Zależność prędkości od czasu

(1)

KINEMATYKA – ruch jednostajny i przyspieszony

1. Na trasie z Olesna do Poznania kursuje autobus pospieszny i osobowy. Autobus zwykły wyjechał o 8⁰⁰ i jechał ze średnią prędkością 40 km/h. Autobus pospieszny wyjechał godzinę później i jechał ze średnią prędkością 60 km/h. Odległość z Olesna do Poznania wynosi 240 km.

 Czy autobus pospieszny wyprzedzi osobowy? Jeśli nastąpi wyprzedzanie to o której godzinie i w jakiej odległości od Olesna.

 Wykonaj wykres V/t oraz S/t.

Rozwiązanie:

Ruch autobusów najlepiej przedstawić w formie tabelki na podstawie której można wykonać wykresy oraz dokonać odpowiedniej analizy.

Ze względu, że w zadaniu jest podana prędkość średnia możemy traktować, że ruch autobusów to ruch jednostajny.

t V1 V2 S1 S2

8⁰⁰ 40 km/h - 0 km -

9⁰⁰ 40 km/h 60 km/h 40 km 0 km

10⁰⁰ 40 km/h 60 km/h 80 km 60 km

11⁰⁰ 40 km/h 60 km/h 120 km 120 km

12⁰⁰ 40 km/h 60 km/h 160 km 180 km

13⁰⁰ 40 km/h 60 km/h 200 km 240 km

14⁰⁰ 40 km/h - 240 km -

t – czas

V1, S1 – prędkość i droga autobusu zwykłego V2, S2 – prędkość i droga autobusu pospiesznego

Jak widzimy w tabelce, ruch autobusu pospiesznego rozpoczął się o 9⁰⁰ ale zakończył o 13⁰⁰ czyli jedną godzinę przed przyjazdem autobusu zwykłego. Autobus zwykły dojechał do Poznania o 14⁰⁰ , a pospieszny o godzinie 14⁰⁰. Z tabeli możemy również odczytać, że wyprzedzanie nastąpiło o godzinie 11⁰⁰ po przejechaniu 120 km przez autobusy.

0 10 20 30 40 50 60 70

8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00

prędkość {km/h}

czas

Zależność prędkości od czasu

V1 V2

(2)

2. Czy kierowca samochodu jadącego z prędkością 20 m/s przekroczył przepisy ruchu drogowego jeśli na drodze jest ograniczenie do 70 km/h ?

Rozwiązanie:

Aby sprawdzić czy kierowca przekroczył przepisy należy porównać prędkości. Oczywiście najpierw należy doprowadzić do tych samych jednostek. W tym celu przeliczymy m/s na km/h.

20𝑚 𝑠 = 20

1000𝑘𝑚: 1

3600ℎ = 20

1000𝑘𝑚 ∙3600

1ℎ = 72𝑘𝑚 ℎ

Odp. Kierowca przekroczył przepisy ruchu drogowego o 2 km/h.

3. Rowerzysta porusza się ze stałą prędkością równą 18 km/h. Jaką drogę pokona w ciągu 105 minut ?

Rozwiązanie:

Mamy niezgodność jednostek, dlatego należy zamienić 105 minut na godziny.

𝑡 = 105𝑚𝑖𝑛 =105 60 ℎ Obliczamy przebytą drogę

S = Vt

𝑆 = 18𝑘𝑚 ℎ ∙105

60 ℎ = 31,5𝑘𝑚 Odp. Rowerzysta pokona 31,5 km.

4. Jakie przyspieszenie ma samochód który w ciągu 10 sekund rozpędza się do prędkości 25 m/s.

Dane:

t = 10s V = 25 m/s Szukane:

a = ?

Rozwiązanie:

0 40 80 120 160 200 240

8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00

przebyta droga [km]

czas

Zależność przebytej drogi od czasu

S1 S2

(3)

Po przeczytaniu zadani możemy wywnioskować, że mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym gdy V

p

= 0m/s.

Dlatego



V=V

k

– V

p

= 25m/s – 0 m/s = 25m/s

Aby obliczyć przyspieszenie samochodu korzystamy ze wzoru 𝑎 = ∆𝑉

𝑡 Po podstawieniu danych otrzymujemy:

𝑎 = 25𝑚/𝑠

10𝑠 = 2,5𝑚/𝑠

² Odp. Samochód porusza się z przyspieszeniem 2,5 m/s².

5. W ciągu 6 sekund od momentu startu ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym osiągnęło prędkość 15m/s. Jaką drogę pokonało w tym czasie, a jaką pokona po 12 sekundach poruszając się dalej z tym samym przyspieszeniem. Jaką wtedy osiągnie prędkość?

Dane:

V

p

= 0 m/s V

1

= 15 m/s t

1

= 6 s t

2

= 12 s Szukane:

S

1

= ? (droga po t

1

= 6 s) S

2

= ? (droga po t

2

= 12 s) V

2

= ? (prędkość po t

2

= 12 s) Rozwiązanie:

Aby obliczyć przebytą drogę najlepiej na początku obliczyć przyspieszenie, które w całym ruchu ma wartość stałą.

𝑎 = ∆𝑉 𝑡

𝑎 = 15𝑚/𝑠

2𝑠 = 2,5𝑚/𝑠

² Znając przyspieszenie obliczamy drogę korzystając ze wzoru:

𝑆 =𝑎𝑡² 2 Podstawiając dane dla

t

1

= 6 s

otrzymujemy:

𝑆 =2,5𝑚/𝑠²∙ (6𝑠)²

2 =2,5𝑚/𝑠²∙ 36𝑠²

2 = 45𝑚

Podobnie obliczamy przebyta drogę dla

t

2

= 12 s

𝑆 =2,5𝑚/𝑠²∙ (12𝑠)²

2 =2,5𝑚/𝑠²∙ 144𝑠²

2 = 180𝑚

(4)

Do obliczenia pozostała jeszcze uzyskana prędkość dla

t

2

= 12 s.

Ze względu, że znamy przyspieszenie, najprościej obliczy ja z przekształcenia wzoru:

𝑎 = ∆𝑉 𝑡

Po przekształceniu mamy: ∆𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑡

Podstawiamy dane: 𝑉2= 2,5𝑚/𝑠²∙ 12𝑠 = 30𝑚/𝑠

Odp. Ciało po 6 sekundach pokona drogę 45 metrów. Po 12 sekundach pokona 180 metrów uzyskując wtedy prędkość 30m/s.

6. Samochód w ciągu 4 sekund zmienił prędkość z 22m/s do 14 m/s? Oblicz przyspieszenie w tym ruchu oraz wykonaj wykres zależności prędkości od czasu.

Dane:

V

p

= 22 m/s V

k

= 14 m/s t = 4 s Szukane:

a = ?

Rozwiązanie:

Obliczamy zmianę prędkości: ∆𝑉 = 𝑉_𝑘− 𝑉_𝑝

V = 14 m/s – 22 m/s = – 8 m/s

Podstawiamy do wzoru na przyspieszenie

𝑎 = ∆𝑉

𝑡 = −8 𝑚 𝑠

4𝑠 = −2 𝑚 𝑠

²

Zauważamy, że przyspieszenie wyszło ujemne czyli jest to ruch opóźniony.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0 1 2 3 4

prędkość[m/s]

czas [s]

(5)

7. Wykres przedstawia zależność drogi od czasu dla trzech różnych ciał.

a) jaką drogę pokonały ciała po trzech sekundach ruchu b) z jaką prędkością poruszało się ciało A do czwartej sekundy

c) z jaką prędkością poruszało się ciało C między czwartą , a szóstą sekundą d) jaką prędkość średnią ma ciało C po sześciu sekundach ruchu.

Rozwiązanie:

a) możemy odczytać z wykresu, że po trzech sekundach ciało A pokonało 9 metrów, ciało B pokonało 6 metrów, a ciało C pokonało 3 metry.

b) do czwartej sekundy ciało A poruszało się ruchem ze stałą prędkością. Ze względu, że jest to ruch jednostajny prędkość obliczamy ze wzoru:

𝑉 =𝑆 𝑡

Po czwartej sekundzie ciało pokonało 12 metrów. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

𝑉 =12𝑚

4𝑠 = 3𝑚/𝑠 Odp. Ciało do czwartej sekundy poruszało się z prędkością 3m/s.

c) Od czwartej do szóstej sekundy ciało pokonało od 4 do 9 metra. Wynika z tego, że w ciągu dwóch sekund ciało pokonało 5 metrów. Podstawiając do wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym otrzymujemy:

𝑉 =5𝑚

2𝑠 = 2,5𝑚/𝑠

(6)

Odp. Na odcinku od 4 do 9 metra ciało miało prędkość 2,5 m/s.

d) Ciało C po sześciu sekundach pokonało 9 metrów. Aby obliczyć prędkość średnią należy brać pod uwagę całkowity czas i całkowita drogę jak została w tym czasie pokonana.

Obliczamy prędkość średnią:

𝑉_ś𝑟=9 𝑚

6 𝑠 = 1,5 𝑚/𝑠 Odp. Ciało C poruszało się ze średnią prędkością 1,5 m/s.

8. Oblicz prędkość, jaką uzyska ciało po 5 sekundach od ruszenia z miejsca, jeżeli jego przyspieszenie wynosi 3 m/s

²

. Jaką w tym czasie pokona drogę?

Dane:

t = 5 s a = 3 m/s² Szukane:

V = ? S = ?

Rozwiązanie

Aby obliczyć prędkość w ruchu przyspieszonym korzystamy ze wzoru 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑡 Po podstawieniu danych otrzymujemy:

𝑉 = 3𝑚

𝑠²∙ 5 𝑠 = 15 𝑚 𝑠

Obliczamy jeszcze drogę. Ze względu, że prędkość początkowa jest równa zero możemy skorzystać ze wzoru:

𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑡² 2 Po podstawieniu danych mamy:

𝑆 = 3 𝑚/𝑠² ∙ (5𝑠)²

2 =3𝑚 ∙ 25

2 = 37,5 𝑚 Odp. Ciało po 5s osiągnęło prędkość 15 m/s pokonując 37,5 m.