• Nie Znaleziono Wyników

TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH Ciągi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH Ciągi"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH

Ciągi * + * + * + takie, że: i jeśli , to

√ ( )

Przykład:

A)

√ ( ) √ ( )

B)

√ ( ) √ ( ) √ √ ( )

C) zadanie analogiczne do tych z kolokwiów √

√ ( ) √ ( ) √ √

√ √ ( ) √ ( )

D)

( ) ( ) { ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

E) (

)

( )

( )

*(

)

( )+

. / 𝑒

𝑛 ( 𝑛 )

𝑛

; 𝑒

𝑎

𝑛

( 𝑎 𝑛 )

𝑎

𝑛

𝑒 ≈ ; 𝑎 𝑛 𝑚 (𝑎 𝑛 ) 𝑚

(2)

F) (

)

( )

(

)

( )

*(

)

( )+

GRANICA FUNKCJI

( )

Granica funkcji wg Cauchy'ego:

( )

| | | ( ) |

Granica funkcji wg Heinego:

( ) ( )

( )

( ) Przykład:

A)

[ ]

[ ]

Odp.: Granica nie istnieje B)

| | | | {

| |

| |

Odp.: Granica nie istnieje Zadanie:

Oblicz granicę funkcji A)

𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎

𝒙 𝟎 𝒙 𝟎

(3)

B)

( )

( )( ) [ ]

C)

( )( )

( )

( )

D)

( ) ( ) ( ) ( )

E)

( ) ( ) ( )

( )

F) przykład z zeszłorocznego kolokwium .√ √ /

.√ √ / √ √

√ √

√ √

√ √

( )

√ ( ) ( ) √ ( )

G)

H)

(√ √ ) ( √ )

(√ √ ) ( √ )

√ ( √ )

(√ √ )

√ √ 𝑎 𝑛

𝑎 𝑛

𝑥 𝑥 ,

- [ ] 𝟎

𝑥 𝑥 [ ]

mnożymy

(4)

( )( √ )

( )(√ √ )

( )( √ )

(√ √ )

( )( √ ) (√ √ )

I) (

)

( )

( )

[(

)

( )]

, - * +

( ) ( )

( )

J)

( ) ;

(

) ((

) )

;

(

) ((

) )

Jeżeli dąży do 0, to liczymy .

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Funkcja jest ciągła w wtedy, gdy:

1) istnieje wartość w tym punkcie,

2) istnieje granica ( ) ; [ ( ) ( )]

3) ( ) ( )

Zadanie:

Zbadać, czy funkcja jest ciągła:

( ) {

( )

Odp.: Funkcja nie jest ciągła

(5)

Zadanie:

Zbadać dla jakich wartości a i b funkcja jest ciągła:

A)

( ) { , ( )

,

B)

( ) {

( )

( ) {

{

C)

( ) { ( )

( )

{ ( )

{

{

D)

( ) {

. / . /

. /

. / . /

(6)

. /

{

{

Granice ciągów podwójnych:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Przykłady ciągów zbieżnych do 0:

Przykłady ciągów zbieżnych do 1:

Przykład:

Wykazać, że nie istnieje poniższa granica.

( ) ( )

;

;

Odp.: Granica nie istnieje Zadanie:

Wykazać, czy istnieje granica funkcji A)

( ) ( )

;

;

Odp.: Granica nie istnieje

B) ( ) ( )

;

;

(7)

;

Odp.: Granica nie istnieje C)

( ) ( )

;

. /

;

Odp.: Granica nie istnieje Granice sterowane

(

( )) ;

(

( ))

Jeśli to granica nie istnieje.

Zadanie:

Uzasadnij, że nie istnieje granica poniższych funkcji:

A) ( ) ( )

(

)

(

)

Odp.: Granica nie istnieje B)

( ) ( )

(

)

(

)

Odp.: Granica nie istnieje

(8)

C) ( ) ( )

( ) ( )

(

( )

( ) )

( ) ( )

(

( )

( ) )

( )

Odp.: Granica nie istnieje

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykazać, że prosta łącząca środek okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest prostopadła do dwusiecznej pewnego kąta wewnętrznego w tym

Zastanówmy się, w jaki sposób można matematycznie opisać podział tego naszyjnika na cztery części, rozdzielone między dwóch złodziei.. Po pierwsze, musimy określić

Teza twierdzenia KAM mówi, że jeżeli spełniony jest pewien warunek regularności częstości (nieznikanie pewnych wyznaczników), to przy przejściu od układu niezaburzonego,

Z mocnej modularnej zupełności ^ wynika mocna modularna zupełność v*M oraz normowa zupełność v% (por. 52), więc w powyższym twierdzeniu zbieżność modularną

[r]

Residua, twierdzenie o

Wyka», »e je±li funkcja ma pochodn¡ dodatni¡ (ujemn¡, nieujemn¡, niedodatni¡), to jest w tym przedziale rosn¡ca (malej¡ca, niemalej¡ca, nierosn¡ca).. Wyja», »e

W przypadku dwóch pierwszych warunków ciąg jest ściśle monotoniczny.. W przypadku dwóch ostatnich warunków ciąg jest