest ª¡czne, ma element neutralny e, a ∗ b = e i c ∗ a = e, to b = c.

(c) Je±li (X, ∗) jest grup¡ z elementem neutralnym e i a ∗ b = e, to b ∗ a = e .

7. Niech f : X → X. Udowodni¢, »e:

(a) Funkcja f jest na wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g : X → X taka, »e f ◦ g = id

X

.

(b) Funkcja f jest 1-1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g : X → X taka, »e g ◦ f = id

X

.

8. Udowodni¢, »e je±li |X| > 2, to grupa S

X

nie jest przemienna.

9. Udowodni¢, »e je±li X jest niepusty, to:

(a) (P(X), ∪) nie jest grup¡, (b) (P(X), ∩) nie jest grup¡.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów

Udowodni¢, »e odejmowanie na Z nie ma elementu neutralnego i »e nie jest

Udowodni¢, »e odejmowanie na Z nie ma elementu neutralnego i »e nie jest

Niech p b¦dzie

Udowodni¢, »e je±li K jest sko«czone, to ka»dy element algebraiczny nad K wyra»a si¦ przez pierwiastniki nad

Udowodni¢, »e z jest liczb¡ algebraiczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ¯z (liczba sprz¦»ona) jest liczb¡

Udowodni¢, »e ciaªo algebraicznie domkni¦te jest

Udowodni¢, »e z dokªadno±ci¡ do izomorzmu istnieje przeliczalnie.. wiele przeliczalnych ciaª