(ω) oznacza liczb¸e tych eksperymentów, które zakończyły si¸e wynikiem ω. Proponowano, by za prawdopodobieństwo zdarzenia ω przyj¸ ać granic¸e

Wst¸ ep

Rachunek prawdopodobieństwa bada zjawiska i doświadczenia (eksperymenty) losowe, to znaczy takie, których skutku(wyniku) nie można przewidzieć w ramach posiadanej wiedzy.Liczba wypadków na drogach podczas najbliższego weekendu jest zjawiskiem loso- wym.Klasycznym, jednocześnie najprostszym eksperymentem losowym jest rzut monet¸ a lub kostk¸ a. Chociaż ruch kostki podlega prawom fizyki, to ich zastosowanie jest na tyle skomplikowane i niepraktyczne, że traktujemy ten rzut jako losowy. Przyjrzyjmy si¸e jak historycznie rozwijał si¸e ten dział matematyki.

Starożytni Grecy chociaż nami¸etnie grali w kości, to nigdy nie zastanawiali si¸e nad szan- sami wygranej. Podobnie Arabowie choć słowo hazard pochodzi od arabskiego al zar co oznacza kostka. Pierwsze pytanie probabilistyczne opublikowano w 1477 roku w jednym z komentarzy do Boskiej Komedii Dantego. Dotyczyło ono zmienności szans na pojawienie si¸e określonej liczby oczek przy rzucie trzema kostkami. Podobne pytania znalazły si¸e w późniejszej korespondencji Pascala i Fermata w XVII wieku. Pierwsz¸ a ksi¸ ażk¸e poświ¸econ¸ a obliczaniu prawdopodobieństw wydał Montmort w 1708 roku w Paryżu. Prawdopodo- bieństwo jest w niej zdefiniowane jako miara naszych oczekiwań. W 1711 roku de Moivre wprowadził prawdopodobieństwo klasyczne jako odwrotność liczby wszystkich możliwych przy założeniu, że s¸ a one równoprawdopodobne. Ta definicja spotkała si¸e z zarzutem, że opiera si¸e na ”bł¸ednym kole”(prawdopodobieństwo - równoprawdopodobne). Wiek XVIII dał jeszcze jednego uczonego, który zasłużył si¸e dla rozwoju rachunku prawdopodobień- stwa. Jakub Bernoulli jako pierwszy bada´l nieskończone ci¸ agi losowych, wprowadzi´l ważne poj¸ecie niezależności zdarzeń i udowodnił pierwsze twierdzenia graniczne.

Ale naprawd¸e burzliwy rozwój teorii prawdopodobieństwa nast¸ apił w wieku XIX. Waż- nym impulsem tego rozwoju były tak zwane zjawiska masowe masowe, wszczególności sta- tystyki urodzeń i zgonów Najpierw w pierwszej połowie wieku, Laplace, Poisson, Gauss wprowadzili zmienne losowe, rozkłady ci¸ agłe, a nast¸epnie w drugiej połowie, Rosjanie Czebyszew, Markow i Lapunow - momenty zmiennych losowych, centralne twierdzenie graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa stał si¸e wyraźn¸ a i dynamiczn¸ a gał¸ezi¸ a ma- tematyki. Wci¸ aż jednak jej słabym punktem był brak formalnej definicji prawdopodo- bieństwa. Po niefortunnym prawdopodobieństwie klasycznym Moivre, Ellis w 1849 roku kolejn¸ a prób¸e i wprowadził w zamian definicj¸ e cz¸ estotliwościow¸ a, któr¸ a rozwin¸eli już w XX wieku von Mises i Popper. Zgodnie z tym podejściem, aby mówić o prawdopodobieństwie trzeba wyobrazić sobie nieskończony ci¸ ag wyników tego samego doświadczenia, powta- rzanego w niezmiennych warunkach. Niech a

(ω) oznacza liczb¸e tych eksperymentów, które zakończyły si¸e wynikiem ω. Proponowano, by za prawdopodobieństwo zdarzenia ω przyj¸ ać granic¸e

p(ω) = lim

n→∞

a

(ω) n .

Ta definicja jest trudna do zaakceptowania, bo wymaga wykonania nieskończonej liczby eksperymentów, a ponadto zakłada, że wspomniana granica istnieje.

Wyjściem z sytuacji stało si¸e przyj¸ecie definicji aksjomatycznej. Nad dziełem aksjo-

1

matyzacji pracowali Bernstein, Borel, Kołmogorow w latach 20-tych i 30-tych XX wieku, a uwieńczył je Kołmogorow w 1933.

W tym nowoczesnym uj¸eciu, prawdopodobieństwo, podobnie jak punkt w geometrii, jest obiektem niedefiniowalnym, który spełnia tylko pewne warunki(aksjomaty). Przy formu- łowaniu aksjomatów jednym ze źródeł inspiracji było poewszechne już wtedy w użyciu prawdopodobieństwo geometryczne. Dotyczy ono sytuacji, gdy zbiór wszystkich moż- liwych wyników eksperymentu jest nieprzeliczalnym zbiorem prostej czy płaszczyzny.

Wtedy prawdopodobieństwo oblicza si¸e jako stosunek pól (ogólnie miar)odpowiednich zbiorów. Efektem tej inspiracji jest to,że zaksjomatyzowane prawdopodobieństwo jest miar¸ a abstrakcyjn¸ a . Współczesny rachunek prawdopodobieństwa bada własności tej miary. Nie wyznacza prawdopodobieństw, ale ustala zwi¸ azki mi¸edzy nimi.

Na przykład, pozornie oczywiste stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wyrzucenia na ko- stce parzystej liczby oczek wynosi 1/2, tak naprawd¸e zakłada, że kostka jest ”uczciwa”.

Gdyby jednak z jakiś powodów przyj¸ ać, że szanse na 1,2 i 3 oczka wynosz¸ a po 1/4, na 4 i 5 oczek po 1/8, a 6 nigdy si¸e nie pojawi, to powyższe prawdopodobieństwo wyniosło by 3/8.

Powstaje pytanie czyżby panowała tu dowolność? Na szcz¸eście, jak wiele innych teorii ma- tematycznych, oprócz strony formalnej, rachunek prawdopodobieństwa ma swoje zaplecze intuicyjne, do którego powinien si¸e odnosić. Tym zapleczem jest zaobserowana cz¸estość wyst¸epowania danego zdarzenia(wyniku). Cz¸estość jest tym dla prawdopodobieństwa , czym prosta narysowana na kartce papieru dla prostej w geometrii. W zastosowaniach należy być wiernym intuicji. Dlatego do problemów kombinatorycznych b¸edziemy sto- sować prawdopodobieństwo klasyczne, czyli przeliczanie, a do geometrycznych użyjemy miary geometrycznej. Trzeba też pami¸etać o statystycznym charakterze praw rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła na ”uczciwej”monecie wy- nosi 1/2, co wcale nie oznacza, że w dwóch kolejnych rzutach raz wypadnie orzeł raz reszka. Znaczy to tylko tyle, że przy zwi¸ekszaj¸ acej si¸e liczbie rzutów, stosunek otrzyma- nych orłów i reszek b¸edzie zbliżał si¸e do jedności.

Podsumowuj¸ ac, rachunek prawdopodobieństwa bada zjawiska i eksperymenty losowe, które charakteryzuj¸ a si¸e brakiem determistycznej regularności, ale za to wykazuj¸ a pewn¸ a regularność statystyczn¸ a. W eksperymencie (doświadczeniu) losowym można wyróżnić mechanizm losuj¸ acy oraz zbiór możliwych wyników. Matematycznym modelem doświad- czenia losowego jest prestrzeń probabilistyczna. Zanim j¸ a zdefiniujemy przyjrzyjmy przy- kładom takich eksperymentów.

Przykład 1

Rzucamy jeden raz monet¸ a.

Możliwe wyniki orzeł(O) i reszka (R). Zwróćmy uwag¸e, że doświadczenie ożna powta- rzać wielokrotnie w tych samych warunkach i jeśli moneta jest symetryczna , to w długiej serii rzutów orzełpojawi si¸e w około połowie przypadków. Innymi słowy cz¸estość poja- wienia si¸e orła wyniesie około 1/2. Jeśli w długiej serii nast¸ api znacz¸ ace odchylenie liczby

2

orłów od połowy liczby doświadczeń, zaczniemy raczej podejrzewać, że moneta nie jest symetryczna.

Spróbujmy sprawdzić te przypuszczenia i skłonić komputer do symulacji rzutów monet¸ a.

Wykorzystamy do tego generator liczb losowych programu OCTAVE,

Generator losuje zwykle liczby mi¸edzy zero i jeden. Robi to w taki sposób, że wyloso- wanie każdej z liczb z tego przedziału jest równie prawdopodobne, a wynik konkretnego losowania w żaden sposób nie zależy od wyników poprzednichlosowania niezależne. Jeśli wylosowanie każdej liczby spomi¸edzy 0 i 1 jest równie prawdopodobne to w szczególności wylosowanie liczby mniejszej niż 1/2 powinno być tak samo prawdopodobne jak wyloso- wanie liczby wi¸ekszej niż 1/2.

Co to znaczy równie prawdopodobne ? To samo, co mamy na myśli mówi¸ ac, że w rzucie symetryczn¸ a monet¸ a wyrzucenie orła jest równie prawdopodobne jak wyrzucenie reszki.

Czyli wystarczy umówić si¸e że wylosowanie liczby mniejszej od 1/2 to orzeł a wi¸ekszej (lub równej) to reszka. Do symulacji b¸edziemy jeszcze potrzebować instrukcji p¸ etli, b¸ adź innego dowolnego mechanizmu pozwalaj¸ acego na wygodne powtarzanie fragmentów pro- gramu na przykład instrukcji OCTAVE rand(1,N).

Jeśli już wiemy jak to zrobić możemy przyst¸ apić do napisania krótkiego programu w OCTAVE o nazwie np moneta.m .

Rozszerzenie .m oznacza, że program OCTAVE jest programem matlabowskim(OCTAVE jest uproszczon¸ a wersj¸ a programu MATLAB. mówimy klonem MATLAB ).

Kod programu:

% Imi¸e i Nazwisko;

% Rachunek Prawdopodobieństwa;

% Program ”moneta.m” oblicza i wykreśla

% cz¸estości wypadni¸ecia

% reszki w N = 100, 1000, 10000, 100000, 1000000

% rzutach monet¸ a.

%

N = [100, 1000, 10000, 100000, 1000000];

f or i = 1 : 5 r = rand(1, N (i));

a = sum(r < (1/2));

subplot(1, 5, i);

stem(a/N (i));

end

Po uruchomieniu programu w edytorze OCTAVE moneta + Enter, otrzymujemy pi¸eć wykresów (patrz zał¸ acznik 1), z których możemy odczytać cz¸estości wyst¸ apienia reszki p(R).

Dla N = 100 p(R) = 0.390;

3

Dla N = 1000 p(R) = 0.520;

Dla N = 10000 p(R) = 0.504;

Dla N = 100000 p(R) = 0.499;

Dla N = 1000000 p(R) = 0.500.

Na podstawie cz¸estości otrzymania reszki widzimy tendencję do jej stabilizacji. Dla N = 1000000 rzutów monet¸ a cz¸estość ustabilizowała si¸e wokół liczby 0.500, równej teo- retycznej wartości prawdopodobieństwa P (R) =

w modelu jednokrotnego rzutu syme- tryczn¸ a monet¸ a. Możemy powiedzieć, że wynik dla N = 1000000 dokładnie przybliża teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa otrzymania reszki w rzucie monet¸ a. Definicj¸e tego poj¸ecia poznamy na wykładzie 3.

4