Wz´ or Taylora i obszar zbie ˙zno´ sci

ANALIZA II 7 marca 2014 Semestr letni

Wz´ or Taylora i obszar zbie ˙zno´ sci

Cwiczenie 1. Rozwin¸ ´ a´ c dan¸ a funkcj¸e w szereg pot¸egowy wok´ o lpunktu x 0 i zbada´ c ob- szar zbie˙zno´sci otrzymanych szereg´ ow

(a) f (x) = arcsin(x), x ₀ = 0, (b) f (x) = x arctan

 x 1 + x



, x ₀ = − 1 2 , (c) f (x) =

Z x

0

e ^−t

dt, x ₀ = 0, (d) f (x) = 1

2 [log(1 − x)] ² x ₀ = 0.

Cwiczenie 2. Zbada´ ´ c obszar zbie˙zno´sci podanych szereg´ ow oraz wyrazi´ c sumy szereg´ ow przez funkcje elementarne. Nale˙zy korzysta´ c ze znajomo´sci rozwini¸e´ c podstawowych funkcji (exp(x), sin(x), cos(x), log(1 + x), _1−x ¹ ...) oraz z faktu i˙z szeregi pot¸egowe mo˙zna r´ o˙zniczkowa´ c i ca lkowa´ c wyraz po wyrazie.

(a)

∞

X

n=0

(n − 2)x ⁿ

(n + 2)n! Wskaz´ owka: bada´ c f (x) − e ^x (b)

∞

X

n=0

2 ⁿ n ²

n ² − 1 x ³ⁿ⁻⁵ Wskaz´ owka: f (x) = 1 x ⁵ ϕ(x ³ )

1