PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

(1)

Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 20 stron (zadania 1–15).

Ewentualny brak stron zgłoś nauczycielowi nadzorującemu egzamin.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym.

3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadań otwartych może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów.

4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

7. Podczas egzaminu możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.

8. Na tej stronie wpisz swój kod.

9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla osoby sprawdzającej.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

MATEMATYKA - POZIOM ROZSZERZONY

STYCZEŃ 2020

Czas pracy:

180 minut

Liczba punktów do uzyskania: 50

dysleksja

Powodzenia!

symbol zdającego

KOD ZDAJĄCEGO

symbol klasy

(2)

2 z 20

B A

Zadanie 1. (0–1)

Figura przedstawiona na rysunku to część wspólna trzech kół, których środkami są wierzchołki trójkąta równobocznego ABC o boku długości a. Promień każdego z tych kół jest równy a.

C

a a a

Pole tej figury jest równe A. r-2 3a₂

. B. r-3 3a₂

. C. r-4 3a₂

. D. r-6 3 a₂ .

Zadanie 2. (0–1)

Dane są wektory a=₇2 3- m n, ₃² +1_A,_b=₇₂¹_n+₁_,_m+₂_{A i}_c=₆_{12 15}_, _@. Równość a3 +2b c= jest prawdziwa dla

A. m 4= _{i n 0}= _. _{B. m 1}= _{i n 3}= _. _{C. m 2}= _{i n 2}= _. _{D. m 0}= _{i n 4}= _.

Zadanie 3. (0–1)

Funkcja f jest określona wzorem f x_{^ h}=2x⁴-3x³+4x-5 dla każdej liczby rzeczywistej x.

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie przecięcia wykresu z osią Oy jest równy

A. 2. B. 3- _. _{C. 4.} _{D. 5}- _.

Zadanie 4. (0–1)

Cyfrą jedności liczby 2019²⁰¹⁸+2019²⁰¹⁹ zapisanej w systemie dziesiętnym jest

A. 0. B. 1. C. 4. D. 9.

(3)

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(4)

4 z 20

Dane są zdarzenia A 1 X, B 1 X, takie że P A_{^ h}= 52 oraz P B A_^ - _h= 74. Oblicz P A B_^ , _h.

W zamieszczone niżej kratki wpisz kolejno pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 6. (0−3)

Rozwiąż równanie x-2 =x x_^ -2_h_.

(5)

Zadanie 7. (0−3)

Przekątne AC i BD równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Przekątna BD jest prostopadła do boków AD i BC, a BBAD = BBSC (zob. rysunek).

a

a B S

A

C D

Udowodnij, że AB = AD 3_.

(6)

6 z 20

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

x y x y xy

3 ³+3 ³22 ² +2 ²_.

(7)

Zadanie 9. (0−3)

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego ^ han, określonego dla n 1H , są dodatnie oraz spełniony jest warunek a a aa₄² a₈⁴ a₁₂⁶ g aa²₄ⁿ_n g 10

g g

+ + + + + + + + + +

= . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Odpowiedź:

(8)

8 z 20

Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu oraz AB =12_,_AD =₁₀_,B_BAD =₆₀_{° i BCD}B =₁₂₀_°.

Oblicz długości boków BC i CD tego czworokąta.

(9)

Odpowiedź:

(10)

10 z 20

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²+_^m-1_hx+ -1 m² =0_ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek 2x12 x 3 x 2x

13

22

+ 2 = + _.

(11)

Odpowiedź:

(12)

12 z 20

Rozwiąż równanie cos sinsin x xx

5 1²- ₃ 1 2

+ - = w przedziale ,0 2r .

(13)

Odpowiedź:

(14)

14 z 20

Ze zbioru wszystkich liczb sześciocyfrowych większych niż 222000, w których zapisie dziesiętnym mogą wystąpić tylko cyfry ze zbioru , ,"1 2 3,, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczby, w której zapisie każde dwie sąsiednie cyfry będą różniły się o 1.

(15)

Odpowiedź:

(16)

16 z 20

W ostrosłupie ABCDS podstawą jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna DS jest wysokością tego ostrosłupa, a jej długość jest równa długości krawędzi podstawy. Punkty E i F są – odpowiednio − środkami krawędzi AD i CD. Płaszczyzna przechodząca przez punkty E i F jest prostopadła do krawędzi bocznej BS i przecina tę krawędź w punkcie G (zob. rysunek). Oblicz miarę kąta EGF.

B G

A

C S

E

D F

(17)

Odpowiedź:

(18)

18 z 20

Punkt P=_^x x, ²+2_h leży wewnątrz kąta wypukłego ABC, gdzie A=_{^ h}0 6, _,_B=_{^ h}_{2 0}_, _i_C =_^_{4 12}_, _h_. Niech f oznacza sumę kwadratów odległości punktu P od każdego z trzech punktów: A, B i C.

a) Wykaż, że f − jako funkcja zmiennej x, czyli pierwszej współrzędnej punktu P − jest określona wzorem f x_{^ h}=3x⁴-21x²-12x+140_.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji f.

c) Wyznacz współrzędne takiego punktu P, dla którego funkcja f osiąga wartość najmniejszą.

(19)

Odpowiedź:

(20)

20 z 20

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)