TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH
Ciągi * + * + * + takie, że: i jeśli , to
√ ( )
Przykład:
A)
√
√ ( ) √ ( )
B)
√
√ ( ) √ ( ) √ √ ( )
C) zadanie analogiczne do tych z kolokwiów √
√
√
√ ( ) √ ( ) √ √
√ √ ( ) √ ( )
D)
( ) ( ) { ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
E) (
)
( )
( )
*(
)
( )+
. / 𝑒
𝑛 ( 𝑛 )
𝑛
; 𝑒
𝑎
𝑛( 𝑎 𝑛 )
𝑎
𝑛𝑒 ≈ ; 𝑎 𝑛 𝑚 (𝑎 𝑛 ) 𝑚
F) (
)
( )
(
)
( )
*(
)
( )+
GRANICA FUNKCJI
( )
Granica funkcji wg Cauchy'ego:
( )
| | | ( ) |
Granica funkcji wg Heinego:
( ) ( )
( )
( ) Przykład:
A)
[ ]
[ ]
Odp.: Granica nie istnieje B)
| | | | {
| |
| |
Odp.: Granica nie istnieje Zadanie:
Oblicz granicę funkcji A)
𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎
𝒙 𝟎 𝒙 𝟎
B)
( )
( )( ) [ ]
C)
( )( )
( )
√
( )
D)
( ) ( ) ( ) ( )
E)
( ) ( ) ( )
( )
F) przykład z zeszłorocznego kolokwium .√ √ /
.√ √ / √ √
√ √
√ √
√ √
( )
√ ( ) ( ) √ ( )
G)
H)
(√ √ ) ( √ )
(√ √ ) ( √ )
√ ( √ )
(√ √ )
√ √ 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛
𝑥 𝑥 ,
- [ ] 𝟎
𝑥 𝑥 [ ]
mnożymy
( )( √ )
( )(√ √ )
( )( √ )
(√ √ )
( )( √ ) (√ √ )
I) (
)
( )
( )
[(
)
( )]