Funkcja f(x) jest ci¡gªa i odwracalna oraz f(2

Analiza I, ISIM Lista zada« nr 11

1. Znajd¹ ekstrema lokalne funkcji ϕ(x) = |x + 1| + |x| + |x − 1| i punkty, w których ta funkcja jest ró»niczkowalna.

2. Wyka», »e funkcje

x|x|, |x|³, |x| sin²x, m(x) sin²πx, (sin x +| sin x|)², | sin x|³² s¡ wsz¦dzie ró»niczkowalne i oblicz ich pochodne.

3. Funkcja f(x) jest ci¡gªa i odwracalna oraz f(2) = 9, f^′(2) =−3. Ile wynosi pochodna funkcji odwrotnej w punkcie 9?

4. Funkcja f(x) jest ró»niczkowalna, odwracalna oraz f(2) = 4, f^′(2) = 3. Niech g(y) oznacza funkcj¦ odwrotn¡ do f(x). Ile wynosi pochodna funkcji h(t) = g(3t²+ 1)w punkcie 1? Ile wynosi h(1)?

5. Znajd¹ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji w podanych przedziaªach:

x³− x²+ 8x + 1, [−2, 2]; x⁵+ x + 1, [−1, 1];

x + 1

x²+ 1, [−1, 1/2] x³+ 3|x| + 2, [−1, 1];

6. Dla jakich warto±ci a ∈ R funkcja f(x) = ax − sin x jest ±ci±le rosn¡ca na R?

7. Wyka», »e funkcja g(x) = logx(x + 1) jest ±ci±le malej¡ca na (1, ∞) jest ±ci±le malej¡ca na (1,∞). Wywnioskuj st¡d, »e log₂3 > log₄5.

8. Niech g(x) = x⁴ − 20x³ − 25x²− x + 1. Poka», »e dla pewnej liczby c ∈ (−1, 1) zachodzi 4c³− 60c²− 50c − 1 = 0. Wskazówka: poka», »e funkcja g(x) ma przynajmniej dwa miejsca zerowe w przedziale (−1, 1).

9. Funkcja g(x) jest ci¡gªa w [a, b] i ró»niczkowalna w (a, b). Poka», »e je±li g^′(x) ̸= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b), to funkcja g(x) jest albo ±ci±le rosn¡ca albo ±ci±le malej¡ca.

10. f(x) = xg(x) oraz funkcja g(x) jest ci¡gªa w zerze. Poka», »e f^′(0) istnieje.

11. Poka», »e je»eli f^′(0) istnieje oraz f(0) = 0, istnieje funkcja g ci¡gªa w zerze taka, »e f (x) = xg(x).

12. Poka», »e je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu P (x) = anxⁿ+ ... + a₁x + a₀ s¡ rzeczywiste (tzn. P (x) ma n pierwiastków rzeczywistych), to ka»da pochodna P te» ma t¡ wªasno±¢.

13. Poka», »e je»eli liczby rzeczywiste c0, c1, .., cn speªniaj¡ zale»no±¢

c₀+c₁

2 + .. + c_n n + 1 = 0,

to wielomian cnxⁿ+ .. + c1x + c0 ma przynajmniej jeden pierwiastek pomi¦dzy 0 i 1.

14. Zaªó»my, »e funkcja f^′(x) przyjmuje warto±¢ m co najwy»ej n razy. Poka», »e ka»da prosta o nachyleniu m przecina wykres funkcji y = f(x) co najwy»ej n + 1 razy.

15. Wyka» nierówno±ci

cos x > 1−x²

2 , (x̸= 0), sin x > x−x³

6 , (x > 0).

log(1 + x) > x−x²

2 , (x > 0), e^x≥ (ex

n )_n

(x≥ 0) 16. Sprawd¹, »e (e + x)^e−x > (e− x)^e+x dla 0 < x < e.

17. Udowodnij, »e e^x< (1 + x)^1+x dla x > 0.

18. Udowodnij, »e(_x+1

2

)x+1

≤ x^x dla x > 0.

19. Znajd¹ lokalne ekstrema funkcji (0, ∞) ∋ x 7→ x^x, R ∋ x → xⁿe^−x, R ∋ x 7→ e^−x2, R ∋ x 7→ x⁴(1− x)³.

20. Znajd¹ najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) =√

x²+ x + 1−√

x²− x + 1 21. Niech α > 1. Dla x, y > 0 i x ̸= y, udowodnij nierówno±¢

(x + y 2

)_α

< x^α+ y^α 2

22^∗.Niech f b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na R i niech x0 b¦dzie miejscem zerowym funkcji f.

Pokaza¢, »e je»eli f^′(x₀) = 0, to funkcja g(x) = |f(x)| ma pochodn¡ w punkcie x0oraz g^′(x₀) = 0. 23^∗. Podaj przykªad funkcji okre±lonej na [−1, 1], która jest ró»niczkowalna, ±ci±le rosn¡ca i jej pochodna zeruje si¦ w niesko«czenie wielu punktach.