Całki nieoznaczone

Całki nieoznaczone

Definicja

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 ⇔ 𝑭(𝒙)

= 𝒇(𝒙)

f(x) – funkcja podcałkowa

dx – symbol różniczki, mówi nam według jakiej zmiennej funkcję całkujemy

F(x) – funkcja pierwotna, czyli taka, że jej pochodna równa jest funkcji podcałkowej Np.1. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑏𝑜 sin 𝑥

+ 𝑐′ = cos(𝑥)

Mówimy, że całkowanie to proces odwrotny do różniczkowania

f(x) f’(x)

Różniczkowanie Całkowanie

𝐶𝑖𝑒𝑘𝑎𝑤𝑦 𝑤𝑧ó𝑟: 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐

𝒙

𝒅𝒙 = 𝒙

𝒏 + 𝟏 𝟏

𝒙 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧(𝒙)

Np.

𝑥𝑑𝑥 = ^𝑥₂²

𝑥²𝑑𝑥 = 𝑥³ 3

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥^1/2𝑑𝑥 = 𝑥^3/2 3/2 Całki z funkcji elementarnych

całka z funkcji potęgowej

1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐

𝑏𝑜 𝑥^𝑛+1 𝑛 + 1

′

= 1

𝑛 + 1(𝑛 + 1)𝑥^𝑛 = 𝑥^𝑛

Całka z funkcji wykładniczej

𝑎^𝑥𝑑𝑥 = 𝑎^𝑥 ln(𝑎)

𝒆

𝒅𝒙 = 𝒆

Całki z funkcji trygonometrycznych

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝐜𝐨𝐬(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏(𝒙)

tg 𝑥 𝑑𝑥 = ? ? ? 𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ? ? ?

𝒔𝒊𝒏 𝒉 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙)

𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒉(𝒙)

tgh 𝑥 𝑑𝑥 = ? ? ? 𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = ? ? ?

Całki z funkcji hiperbolicznych

Całki związane z funkcjami cyklometrycznymi:

𝟏

𝟏 + 𝒙

𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙) 𝟏

𝟏 − 𝒙

𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏(𝒙)

Kolejne wzory

𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒈(𝒙)𝒅𝒙

𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒈(𝒙)𝒅𝒙

𝒄 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Np.

5𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3𝑥⁵ − 2𝑒^𝑥𝑑𝑥 = 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + 3 𝑥⁵𝑑𝑥 − 2 𝑒^𝑥𝑑𝑥 = − 5𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥⁶

2 − 2𝑒^𝑥 + 𝑐

Ważne wzory, których nie ma !!!

𝒇 𝒙 ∙ 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ? ? ?

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ? ? ?

Co dalej ?

- całkowanie przez części

- całkowanie przez podstawienie

- całkowanie funkcji wymiernych

- całkowanie funkcji zawierających pierwiastki - całkowanie wyrażeń trygonometrycznych - całkowanie funkcji niewymiernych

- itd. …

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)𝒅𝒙 f(x), g(x) - wielomiany

Całkowanie przez części

𝒇 𝒙 ∙ 𝒈

(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒈 𝒙 − 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒈 (𝒙)𝒅𝒙

𝒙 ∙ 𝒆^𝒙𝒅𝒙 =𝒙^𝟐

𝟐 𝒆^𝒙 − 𝒙^𝟐

𝟐 𝒆^𝒙𝒅𝒙 Przykład wzorcowy

Źle Dobrze

𝒇 = 𝒆^𝒙 𝒈^′ = 𝒙 𝒇′ = 𝒆^𝒙 𝒈 = 𝒙^𝟐

𝟐

𝒙 ∙ 𝒆^𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝒆^𝒙 − 𝒆^𝒙𝒅𝒙 𝒇 = 𝒙 𝒈^′ = 𝒆^𝒙

𝒇′ = 𝟏 𝒈 = 𝒆^𝒙

𝑥

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥

cos 𝑥 + 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

Całkowanie przez części – kilka przykładów

𝑓 = 𝑥² 𝑔^′ = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑓^′ = 2𝑥 𝑔 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) Jeszcze raz przez części

𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 −

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

𝑓 = ln(𝑥) 𝑔^′ = 1 𝑓^′ = 1

𝑥 𝑔 = 𝑥

𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥²

2 𝑙𝑛 𝑥 − 1 𝑥

𝑥²

2 𝑑𝑥 = 𝑥²

2 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥

2𝑑𝑥 = 𝑥²

2 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥² 4 + 𝑐 𝑓 = ln(𝑥) 𝑔^′ = 𝑥

𝑓^′ = 1

𝑥 𝑔 = 𝑥² 2

Całkowanie przez podstawienie – od razu przykłady

𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

2

= sin 𝑡 𝑑𝑡

2 = −1

2cos 𝑡 = −1

2cos 2𝑥 + 𝑐

Trzy kroki:

- wymyśleć dobre podstawienie - zróżniczkować

- wyliczyć dx=

𝑥𝑒^𝑥2𝑑𝑥 =

𝑡 = 𝑥² 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 2𝑥

= 𝑥𝑒^𝑡 𝑑𝑡

2𝑥 = 1

2𝑒^𝑡 = 1

2𝑒^𝑥2 + 𝑐

uwaga

(2𝑥 + 4)⁷𝑑𝑥 =

𝑡 = 2𝑥 + 4 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

2

= 𝑡⁷ 𝑑𝑡

2 = 1 2

𝑡⁸

8 = 1

16(2𝑥 + 4)⁸+𝑐

𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = sin(𝑥)

cos(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑡 = cos(𝑥) 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = −sin(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

−sin(𝑥)

= sin(𝑥) 𝑡

𝑑𝑡

−sin(𝑥) = − 𝑑𝑡

𝑡 = − ln 𝑡 = −𝑙𝑛 cos(𝑥) + 𝑐

1

4 + 𝑥² 𝑑𝑥 =

𝑥² = 4𝑡², 𝑥 = 2𝑡, 𝑡 = 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡2

= 1

4 + 4𝑡² 2𝑑𝑡 = 2 4

𝑑𝑡

1 + 𝑡² = 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 = 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

2 + 𝑐

1

1 − 9𝑥² 𝑑𝑥 =

9𝑥² = 𝑡², 3𝑥 = 𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

3

= 1

1 − 𝑡² 𝑑𝑡

3 = 1

3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑡 = 1

3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 𝑐

1

𝑥² + 4𝑥 + 8𝑑𝑥 = 1

(𝑥 + 2)²+4𝑑𝑥 =

𝑡 = 𝑥 + 2 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

= 1

𝑡² + 4𝑑𝑡 = ⋯ "𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔"

Postać kanoniczna

trójmianu kwadratowego

W powyższym przykładzie ważne jest, że ∆<0 Co zrobić, gdy ∆>0 lub ∆=0 ?

To będzie treścią kolejnego wykładu

dotyczącego całkowania funkcji wymiernych.

Całkowanie funkcji wymiernych

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑑𝑥 = ? 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 − 𝑤𝑖𝑒𝑙𝑜𝑚𝑖𝑎𝑛𝑦 𝑑𝑜𝑤𝑜𝑙𝑛𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑡𝑜𝑝𝑛𝑖𝑎

Algorytm:

I. Dzielenie wielomianu P(x) przez Q(x)

II. Rozkład wielomianu Q(x) na iloczyn czynników liniowych bądź kwadratowych III. Rozkład funkcji P(x)/Q(x) na sumę ułamków prostych

IV. Całkowanie ułamków prostych

I. Dzielenie wielomianów o ile st(P)>=st(Q) 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) = 𝑊 𝑥 + 𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥) W(x) – wielomian będący wynikiem dzielenia, R(x) – reszta z dzielenia, st(R)<st(Q)

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑊 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑑𝑥

2𝑥² − 5

−−−−−−−−−− −

2𝑥⁴ + 𝑥² + 5𝑥 − 2: 𝑥² + 3

−2𝑥⁴ − 6𝑥²

−−−−−−−− −

−5𝑥² + 5𝑥 − 2 +5𝑥² + 15

−−−−−−−− − 5𝑥 + 13

2𝑥⁴ + 𝑥² + 5𝑥 − 2

𝑥² + 3 = 2𝑥² − 5 + 5𝑥 + 13 𝑥² + 3

II. Rozkład mianownika Q(x) na iloczyn czynników liniowych bądź kwadratowych Zasadnicze twierdzenie algebry:

każdy wielomian (dowolnego stopnia) da się rozłożyć na iloczyn czynników liniowych bądź kwadratowych 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 … . 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 …

1. st(Q)=1, Q(x) = ax+b - już jest czynnikiem liniowym 2. st(Q)=2, obliczamy ∆,

jeżeli ∆>0 to mamy pierwiastki x1,x2 i wtedy Q(x)=a(x-x1)(x-x2) jeżeli ∆=0 to jest jeden pierwiastek x0 i wtedy 𝑄 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)² jeżeli ∆<0 to nie ma pierwiastków i 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

3. st(Q)=3, szukamy jakiegoś pierwiastka wielomianu Q(x) wśród dzielników wyrazu wolnego, jeśli znajdziemy taki pierwiastek x1, to dzielimy Q(x) przez (x-x1) – wiadomo, że podzieli się bez reszty i jako wynik powstanie

wielomian 2-go stopnia

4. st(Q)>=4. Sytuacja mocno się komplikuje, raczej będziemy takich zadań unikać

Przykłady rozkładu wielomianu 3-go stopnia Przykład 1.

𝑄 𝑥 = 𝑥³ + 2𝑥² − 𝑥 − 2

Możliwe pierwiastki to x=1, x=2, x=-1, x=-2 Q(1)=0 – jest !

Dzielimy Q(x) przez (x-1)

(𝑥³+2𝑥² − 𝑥 − 2): (𝑥 − 1) = 𝑥² + 3𝑥 + 2

𝑊𝑖𝑒𝑙𝑜𝑚𝑖𝑎𝑛 𝑥² + 3𝑥 + 2 𝑚𝑎 𝑑𝑤𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑟𝑤𝑖𝑎𝑠𝑡𝑘𝑖 𝑥 = −2, 𝑥 = −1 I ostatecznie Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)

Przykład 2.

𝑄 𝑥 = 𝑥³ + 4𝑥 −16

Możliwe pierwiastki to x=±1, x=±2, x=±4, x=±8, x=±16 Q(2)=0 – jest !

Dzielimy Q(x) przez (x-2)

(𝑥³+4𝑥 − 16): (𝑥 − 2) = 𝑥² + 2𝑥 +8

Dla wielomianu 𝑥² + 2𝑥 +8 Δ=-28, czyli wielomian ten nie ma pierwiastków,

zatem nie rozkłada się na iloczyn czynników liniowych.

Ostatecznie 𝑥³ + 4𝑥 − 16 = (𝑥² + 2𝑥 +8)(x-2)

III. Rozkład funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych

Każdy składnik liniowy ze wzoru 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 … . 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 … generuje ułamek prosty liniowy (1-go rzędu), a składnik kwadratowy ułamek prosty 2-go rzędu według reguły:

𝑎𝑥 + 𝑏 𝐴 𝑎𝑥 + 𝑏

(𝑎𝑥 + 𝑏)² 𝐴

𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐵 (𝑎𝑥 + 𝑏)²

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

Stałe A, B, C, D … - trzeba wyznaczyć

Przykład: 𝑃 𝑥 = 𝑥, 𝑄 𝑥 = (𝑥 − 1)(𝑥² + 2𝑥 + 8)

𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥

+ 2𝑥 + 8) = 𝐴

𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥

+ 2𝑥 + 8 = 𝐴 𝑥

+ 2𝑥 + 8 + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑥

+ 2𝑥 + 8)

= 𝐴𝑥

+ 2𝐴𝑥 + 8𝐴 + 𝐵𝑥

− 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 𝐶 (𝑥 − 1)(𝑥

+ 2𝑥 + 8) =

= 𝑥

𝐴 + 𝐵 + 𝑥 2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 + (8𝐴 − 𝐶) (𝑥 − 1)(𝑥

+ 2𝑥 + 8)

Powstaje układ równań A+B=0

2A-B+C=1 8A-C=0

Rozwiązanie

A=1/11, B=-1/11, C=8/11

𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥² + 2𝑥 + 8) = 1/11

𝑥 − 1 + −1/11𝑥 + 8/11 𝑥² + 2𝑥 + 8

I ostatecznie mamy rozkład funkcji wymiernej na sumę dwóch ułamków prostych:

I oczywiście

𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥² + 2𝑥 + 8) 𝑑𝑥 = 1/11

𝑥 − 1𝑑𝑥 + −1/11𝑥 + 8/11 𝑥² + 2𝑥 + 8 𝑑𝑥

Całkowanie ułamków prostych.

Ułamki proste I rzędu (liniowe) całkujemy przez podstawienie.

𝐴

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 =

𝑡 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

𝑎

=𝐴 𝑎

1

𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴

𝑎 ln 𝑡 = 𝐴

𝑎 ln 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐

𝐴

(𝑎𝑥 + 𝑏)² 𝑑𝑥 =

𝑡 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

𝑎

=𝐴

𝑎 𝑡⁻²𝑑𝑡 = 𝐴 𝑎

𝑡⁻¹

(−1) = −𝐴 𝑎

1

𝑡 = −𝐴 𝑎

1

𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐

Przykłady:

4

2𝑥 + 3𝑑𝑥 =

𝑡 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

2

=4 2

1

𝑡 𝑑𝑡 = 2 ln 𝑡 = 2 ln 2𝑥 + 3 + 𝑐

4

(2𝑥 + 3)² 𝑑𝑥 =

𝑡 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

2

=4

2 𝑡⁻²𝑑𝑡 = 2 𝑡⁻¹

(−1) = −21

𝑡 = −2

2𝑥 + 3 + 𝑐

Ułamki proste II rzędu (kwadratowe). 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥

1. Wydziel z licznika pochodną mianownika.

Przykład. 8𝑥 − 3

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥 = 4 2𝑥 + 4 − 19

𝑥² + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 4 2𝑥 + 4

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥 − 19 1

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥 = 4 ln 𝑥² + 4𝑥 + 5 − 19 1

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥

𝑓(𝑥)^′

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑓 𝑥 )

𝐴

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥

Pozostały ułamki proste II rzędu typu

Mamy dwie możliwości:

a) ∆>= 0 - rozkładamy mianownik na czynniki linowe i całkujemy jak dwa ułamki I rzędu b) ∆<0 – czyli mianownik nie rozkłada się na czynniki liniowe,

przekształcamy go do postaci kanonicznej i

po odpowiednim podstawieniu otrzymujemy całkę typu „arctg”

Przykład 1. ∆<0

1

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥 = 1

(𝑥 + 2)²+1𝑑𝑥 =

𝑡 = 𝑥 + 2 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥

= 1

𝑡² + 1𝑑𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 2 + 𝑐

Przykład 2. ∆>0 1

𝑥² − 𝑥 − 2𝑑𝑥 = −1/3

𝑥 + 1𝑑𝑥 + 1/3

𝑥 − 2𝑑𝑥 = −1

3ln 𝑥 + 1 + 1

3ln 𝑥 − 2 + 𝑐

∆= 9, 𝑥₁ = −1, 𝑥₂ =2 1

𝑥² − 𝑥 − 2 = 𝐴

𝑥 + 1 + 𝐵

𝑥 − 2 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 𝑥 𝐴 + 𝐵 + (−2𝐴 + 𝐵)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 𝐴 + 𝐵 = 0 𝑜𝑟𝑎𝑧 −2𝐴 + 𝐵 = 1

𝑂𝑡𝑟𝑧𝑦𝑚𝑢𝑗𝑒𝑚𝑦 𝐴 = −1

3, 𝐵 = 1 3