Analiza I, ISIM Lista zada« nr 11
1. Znajd¹ ekstrema lokalne funkcji ϕ(x) = |x + 1| + |x| + |x − 1| i punkty, w których ta funkcja jest ró»niczkowalna.
2. Wyka», »e funkcje
x|x|, |x|3, |x| sin2x, m(x) sin2πx, (sin x +| sin x|)2, | sin x|32 s¡ wsz¦dzie ró»niczkowalne i oblicz ich pochodne.
3. Funkcja f(x) jest ci¡gªa i odwracalna oraz f(2) = 9, f′(2) =−3. Ile wynosi pochodna funkcji odwrotnej w punkcie 9?
4. Funkcja f(x) jest ró»niczkowalna, odwracalna oraz f(2) = 4, f′(2) = 3. Niech g(y) oznacza funkcj¦ odwrotn¡ do f(x). Ile wynosi pochodna funkcji h(t) = g(3t2+ 1)w punkcie 1? Ile wynosi h(1)?
5. Znajd¹ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji w podanych przedziaªach:
x3− x2+ 8x + 1, [−2, 2]; x5+ x + 1, [−1, 1];
x + 1
x2+ 1, [−1, 1/2] x3+ 3|x| + 2, [−1, 1];
6. Dla jakich warto±ci a ∈ R funkcja f(x) = ax − sin x jest ±ci±le rosn¡ca na R?
7. Wyka», »e funkcja g(x) = logx(x + 1) jest ±ci±le malej¡ca na (1, ∞) jest ±ci±le malej¡ca na (1,∞). Wywnioskuj st¡d, »e log23 > log45.
8. Niech g(x) = x4 − 20x3 − 25x2− x + 1. Poka», »e dla pewnej liczby c ∈ (−1, 1) zachodzi 4c3− 60c2− 50c − 1 = 0. Wskazówka: poka», »e funkcja g(x) ma przynajmniej dwa miejsca zerowe w przedziale (−1, 1).
9. Funkcja g(x) jest ci¡gªa w [a, b] i ró»niczkowalna w (a, b). Poka», »e je±li g′(x) ̸= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b), to funkcja g(x) jest albo ±ci±le rosn¡ca albo ±ci±le malej¡ca.
10. f(x) = xg(x) oraz funkcja g(x) jest ci¡gªa w zerze. Poka», »e f′(0) istnieje.
11. Poka», »e je»eli f′(0) istnieje oraz f(0) = 0, istnieje funkcja g ci¡gªa w zerze taka, »e f (x) = xg(x).
12. Poka», »e je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu P (x) = anxn+ ... + a1x + a0 s¡ rzeczywiste (tzn. P (x) ma n pierwiastków rzeczywistych), to ka»da pochodna P te» ma t¡ wªasno±¢.
13. Poka», »e je»eli liczby rzeczywiste c0, c1, .., cn speªniaj¡ zale»no±¢
c0+c1
2 + .. + cn n + 1 = 0,
to wielomian cnxn+ .. + c1x + c0 ma przynajmniej jeden pierwiastek pomi¦dzy 0 i 1.
14. Zaªó»my, »e funkcja f′(x) przyjmuje warto±¢ m co najwy»ej n razy. Poka», »e ka»da prosta o nachyleniu m przecina wykres funkcji y = f(x) co najwy»ej n + 1 razy.
15. Wyka» nierówno±ci
cos x > 1−x2
2 , (x̸= 0), sin x > x−x3
6 , (x > 0).
log(1 + x) > x−x2
2 , (x > 0), ex≥ (ex
n )n
(x≥ 0) 16. Sprawd¹, »e (e + x)e−x > (e− x)e+x dla 0 < x < e.
17. Udowodnij, »e ex< (1 + x)1+x dla x > 0.
18. Udowodnij, »e(x+1
2
)x+1
≤ xx dla x > 0.
19. Znajd¹ lokalne ekstrema funkcji (0, ∞) ∋ x 7→ xx, R ∋ x → xne−x, R ∋ x 7→ e−x2, R ∋ x 7→ x4(1− x)3.
20. Znajd¹ najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) =√
x2+ x + 1−√
x2− x + 1 21. Niech α > 1. Dla x, y > 0 i x ̸= y, udowodnij nierówno±¢
(x + y 2
)α
< xα+ yα 2
22∗.Niech f b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na R i niech x0 b¦dzie miejscem zerowym funkcji f.
Pokaza¢, »e je»eli f′(x0) = 0, to funkcja g(x) = |f(x)| ma pochodn¡ w punkcie x0oraz g′(x0) = 0. 23∗. Podaj przykªad funkcji okre±lonej na [−1, 1], która jest ró»niczkowalna, ±ci±le rosn¡ca i jej pochodna zeruje si¦ w niesko«czenie wielu punktach.
